От квантовой информатики к квантовой физике

В настоящем разделе мы покажем, что систематическое применение представленной выше парадигмы квантовой информатики к задачам механики ведет к преобразованию классической механики в механику квантовую [30,51,52].

Основной закон динамики Ньютона есть:

Для того, чтобы применить постулаты квантовой информатики, достаточно предположить, что фигурирующие в основном законе динамики ускорение и сила есть некоторые средние величины. Усреднение обеспечивается посредством введения некоторой плотности распределения :

(3.1)

Потребуем в соответствии с Постулатами 1 и 3, чтобы введенная плотность распределения допускала корневое разложение, естественное для квантовой информатики. Пусть всего имеется компонент плотности, т.е.:

, (3.2)

где каждая из компонент представлена в виде разложения:

, (3.3)

Предположим, что зависимость коэффициентов разложения от времени определяется гармоническими функциями:

(3.4)

Базисные функции разложения и частоты заранее неизвестны. Их следует определить таким образом, чтобы выполнялись усредненные уравнения движения. Покажем, что модель, задаваемая уравнениями (3.1)- (3.4) приводит к стационарным функциям и частотам уравнения Шредингера.

Подставляя (3.2)-(3.4) в (3.1), получим:

(3.5)

Здесь, как обычно, по повторяющимся индексам и предполагается суммирование.

Матричные элементы в выражении (3.5) определяются формулами:

(3.6)

(3.7)

Для того, чтобы соотношение (3.5) выполнялось в любой момент времени для произвольных начальных амплитуд, следует потребовать выполнения равенства левых и правых частей отдельно для каждого матричного элемента, поэтому:

(3.8)

Последнее выражение представляет собой матричное уравнение Гейзенберга для квантовой динамики в энергетическом представлении. Базисные функции и частоты, удовлетворяющие соотношениям (3.8), есть стационарные состояния и частоты квантовой системы (в соответствии с эквивалентностью картин Гейзенберга и Шредингера).

Действительно, образуем диагональную матрицу из частот системы . Рассматриваемая матрица будет эрмитовой в силу того, что частоты – действительные числа. Эта матрица будет представлением некоторого эрмитова оператора, собственные значения которого суть , т.е.

, (3.9)

Найдем явный вид искомого оператора частоты . В силу (3.9), матричное соотношение (3.8) можно переписать в виде операторного уравнения

, (3.10)

где - оператор дифференцирования, - коммутатор.

Выражение, стоящее в правой части (3.10), представим в виде некоторого коммутатора:

,

где – произвольная константа, которая, в итоге, должна быть отождествлена с постоянной Планка (см. обсуждение ниже).

Рассматриваемый коммутатор, очевидно, не изменится, если к потенциальной составляющей добавить произвольную функцию от оператора производной , т.е.

Аналогичным образом имеем:

,

где - произвольная функция от координат.

Таким образом:

Последнее соотношение оказывается согласованным, если положить:

,

Окончательно находим, что решением уравнения (3.10) является оператор:

(3.11)

Для того, чтобы слагаемые в (3.11) имели одинаковую размерность, произвольная константа должна иметь размерность постоянной Планка (эрг*с). Численное значение этой постоянной должно быть выбрано таким, чтобы собственные значения оператора частоты совпадали с реальными атомными частотами. Нетрудно видеть, что выбор численного значения постоянной Планка связан с выбором единиц измерения для основных физических величин (длина, время, масса). С теоретической точки зрения единицы измерений можно выбрать так, чтобы было (заметим, что в квантовой теории поля общеупотребительна система единиц, в которой ).

Вместо оператора частоты в квантовой теории принято использовать гамильтониан .

(3.12)

Собственные значения гамильтониана согласно (10) есть:

(3.13)

Таким образом, если потребовать, чтобы корневая оценка плотности удовлетворяла в среднем классическим уравнениям движения, то базисные функции и частоты корневого разложения уже не могут быть произвольными, а должны представлять собой соответственно собственные функции и собственные значения гамильтониана системы.

Нетрудно видеть, что динамика амплитуд вероятности, возникающая при описанном выше подходе, является унитарной в полном соответствии с Постулатом 2.

