Фазовое пространство и фазовые траектории

 

Состояние системы в любой момент времени зависит от ее начальных параметров и множества внутренних и внешних факторов. Например, для нахождения возможных вариантов колебания физического маятника нужно знать всего два параметра - координату и скорость. Их значение в момент времени t будет определяться свойствами самого маятника (длина его подвеса, масса, момент инерции) и внешними условиями, в которых происходят колебания (вынуждающая сила, трение, ускорение свободного падения). В более сложных системах таких параметров будет значительно больше. Среди всей их совокупности выделяют наиважнейшие - управляющие (главные), характер изменения которых оказывает определяющее влияние на поведение системы (например, ежегодная численность популяции живых организмов, проживающих на определенной территории, обусловлена, главным образом, двумя параметрами: коэффициентом размножения и состоянием природных ресурсов территории, необходимых для питания).

В случае незатухающих колебаний маятника множество возможных его траекторий можно аппроксимировать (лат. approximo - приближаюсь, замена одних математических функций более простыми, но близкими к исходной) с помощью уравнения эллипса с переменными значениями координат Х и Y. В случае затухающих колебаний координаты будут изменяться, и будем иметь семейство эллипсов. В конце концов, когда маятник остановится, эллипс выродится в точку. Плоскость, в которой они располагаются, называют фазовым пространством (рис.6), а сами эллипсы - фазовыми траекториями. Каждая точка фазовой траектории соответствует состоянию системы в данный момент времени. В случае затухающих колебаний фазовая траектория будет представлять собой спираль, сходящуюся в точку, которая соответствует покою маятника. Эту точку называют аттрактор (лат. attraho - притягиваю к себе). С одной стороны, аттрактор - это некая геометрическая структура, отражающая поведение системы в фазовом пространстве в течение длительного времени. С другой стороны - это как бы «цель», к которой «стремится» система, ее «конечное состояние» (или некоторый этап эволюции).

 

 

Х₁ фазовое пространство

Х₃

 

В

 

А фазовая траектория

 

 

Х₂

Рис. 6. Фазовое пространство

 

Как известно, все свободные колебания являются затухающими. Но, если колеблющуюся систему регулярно подпитывать энергией (вынуждать ее колебаться), можно добиться постоянства значений параметров колебаний (частоты, амплитуды), то есть вывести их на фазовую траекторию, которая отвечает установившемуся режиму.

В общем случае фазовое пространство есть некое воображаемое абстрактное пространство. Чем больше переменных требуется для описания состояния системы, тем больше его «мерность». Так для описания социальной системы необходимо знать выраженные в единой количественной (например, десятибалльной) шкале показатели состояния экономики и технологий, уровень здоровья и образования населения, рождаемость и смертность, наличие природных ресурсов и их качество, уровень общей и экологической культуры, состояние дорог, транспорта, сферы обслуживания и т.д. Фазовое пространство такой системы многомерно, его метрика определяется числом выделенных параметров.

В результате обмена ресурсами с другими системами, а также случайных флуктуаций с течением времени параметры системы изменяются, происходит последовательная смена состояний. Точка, соответствующая определенному состоянию системы, перемещается внутри фазового пространства вдоль фазовой траектории, вид которой зависит от интенсивности процессов обмена системы с окружающей средой, свойств системы и характера изменения ее внутреннего состояния.

Чтобы представить фазовую траекторию в аналитическом виде, необходимо знать взаимосвязь между параметрами системы. В случае открытых систем, далеких от равновесия, независимо от их природы, эта взаимосвязь может быть выражена через совокупность нелинейных (т.е. содержащих переменные в степени, большей единицы) дифференциальных (связывающих искомую функцию, ее производные и независимые переменные) уравнений.

 

Точка бифуркации

 

В общем случае решение таких уравнений графически может быть представлено семейством фазовых траекторий. Точки их пересечения (если таковые имеются) носят название точек бифуркации (лат. bifurcus - вилка, раздвоенный) - точек «выбора» системой дальнейшего пути развития.

Точки бифуркации - это особые точки, точки равновесия, которое может быть как устойчивым, так и неустойчивым. С позиций синергетики интерес представляют именно неустойчивые состояния. Их появление означает потенциальную возможность перехода системы в новое качественное состояние, новый режим, которому будет отвечать новый тип ее поведения.

Эти состояния, их характер и параметры зависят от граничных условий, задаваемых свойствами среды, в которой находятся исследуемые системы. При этом изменение управляющего параметра ведет к удвоению периода бифуркации, возникает два новых состояния (удвоение М. Фейгенбаума), например, деление клетки или крупных и трудноуправляемых социально-экономических систем на более эффективные.

