Запас устойчивости по алгебраическому критерию Гурвица

, , где - запас устойчивости.

Запасом устойчивости считается некоторая величина , при которой самый min определитель Гурвица не должен быть меньше этой величины.

При частотных критериях устойчивости различают два критерия: по амплитуде и по фазе.

Запасы устойчивости определяют на двух частотах: частоте среза ω_с и критической частоте ω_кр. На частоте среза АЧХ разомкнутой системы равна единице, на критической частоте ФЧХ принимает значение, равное -π.

Различают запас устойчивости по амплитуде (модулю) и запас устойчивости по фазе.

Запас устойчивости по амплитуде задается некоторой величиной h (рис.5.12,а), на которую должен отличаться модуль АФЧХ разомкнутой системы от единицы на частоте, при которой фаза равняется ψ(ω)= -180⁰, т.е.

h = │1-A(ω)│_{ψ(ω)= -180}⁰│ (5.14)

а) б)

Рис. 5.12. АФЧХ разомкнутой системы

Запас устойчивости по фазе задается некоторым углом μ (рис.5.12,б), на который должна отличаться фаза АФЧХ разомкнутой системы от -180⁰ на частоте, при которой модуль равняется единице, т.е.

μ = │-180⁰ -ψ(ω)│_{A(ω) =1}│ (5.15)

В хорошо демпфированных системах запас устойчивости по амплитуде составляет примерно h = 6÷20 дб, что составляет 2÷10 в линейном масштабе, а запас по фазе μ = 30÷60⁰.

На запас устойчивости влияет коэффициент усиления системы K. Его увеличение, например, для годографа на рис. 5.12 а, приведет к уменьшению запаса устойчивости.

Чтобы спроектировать систему с заданными запасами устойчивости по модулю h_з и фазе μ_з, строят запретную область вокруг точки с координатами (-1, j0), в которую не должна заходить АФЧХ разомкнутой системы (рис.5.13).

Рис. 5.13. Запретная область для АФЧХ разомкнутой системы

При рассмотрении устойчивости САУ необходимо учитывать понятие структурной устойчивости. [32]. Астатическая система может быть неустойчивой по двум причинам: неподходящий состав динамических звеньев и неподходящие значения параметров звеньев.

Системы, неустойчивые по первой причине, называются структурно неустойчивыми. Это означает, что изменением параметров системы нельзя добиться ее устойчивости, нужно менять ее структуру.

Рис. 4.3.1.

Например, если система состоит из любого количества инерционных и колебательных звеньев, она имеет вид, показанный на рис. 4.3.1. При увеличении коэффициента усиления системы K каждая точка ее АФЧХ удаляется от начала координат, пока при некотором значении К_крит АФЧХ не пересечет точку (-1, j0). При дальнейшем увеличении K, система будет неустойчива. И, наоборот, при уменьшении K такую систему, в принципе, можно сделать устойчивой, поэтому ее называют структурно устойчивой.

Cистема, имеющая одно интегрирующее звено, является структурно устойчивой. Если система имеет два интегрирующих звена, то такая система не будет устойчива ни при каких значениях параметров, то есть она структурно неустойчива.

Структурно неустойчивую систему можно сделать устойчивой, включив в нее корректирующие звенья (например, дифференцирующие) или изменив структуру системы, например, с помощью местных обратных связей.