Постулат 4 квантовой информатики в приложении к изучаемой задаче требует, чтобы многочастичная квантовая система рассматривалась в соответствующем многомерном конфигурационном пространстве (детали такого описания содержатся в общеизвестных руководствах по квантовой механике [55, 56]).

Описанный выше подход представляет собой определенную альтернативу процедуре канонического квантования Дирака, в основе которой лежат квантовые скобки Пуассона [48].

Рассмотрим теперь матрицу плотности, элементы которой определим формулой:

(3.14)

На основе представленных выше результатов нетрудно получить уравнение для динамики матрицы плотности, называемое обычно квантовым уравнением Лиувилля:

(3.15)

С использованием полученного выражения (3.12) для гамильтониана уже нетрудно получить операторные представления для других динамических величин. Например, понятие импульса можно ввести на основе следующей легко проверяемой цепочки равенств:

, (3.16)

где матрица плотности смеси (3.14) в обозначениях Дирака есть:

(3.17)

В выражении (3.16) суммирование по индексам и предполагается автоматически, сумма по компонентам смеси (индекс ) выписана явно.

Первое из представленных в (3.16) равенств непосредственно следует из определения корневой оценки плотности, при получении второго равенства мы учли (3.13), наконец последние два равенства следуют из определения импульса (в нерелятивистской теории оператор импульса должен быть определен таким образом, чтобы его среднее значение совпадало с произведением массы на среднюю скорость).

Заметим, что в (3.17) компоненты смеси нормированы таким образом, что , где - вес - ой компоненты смеси.

Из соотношения (3.16) с необходимостью вытекает следующее определение импульса:

Заметим, что выражения для операторов наблюдаемых величин мы не постулируем (как это делают при стандартном изложении квантовой механики), а выводим как необходимые следствия корневых статистических оценок.

С использованием понятия матрицы плотности, как это следует из (3.16) среднее значение импульса есть:

Точно такая же формула имеет место для среднего значения любой другой наблюдаемой

Соотношения, согласно которым, уравнения классической механики выполняются в среднем и для квантовых систем, называют уравнениями Эренфеста [57]. Самих этих уравнений, конечно, недостаточно для описания квантовой динамики. Как было показано выше, дополнительное условие, которое позволяет преобразовать классическую механику в квантовую (т.е. условие квантования), есть, по- существу, требование корневого характера плотности.

 

Шестая проблема Гильберта

В знаменитом докладе Д. Гильберта «Математические проблемы», прочитанном 8 августа 1900 г. в Париже на 2-ом Международном конгрессе математиков, были сформулированы задачи, оказавшие существенное влияние на развитие математики и связанных с ней наук в XX веке.

Всего Гильберт поставил 23 проблемы, из которых для нас наибольший интерес представляет 6-ая проблема, сформулированная как «математическое изложение аксиом физики».

«С исследованиями по основаниям геометрии», говорится в докладе, «близко связана задача об аксиоматическом построении по этому же образцу тех физических дисциплин, в которых уже теперь математика играет выдающуюся роль: это в первую очередь теория вероятностей и механика.

Что касается аксиом теории вероятностей, то мне казалось бы желательным, чтобы параллельно с логическим обоснованием этой теории шло рука об руку строгое и удовлетворительное развитие метода средних значений в математической физике, в частности в кинетической теории газов» ([58] с.415).

Сегодня, по прошествии более ста лет с момента постановки задачи, можно сказать, что слова Гильберта, прозвучавшие на рубеже XIX и XX веков, были почти пророческими.

Примечательно, что математическая формулировка основ теории вероятностей связывается Гильбертом в единый конгломерат с наукой о микромире. В то время в роли таковой выступала молекулярно- кинетическая теория, основы которой были заложены Максвеллом и Больцманом. Заметим, что всего через несколько месяцев после Гильберта был прочитан еще один доклад, который положил начало новой (квантовой) эре. Этот доклад был прочитан М. Планком 14 декабря 1900 г. на заседании немецкого физического общества.

