Неравенство Коши- Буняковского для векторов состояния и его статистическая интерпретация — КиберПедия 

Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...

Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...

Неравенство Коши- Буняковского для векторов состояния и его статистическая интерпретация

2017-12-09 266
Неравенство Коши- Буняковского для векторов состояния и его статистическая интерпретация 0.00 из 5.00 0 оценок
Заказать работу

Рассматриваемое неравенство имеет место для векторов произвольных линейных пространств, в которых определено понятие скалярного произведения. Приведем примеры таких пространств.

В комплексном конечномерном пространстве размерности скалярное произведение двух векторов определяется следующей формулой (в обозначениях Дирака):

В бесконечномерном гильбертовом пространстве аналогичное определение имеет вид:

Наконец, если и - комплексные функции из пространства , то их скалярное произведение есть:

Покажем, что для любых векторов линейного пространства со скалярным произведением выполняется следующее неравенство Коши- Буняковского:

Для определенности, при проведении выкладок будем иметь ввиду функции из пространства .

Предположим вначале, что скалярное произведение - действительное число.

Пусть - действительный параметр. Рассмотрим следующую заведомо неотрицательную функцию от (эта функция представляет собой интеграл от заведомо неотрицательного выражения).

В обозначениях Дирака имеем:

В развернутой записи рассматриваемая функция представляет собой квадратный трехчлен:

Здесь мы учли предположение о действительности рассматриваемого скалярного произведения, т.е. .

Условие неотрицательности означает, что дискриминант меньше или равен нулю:

Таким образом в рассматриваемом случае выполняется неравенство Коши- Буняковского:

Предположим теперь, что - комплексное число. Пусть , где и - действительные числа.

Введем функцию, отличающуюся от только фазой

Тогда является действительным числом и для него выполняется доказанное выше неравенство:

Учтем, что введенное фазовое преобразование не меняет модуля скалярного произведения, поэтому: , .

Таким образом, неравенство Коши- Буняковского выполняется и в общем случае:

Введем величину , называемую согласованностью (fidelity) квантовых состояний и .

Для состояний, нормированных на единицу, имеем просто:

Из неравенства Коши- Буняковского следует, что

Если исходить из этого неравенства, то заманчиво предположить, что задает некоторую вероятность. Так оно и есть. Статистический смысл величины заключается в том, что она задает вероятность обнаружения квантовой системы в состоянии при условии, что она была приготовлена в состоянии

Обмен информацией в природе предполагает, что состояние , приготовленное (созданное) на одном конце (в системе «передатчик») может быть обнаружено (воспринято) таковым в другой системе-«приёмнике». В идеальном случае «приемник» может быть настроен на получение того же квантового состояния, когда (с точностью до фазового множителя). В этом случае . В действительности состояния и , на которые настроен приемник и передатчик соответственно, всегда хотя бы немного отличаются и . В рассматриваемом случае, таким образом, задает вероятность «успеха» приемно- передающего акта.

 


Поделиться с друзьями:

Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...

Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...

Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...

Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...



© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!

0.012 с.