В таких состояниях чрезвычайно важны случайные флуктуации. От их величины, направления и времени воздействия зависит, по какой из возможных траекторий система будет выходить из состояния неустойчивости.

Большинство возникающих флуктуаций рассеивается. Однако при определенных (пороговых) условиях они могут усиливаться за счет случайных (или целенаправленных) внешних воздействий, которые, действуя в резонанс (лат. resono - откликаюсь), как бы «подталкивают» систему к выбору траектории развития. В этом случае направленные слабые внешние воздействия могут привести к кардинальным изменениям системы. Таким методом часто пользуются для управления социальными, экономическими, педагогическими, экологическими, технологическими и другими системами. Нужно только правильно выбрать характер воздействия, его мощность и найти подходящий момент времени.

Фракталы и аттракторы

 

В точках бифуркации перед самоорганизующейся системой открывается множество вариантов (поле) путей развития. Одновременно возникает множество диссипативных динамических микроструктур, прообразов будущих состояний системы - фракталов (англ. fractial - дробный).

Как правило, большинство из фрактальных состояний оказываются невыгодными с точки зрения фундаментальных законов, и либо разрушаются полностью, либо остаются как отдельные рудименты, архаические остатки прошлого, с которыми мы нередко сталкиваемся не только в мире природы, но и в жизни общества, языке и культуре народов. В точке бифуркации происходит своеобразная их конкуренция, «выживает» то из них, которое является наиболее адаптивным к сложившимся на данный момент как внешним, так и внутренним условиям.

Здесь чрезвычайно важную роль играют кооперативные (совместные) процессы внутри самой системы, основывающиеся на когерентном (согласованном) взаимодействии элементов зарождающейся фрактальной структуры. Это взаимоподдерживающее соразвитие элементов, способствующее сохранению устойчивости развития системы, получило название коэволюции.

В среде, находящейся в особом состоянии, неустойчивости сменяются устойчивостями, и этот процесс периодически повторяется. Эта направленная череда событий, этот бесконечный круговорот созиданий и разрушений, с которым связано обновление, усложнение и совершенствование мира есть ни что иное, как эволюция. Система проходит через бифуркации и случайность от хаоса через промежуточные простые структуры до сложноорганизованных. Вектор эволюции всегда направлен по пути отбора фракталов, более адаптивных, более приспособленных к внешним условиям. При этом иногда происходит усложнение и реализуется более высокая степень организации системы, а иногда процесс идет по пути упрощения. Благодаря этим процессам мы наблюдаем то великое разнообразие простых и сложных биологических организмов, определенное соотношение между которыми и обусловливает устойчивость биосферы Земли.

Чем разнообразнее состав системы, чем выше способность ее элементов к кооперации, тем больше возможностей для образования новых типов внутренних взаимосвязей, тем выше адаптивные возможности системы, а значит, и стабильнее ее функционирование. Системе как бы «предписан» путь развития, оптимальный с точки зрения выполнимости объективных законов природы (прежде всего законов сохранения) и соответствия внешним условиям. Она живет не вопреки, а сообразно этим законам. Их нарушение грозит ей разрушением.

Но даже если она и развивается сообразно этим законам природы, картина ее будущего весьма неопределенна и принципиально непредсказуема в силу фундаментальной роли случайного. На сцене эволюции господствует его величество случай. Именно он выступает изобретателем и творцом будущего. Случайное слабое внешнее воздействие или слабые флуктуации внутренних параметров, «приуроченные» к определенному моменту развития системы, могут привести к большим ее внутренним изменениям. Флуктуации возникают хаотично, их огромное количество, но большинство из них затухает, как бы отсекаются все лишние вихревые потоки, остаются только те, которые образуют новые устойчивые макросостояния (структуры) - аттракторы. Аттрактор как бы притягивает к себе множество траекторий развития системы, определяемых разными начальными значениями параметров, создавая своеобразный конус.

Если неустойчивая микроструктура попадает в конус аттрактора, то она неизбежно эволюционирует к устойчивому состоянию и может находиться в нем до тех пор, пока в силу каких-либо причин система вновь не придет в неустойчивое состояние. Эти причины связаны с несоответствием внутреннего состояния открытой системы внешним условиям среды. И опять у системы возникает множество вариантов развития. Наглядно этот процесс можно представить в виде эволюционного дерева биологических видов или антропогенеза.

 

Сценарий

Поведение системы в точке бифуркации подобно блужданию по лабиринту со множеством тупиков. «Выбор» пути развития осуществляется методом проб и ошибок до тех пор, пока она не «находит» вариант, оптимальный с точки зрения фундаментальных законов природы (законы сохранения массы-энергии, энтропии-информации, принцип минимизации энергии и др.). При благоприятных условиях один из фракталов «разрастается» и перерождается в новую макроструктуру. В результате этого система переходит в новое качественное состояние.

Выбрав дальнейший путь развития, система продолжает поступательное движение до следующей точки бифуркации. Этот самопроизвольный процесс усложнения и совершенствования системы периодически повторяется и может продолжаться бесконечно долго, нет предела совершенству. При этом отмирают старые элементы и рвутся старые связи, тормозящие ее развитие и совершенствование. В результате адаптации к новым внешним условиям зарождаются и укореняются новые элементы и новые связи. Происходит переструктуризация системы, у нее появляются новые функции. Это новое сохраняет из старого то положительное, что стимулировало и поддерживало развитие, вследствие чего в новом состоянии сохраняются следы былых состояний и структур, что и обуславливает их генетическое родство.

Траектория процесса развития любой системы, вектор его направленности определяют динамику ее эволюции. Вначале идет медленное количественное накопление изменений. Оно возможно лишь до определенного предела - состояния неустойчивости. В этом состоянии происходит переход количественных изменений в качественные, который, как правило, осуществляется скачком.

Момент перехода определяется свойствами системы и уровнем флуктуаций в ней. В результате скачков в системе происходят кардинальные (революционные) изменения. Наглядно этот процесс можно представить в виде диаграммы, приведенной на рис. 7.

 

 

Х

 

 

В

 

А

 

t

 

 

Z

 

Рис. 7. Бифуркационный характер эволюции системы

(Х, Z- параметры системы, t- время, А и В - точки бифуркации)

 

 

Скачкообразное изменение внутреннего состояния системы в ответ на плавное изменение внешних условий в математике называют катастрофой. Для системы это означает потерю устойчивости. Такие состояния изучает специальный раздел математики «Теория катастроф», основы которой разработал французский математик Р. Том в середине семидесятых годов ХХ столетия. Сегодня ее методы широко применяются в моделировании поведения биосферы, головного мозга, психики, работы сердца, а также в лингвистике, эмбриологии, гидродинамике, технике, химической технологии, социологии и др.

Развитие системы любой природы представляет собой череду описанных выше изменений, а эволюционный процесс - определенную последовательность медленных, постепенных этапов развития и качественных скачков разного масштаба, периодический процесс смены ее качественных состояний, движение от одной неустойчивости к другой, от одной точки бифуркации к другой.

Поступательное движение системы по пути эволюции связано с необходимостью выработки качественно новых адаптивных механизмов. Если система благодаря внутренней перестройке сумела приспособиться к новым условиям, то она переходит в новое устойчивое состояние, в противном случае она деградирует и разрушается. В устойчивом состоянии она будет находиться до очередной, важной для нее, случайной флуктуации, под влиянием которой ситуация вновь повторится. Этот периодический процесс протекает до тех пор, пока система обменивается с окружающей средой ресурсами. В естественных условиях (в отсутствии специального управления) он может продолжаться бесконечно долго, что и наблюдается на примере естественных химических и биологических систем, единственным «управителем» и «исполнителем» преобразований в которых являются фундаментальные законы природы.

По такому пути идет развитие абсолютно всех систем, но скорость этого процесса в разных системах различна. Так химическая эволюция Вселенной продолжается вот уже около двадцати миллиардов лет, живого вещества на Земле - около четырех, эволюция человека - около двух миллионов, а общества - всего несколько десятков тысяч лет.

Но нельзя сказать, что все в природе пущено на самотек. Всегда есть внешние факторы (потоки информации, энергии, вещества), которые как бы подталкивают систему к самоорганизации. Например, самоорганизация биосферы осуществляется благодаря энергии Солнца, работа лазера - благодаря энергии накачки и т.д.

В физике кооперативных явлений (физика плазмы, лазерная физика) упорядочивание систем достигается не только за счет поступающей извне энергии, но и за счет управления ее характером и потоками. В более сложных, иерархически организованных системах каждая вышестоящая система путем обмена информацией управляет нижестоящей. Например, мозг, как самая сложноорганизованная система живого организма, управляет работой всех остальных его органных систем.