Гильберт в своем докладе говорит, что искомая аксиоматическая теория вероятностей должна быть построена по аналогии с геометрией. Геометрия гильбертова пространства, заложенная в работах Гильберта, Шмидта и других ученых, как раз, и есть, как мы видели, основа квантовой информатики.

Заметим также, что при построении физических аксиом по образцу аксиом геометрии, как считает Гильберт, «возможно возникнет принцип классификации, который сможет использовать глубокую теорию бесконечных групп преобразования Ли» ([58], с.416). Очевидно, что Гильберт оказался прав и в этом своем предсказании, поскольку важность групп Ли в современной квантовой теории хорошо известна.

Отметим, наконец, что в качестве важной задачи Гильберт видит математически строгое описание перехода от микромира к макромиру. Здесь, по мнению Гильберта, в основу может быть положена «книга Больцмана о принципах механики, в которой следовало бы строго математически обосновать и провести те изложенные в ней процессы предельного перехода, которые ведут от атомистического понимания к теории движения твердого тела» ([58] с.415). Несмотря на колоссальный прогресс, достигнутый в понимании микромира в XX столетии, вопрос математического обоснования соответствующего предельного перехода от описания микроявлений к описанию макромира все еще остается дискуссионным (см., например, [59]).

Постановка 6-ой проблемы Гильбертом не была просто гениальной догадкой одного выдающегося человека. Актуальность рассматриваемой задачи определялась состоянием науки на рубеже XIX и XX веков. Так, знаменитая H- теорема, направленная на механико- статистическое обоснование второго начала термодинамики, была сформулирована Больцманом еще в 1872 г. [60]. Эта работа вызвала жаркие многолетние дискуссии. С резкой критикой работы Больцмана выступили многие известные ученые, в том числе выдающийся математик и теоретик естествознания А. Пуанкаре. Проблема заключалась в том, что обратимость законов классической механики вступала в противоречие с необратимым характером второго начала термодинамики. Хотя с физической точки зрения ответы Больцмана на возражения против его теории были весьма убедительны, с принципиальной математической точки зрения вопрос оставался открытым. Любой симбиоз представлений классической механики и статистики неизбежно оказывался непоследовательным и внутренне противоречивым. Отметим, в то же время, что подход Больцмана к статистической термодинамике не был чисто классическим. В той же, посвященной H- теореме работе [60], Больцман за 28 лет до Планка использовал (в методических целях) представления о квантованном характере энергии. Как мы теперь понимаем, любые попытки объединения механики и статистики логически должны были вести к квантовым представлениям (пусть и в неявной форме, как у Больцмана). Таким образом, на рубеже XIX и XX столетий, Гильберту и другим ученым было ясно, что развитие механики, теории вероятностей и молекулярно- кинетической теории не могло далее проходить независимо. Прогресс науки настоятельно требовал объединения указанных разделов, однако такое объединение неизбежно оказывалось противоречивым. Формулируя свою знаменитую 6-ую проблему, Гильберт, вероятно, надеялся путем аксиоматизации снять имеющиеся трудности и получить единую универсальную непротиворечивую теорию. На роль такой теории, как мы видим сегодня, вполне может претендовать квантовая информатика.

 

Обсуждение

Рассмотрим коротко историю развития 6-ой проблемы Гильберта в XX веке.

Прежде всего, основываясь на своем тезисе о необходимости сочетания исследований по теории вероятностей с развитием кинетической теории газов, Гильберт применил свою теорию интегральных уравнений к кинетическому уравнению Больцмана. В рамках этих исследований Гильберту удалось найти эффективный способ приближенного решения кинетического уравнения [61]. Кинетическое уравнение Больцмана было для Гильберта примером такого уравнения, которое являлось интегральным по своей сути в том смысле, что не сводилось ни к каким дифференциальным уравнениям.

Возникновение квантовой механики, ознаменованное появлением 1925 г. работ В. Гейзенберга [62], Борна и Иордана [63], а также Гейзенберга, Борна и Иордана [64], побудило Гильберта заняться исследованием математических основ новой теории. Над этой задачей он работал совместно со своими ассистентами – фон Нейманом и Нордгеймом. Результаты исследований были опубликованы в работе [65], в которой авторы впервые попытались осмыслить принципы квантовой теории с математической точки зрения.

