Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс.

Мы рассмотрим физическую реализацию кубита на примере квантовой системы со спиновым магнитным резонансом.

На основе уравнения Дирака можно показать, что наличие спина у электрона приводит к появлению у него магнитного момента. Соответствующий гамильтониан взаимодействия магнитного момента с магнитным полем есть:

, где

Пусть магнитное поле есть комбинация однородного поля , направленного вдоль оси и поля , вращающегося в плоскости :

Для определенности будем иметь ввиду электрон. С учетом отрицательного знака заряда электрона, имеем:

, где

Уравнение Паули, представляющее собой модификацию уравнения Шредингера с учетом спина электрона, есть:

,

где - двухкомнонетнный спинор.

Пусть , - соответственно продольная и поперечная частоты.

Тогда уравнение Паули примет вид:

,

где - оператор частоты.

Осуществим переход к другим (медленным) переменным посредством преобразования

Рассматриваемое преобразование называется переходом во вращающуюся систему координат. Для новой переменной получим уравнение:

Учтем, что (см. формулу (4.4) раздела 4.2):

Тогда, рассматриваемое уравнение примет вид:

Его решение, очевидно, есть:

Последняя формула описывает поворот квантового состояния на сфере Блоха.

Ось поворота и угол вращения есть:

, ,

Где - частота Раби

Наиболее простая динамика спина- кубита будет наблюдаться в условиях резонанса, когда

. Практически такой резонанс достигается обычно путем медленного изменения продольного поля .

В условиях резонанса в рассматриваемом примере происходит вращение состояния кубита вокруг оси

Задача 4.18 Пусть начальное состояние кубита есть , что соответствует «северному полюсу» на сфере Блоха. Покажите, что в условиях резонанса, чтобы перевести кубит из состояния в состояние , достаточно выждать в течении времени (так называемый - импульс). Аналогично, покажите, что воздействие в течении приводит к повороту состояния на угол вокруг оси , что соответствует преобразованию состояния в состояние

Динамика кубита может быть представлена в виде:

Задача 4.19 Пусть начальное состояние кубита есть . Покажите, что вероятность переворота спина (спин- флип) есть:

Среднее по времени от полученной вероятности есть:

Последнее выражение, рассматриваемое как функция , описывает резонанс на частоте .

Заметим, что в реальных экспериментах, как правило,

Приведём некоторые данные, необходимые для проведения численных оценок

Магнитный момент электрона:

, где

- магнетон Бора.

Небольшое отличие отношения от единицы называется аномальным магнитным моментом электрона. Теоретическое объяснение этого эффекта, согласующееся с экспериментом с очень высокой точности, является важным достижением квантовой электродинамики.

Магнитный момент протона есть:

, где

- ядерный магнетон

Большое отличие магнитного момента протона от ядерного магнетона является следствием сложной (кварковой) структуры частицы (заметим, что в теории Дирака частица предполагается точечной).

Нейтрон, несмотря на нулевой заряд, также обладает магнитным моментом, который равен (в ядерных магнетонах)

Оценим типичные частоты, возникающие при магнитном резонансе

Пусть продольное поле есть:

Тогда для электрона получаем: ,

Резонансная частота есть:

Аналогично для протона:

,

Резонансная частота протона: