Операторы координаты и импульса в координатном и импульсном представлении. Фундаментальные коммутационные соотношения

Свойства характеристической функции позволяют ввести оператор координаты в импульсном представлении. Действительно, рассматривая характеристическую функцию как свертку (1.5), имеем

Таким образом, если в координатном представлении координата описывается оператором , сводящимся к умножению пси- функции на число , (т.е. ), то в импульсном представлении оператор координаты есть .

Аналогичным образом нетрудно показать, что, если в импульсном представлении импульс описывается оператором , просто сводящимся к умножению пси- функции на число , т.е. , то в координатном представлении оператор импульса есть (изменение знака перед мнимой единицей соответствует отличию между прямым и обратным преобразованиями Фурье).

Заметим, что операторы координаты и импульса эрмитовы. Переход от координатного представления к импульсному оставляет инвариантным фундаментальное коммутационное соотношение:

В случае нескольких степеней свободы представленное каноническое соотношение примет вид

,

Здесь - число степеней свободы

Рассматриваемое соотношение показывает, что каждый импульс не коммутирует только со своей (канонически сопряженной) координатой и коммутирует со всеми остальными координатами.

Все координаты коммутируют между собой, так же как и все импульсы коммутируют между собой

Преобразование, сохраняющее фундаментальные коммутационные соотношения, называются каноническими.

Преобразование Фурье является частным случаем унитарных преобразований. Оказывается, что в квантовой информатике можно рассматривать произвольные унитарные преобразования. При этом будет происходить замена одного представления на другое, дополнительное по отношению к исходному. Измерения, проводимые в различных представлениях, порождают совокупность взаимно- дополнительных распределений. Рассмотренные соображения, изложенные систематическим образом, являются основой постулатов квантовой информатики (см. главу 3).

Приложение 1. Дельта- функция и ее свойства.

Мы приведем только краткую сводку некоторых важных свойств дельта- функции. Более полное и строгое изложение вопроса можно найти в [34].

Дельта- функция является важным инструментом в квантовой информатике, поскольку находит широкое применение в таких вопросах, как теория преобразования Фурье, статистический анализ взаимно- дополнительных распределений и др.

Проведем исследования выражения (1.3) из раздела 1.1:

(П1.1)

В точке рассматриваемый интеграл заведомо расходится. Проведем его регуляризацию. Ограничим область интегрирования по переменной в пределах от до . Регуляризованная версия исходного соотношения (П1.1) есть

Элементарное интегрирование сразу приводит к результату:

Заметим, что интеграл от полученной функции по переменной всегда равен единице:

Проанализируем характер поведения рассматриваемой функции . Её максимум находится в точке и равен . При больших значениях обрезающего множителя рассматриваемая функция локализована внутри интервала порядка . При увеличении функция становится все более и более локализованной вблизи ноля.

Последовательность функций , отвечающая бесконечно растущей последовательности значений , называется дельта-образной. Дельта-функцию можно определить как обобщенную сингулярную предельную функцию дельта-образной последовательности.

Таким образом,

Приведем также некоторые другие представления для дельта- функции:

(П1.2)

(П1.3)

Задача П1.1 Обоснуйте представления (П1.2) и (П1.3) для дельта- функции.

Дельта- функция может рассматриваться как производная от ступенчатой функции (функции Хевисайда)

 

, где

Основное свойство дельта- функции определяет способ ее интеграции с произвольной несингулярной функцией:

Нетрудно получить и некоторые другие свойства для дельта- функции

(П1.4)

(П1.5)

, (П1.6)

где - простые корни функции

 

Задача П1.2. Обоснуйте приведенные формулы (П1.4)- (П1.6).