В свою очередь, сотрудничество с Гильбертом побудило фон Неймана к систематическим исследованиям по математическому обоснованию квантовой теории. Результатом работы, которая продолжалась несколько лет, стала книга [49]. Эта книга до сих пор считается основной среди работ, посвященных математическим аспектам квантовой механики. В своей монографии фон Нейман последовательно развил концепцию гильбертова пространства как арены, на которой развиваются квантовые события, ввел понятие матрицы плотности, развил теорию квантовых измерений, основанных на ортогональных разложениях единицы, провел исследование по обоснованию квантовой статистической механики.

Свое видение фундаментальных статистических основ квантовой механики фон Нейман попытался выразить в своей известной теореме о невозможности введения скрытых параметров в структуру квантовой теории. Эта теорема, по мнению фон Неймана, должна была обеспечить водораздел между квантовой и классической теориями статистики. Теорема о скрытых параметрах в течение долгого времени не вызывала никаких возражений, пока не была подвергнута жесткой критике со стороны Белла [66]. Позитивным итогом исследований Белла стали известные неравенства, носящие его имя. Эти неравенства показывают невозможность объяснения результатов статистических экспериментов над квантовыми объектами посредством концепции классического вероятностного пространства. С этой точки зрения неравенства Белла выражают в количественной форме то, что фон Нейман сформулировал в своей теореме на качественном уровне. Пример наиболее известного неравенства Белла будет рассмотрен в разделе 4.10.

Формальные математические инструменты, разработанные фон Нейманом, были существенно усовершенствованы и обобщены другими авторами. Так, в современной теории квантовых измерений рассматривают не только основанные на проекторах ортогональные разложения единицы, введенные фон Нейманом, но и общие разложения единицы. Соответствующие объекты называют положительными операторнозначными мерами (Positive Operator- Valued Measure - POVM). Техника POVM будет кратко описана в нижеследующем Приложении.

Современное изложение математических аспектов квантовой механики содержится в книгах А.С. Холево [36, 67, 68]. История аксиоматики классической теории вероятностей излагается в [69].

 

П. Приложение. Разложение Шмидта и формализм матрицы плотности.

Пусть вектор состояния (амплитуда вероятности) составной системы зависит от переменных двух подсистем. Оказывается, что вектор состояния составной системы может быть разложен по векторам, относящимся к отдельным подсистемам. Соответствующее представление называется разложением Шмидта [1,2,37]:

(3.18)

Здесь - весовые (заведомо неотрицательные) множители, удовлетворяющие условию нормировки

Мы предполагаем, что слагаемые в разложении (3.18) представлены в порядке убывания (невозрастания) коэффициентов .

Разложение Шмидта дает наглядный математический аппарат для исследования запутанности. Например, регистрация подсистемы №1 наблюдателем в состоянии означает, что подсистема №2 с необходимостью будет зарегистрирована (наблюдателем ) в состоянии (при том же самом ).

Функции (векторы) и называются модами Шмидта. Предположим, что каждая из подсистем описывается гильбертовым пространством размерности . Тогда, каждый из наборов функций и () будет полным набором, образующим ортонормированный базис.

Опишем алгоритм численной экстракции мод Шмидта. Пусть матрица размера с элементами , задающими амплитуду вероятности найти подсистемы в базисных состояниях и соответственно. Введем матрицу следующего вида:

(3.19)

Найдем собственные функции и собственные значения матрицы . В результате, рассматриваемая матрица будет представлена в виде:

, (3.20)

Здесь - унитарная матрица, составленная из собственных векторов матрицы (каждый столбец матрицы есть некоторый собственный вектор матрицы ). Матрица есть диагональная матрица, составленная из собственных значений матрицы . Будем предполагать также, что выстроены на диагонали в порядке убывания (невозрастания).

Диагональные элементы матрицы есть искомые весовые множители разложения Шмидта. При этом мода дается - ым столбцом матрицы .

Для нахождения мод введем матрицу согласно формуле:

(3.21)

В задачах высокой размерности матрица , как правило, содержит элементы, практически равные нулю. Это может приводить к формальному делению на ноль при вычислении матрицы . Для предотвращения этого явления можно поступить двумя практически эквивалентными способами. Можно вводить небольшие ненулевые слагаемые (например, порядка - ) в диагональ . Результаты фактически не зависят от уровня «малости» вводимых величин (они нужны только для того, чтобы избежать деления на машинный ноль). Те же результаты можно получить, если «урезать» размерность матрицы , оставив в ней на диагонали только заведомо ненулевых элементов (при этом в матрице также необходимо оставить только первые столбцов).

Теперь для получения моды остается только взять - ую строку матрицы .

С использованием матриц и матрица амплитуд вероятностей может быть записана в виде:

(3.22)

где - диагональная матрица, неотрицательные диагональные элементы которой расположены в порядке убывания (невозрастания). Разложение (3.22) есть сингулярное разложение матрицы (singular value decomposition, сокращенно- svd), а параметры - сингулярные значения (singular values) матрицы.

Представленный алгоритм показывает, что определение мод Шмидта есть самосогласованная по переменным подсистем процедура. Так, каждый столбец матрицы (каждая мода ) определяется с точностью до независимого несущественного фазового множителя. Добавление такого множителя, однако, приведет, согласно (3.21), к согласованному изменению фазы моды , запутанной с исходной модой.

 

Задача 3.1 Явным расчетом покажите, что алгоритм, задаваемый формулами (3.19)- (3.22) действительно определяет разложение Шмидта (3.18) для составной системы.

Основная числовая характеристика, связанная с разложением Шмидта есть число Шмидта , которое характеризует эффективное число мод в разложении:

По своему определению, в силу условия нормировки для , число заведомо не ниже единицы (и равно единице только в том случае, когда в разложении Шмидта имеется единственное ненулевое слагаемое). В случае систем, описываемых конечномерным вектором состояния, число лежит в интервале , где - размерность гильбертова пространства квантовой подсистемы.

Наблюдатель , для которого доступна подсистема №1 и недоступна подсистема №2, не имеет возможности восстановить вектор состояния полной системы. Он вынужден ограничиться описанием подсистемы №1 посредством матрицы плотности:

Аналогично, наблюдатель , которому доступна только подсистема №2, имеет дело с матрицей плотности

Матрица плотности является инструментом неполного описания квантовых систем. Такое описание может быть искусственно домыслено (дополнено) до описания посредством вектора состояния. Например, наблюдатель , не имея возможности установить действительную систему №2, с которой запутана его система №1, может рассмотреть некоторую другую вспомогательную систему №2’ и соответствующий ей базисный набор . Вместо действительного вектора состояния составной системы , такой наблюдатель будет рассматривать некоторое другое состояние

Важно отметить, что в отношении описания отдельно взятой системы №1 векторы состояния и эквивалентны.

Унитарный оператор , действующий на переменные подсистемы, задает следующее преобразование матрицы плотности (здесь и далее мы опускаем индекс №1, идентифицирующий рассматриваемую подсистему):

Для оператора рассматриваемое преобразование эквивалентно квантовому уравнению Лиувилля (3.15) из раздела 3.2.

В формализме матрицы плотности принято рассматривать следующие обобщенные измерения над системой [36,67,68]. Предположим, что результатом измерения может быть один из исходов: . Вероятность исхода дается формулой

Здесь () набор эрмитовых операторов, образующих POVM (положительную операторнозначную меру).

По определению, операторы неотрицательно определены:

Кроме того, предполагается, что рассматриваемые операторы задают разложение единицы

,

где - тождественный оператор (единичная матрица).

В силу эрмитовости и неотрицательной определенности, каждый оператор может быть представлен в виде:

,

где () – некоторые операторы измерения.

Частным случаем операторов являются хорошо известные в квантовой механике ортогональные проекторы.

Пусть, например, задан ортонормированный базис . Каждому базисному вектору можно сопоставить свой оператор проектирования:

(3.23)

(по индексу нет суммирования!)

Задача 3.2 Покажите, что введенные посредством (3.23) операторы, удовлетворяют характерным для операторов ортогонального проектирования условиям:

Задача 3.3 Покажите, что введенные операторы проектирования задают ортогональное разложение единицы, т.е. выполняется условие:

 

 

Глава 4. Основные логические элементы квантовой информатики и их свойства

Лучше скажи мало, но хорошо.

(Козьма Прутков «Мысли и афоризмы», №4).

В настоящей главе мы увидим, что в основе логической структуры квантовой информатики лежат квантовые биты (кубиты), а также преобразования, проводимые над отдельными кубитами и регистрами из кубитов. В разделе 4.1 даётся определение и подробно описываются свойства кубитов, включая представление их состояний на сфере Блоха. В разделе 4.2 показано, что любое заданное состояние кубита может быть реализовано посредством определённого унитарного преобразования. В разделе 4.3 рассмотрено понятие системы кубитов и представлено важное явление квантовой запутанности, являющейся основным ресурсом квантовых информационных технологий. Измерение кубитов, приводящее к необратимому изменению (редукции) их состояния, кратко рассмотрено в разделе 4.4. В разделе 4.5 рассмотрены простейшие квантовые логические элементы, лежащие в основе квантовых информационных технологий. Ещё один важный элемент такого рода, связанный с преобразованием Уолша- Адамара, рассмотрен в разделе 4.6. В разделе 4.7 рассмотрена важная теорема о невозможности клонирования неизвестного квантового состояния, задающая радикальное отличие квантовых информационных процессов по сравнению с классическими. В разделе 4.8 рассмотрены так называемые состояния Белла, задающие максимально запутанные двухкубитовые квантовые состояния. Состояния Белла используются в разделе 4.9 для демонстрации важного квантово-информационного эффекта, связанного с именами Эйнштейна, Подольского и Розена. В разделе 4.10 рассмотрено важное неравенство Белла и описан факт его нарушения в квантовой механике. Нарушение неравенства Белла, подтвержденное в реальных физических экспериментах, доказывает невозможность сведения квантовых статистических закономерностей к классическим посредством введения каких-либо скрытых (латентных) распределений вероятностей для несовместимых наблюдаемых. Наконец, в разделе 4.11 на примере спинового магнитного резонанса рассмотрена одна из возможных моделей физической реализации кубита.

 

4.1 Квантовые биты

Квантовый бит или кубит (qubit) представляет собой двухуровневую квантовую систему [1-5]. Кубит описывается единичным вектором в двумерном комплексном векторном пространстве. Базис такого пространства задается всего двумя единичными ортогональными векторами, обозначаемыми соответственно и . Кубит может быть реализован в различных физических системах.

Приведем только некоторые примеры. Ортонормированный базис и может соответствовать поляризациям фотонов (вертикальной и горизонтальной ), а также любым другим взаимно ортогональным поляризациям, например и (здесь в скобках указан угол между поляризацией фотона и горизонталью).

Базисные состояния кубита могут отвечать состояниям электрона со спином, направленным вверх (spin-up) и вниз (spin-down), в качестве и могут выступать основное и возбужденное состояния так называемого двухуровневого атома (модель двухуровневого атома предполагает, что за счет специального резонансного выбора частоты лазера накачки, в атоме эффективно оказываются задействованными только два определенные энергетические состояния).

Квантовые состояния и , конечно, могут использоваться для записи значений 0 и 1 классического бита информации. Однако, возможности квантового описания информации гораздо шире. В отличие от классического бита, квантовый бит (кубит) может быть представлен суперпозицией базисных векторов и в виде:

,

где и – комплексные числа, такие что .

Если над кубитом производится измерение в базисе , то с вероятностью кубит окажется в состоянии , а с вероятностью в состоянии .

Рассмотрим подробнее математическую модель кубита. Исторически приведенное ниже описание впервые применялось для рассмотрения поляризационных состояний частиц со спином ½ (электронов, протонов, нейтронов, определенных атомов и др.). Представленный формализм, однако, оказывается пригодным и для описания кубитов произвольной физической природы.

Пусть вектор состояния спина- кубита есть:

Для описания математической модели кубита нам потребуются основные сведения из теории спина. Как известно [55,56], оператор спина есть:

,

где введены матрицы Паули, которые в стандартном представлении задаются следующими формулами: