И.И. Гнилуша, В.А. Люторович, В.Т. Кривой, Р.Б. Соколов

И.И. Гнилуша, В.А. Люторович, В.Т. Кривой, Р.Б. Соколов

 

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Учебное пособие

для студентов заочной формы обучения инженерных специальностей

 

Санкт- Петербург

 

УДК 66.02

 

 

Гнилуша, И.И. Начертательная геометрия [Текст]: учебное пособие /

И.И. Гнилуша, В.А. Люторович, В.К. Кривой, Р.Б. Соколов – Спб.: СпбГТИ(ТУ), 2008. – 93 с.

 

Учебное пособие составлено в соответствии с учебной программой и содержит информацию по основным разделам курса «Начертательная геометрия», в нем последовательно рассмотрены все основные темы, входящие в учебный план.

В учебное пособие также включены задачи для выполнения контрольной работы и примеры их решения и оформления.

Учебное пособие предназначено для студентов инженерных специальностей 3 курса заочной формы обучения.

 

 

Рис. 76, табл. 13, библиограф. 3 назв.

 

 

Рецензенты:

1. Ю.Г. Параскевопуло, канд.техн.наук, зав. кафедрой начертательной геометрии и графики Санкт-Петербургского Государственного университета путей сообщения (ПГУПС)

2. И.В. Доманский, д-р техн.наук, проф. зав. кафедрой оптимизации химической и биотехнологической аппаратуры СПбГТИ (ТУ)

 

Утверждено на заседании учебно-методической комиссии общеинженерного отделения 07.04.08 г.

 

 

Рекомендовано к изданию РИСо СПбТИ(ТУ).

Содержание

 

Введение................................................................................................................................................ 6

Принятые обозначения......................................................................................................................... 7

1 Построение проекций точки, заданной аналитически, в ортогональных проекциях............. 8

1.1 Точка общего положения..................................................................................................... 8

1.2 Точка частного положения.................................................................................................. 8

2 Построение аксонометрических проекций точки, заданной аналитически.......................... 11

2.1 Точка общего положения................................................................................................... 11

2.2 Точка частного положения................................................................................................ 11

3 Построение проекций точки, заданной графическим способом........................................... 11

3.1 В ортогональных проекциях.............................................................................................. 11

3.2 В аксонометрических проекциях....................................................................................... 12

4 Вращение точки относительно координатной оси................................................................. 13

5 Построение проекций отрезка прямой линии........................................................................ 15

5.1 В ортогональных проекциях.............................................................................................. 15

5.2 В аксонометрии.................................................................................................................. 16

6 Определение истинной длины отрезка прямой...................................................................... 17

6.1 В ортогональных проекциях.............................................................................................. 17

6.1.1 Метод трапеций........................................................................................................ 17

6.1.2 Метод треугольника................................................................................................. 18

6.1.3 Прямая частного положения.................................................................................... 19

6.1.4 Определение истинной длины отрезка методом вращения.................................... 19

6.2 В аксонометрии.................................................................................................................. 21

7 Определение следов прямой................................................................................................... 22

7.1 В ортогональных проекциях.............................................................................................. 22

7.1.1 Прямая общего положения........................................................................................ 22

7.1.2 Прямая частного положения.................................................................................... 22

7.2 В аксонометрии.................................................................................................................. 24

8 Определение истинной длины отрезка прямой в соответствующих частях пространства... 25

8.1 Пропорциональное деление отрезка.................................................................................. 25

8.2 Истинная длина отрезка по частям пространства............................................................. 25

9 Построение следов плоскости................................................................................................ 28

9.1 Задание координат плоскости............................................................................................ 28

9.2 Вычерчивание третьего следа плоскости по двум заданным........................................... 30

9.3 Плоскость задана отрезками прямых................................................................................ 31

9.3.1 Прямые занимают общее положение....................................................................... 31

9.3.2 Прямые занимают частное положение................................................................... 32

10 Построение проекций геометрических элементов, принадлежащих плоскости................... 33

10.1 Прямая линия в плоскости, заданной следами.................................................................. 33

10.1.1 Линия общего положения...................................................................................... 33

10.1.2 Линия, параллельная плоскости проекций............................................................ 34

10.2 Прямая линия в плоскости, заданной точками, отрезками или плоскими фигурами...... 35

10.3 Точка в плоскости.............................................................................................................. 36

11 Прямая, параллельная плоскости........................................................................................... 37

12 Параллельные плоскости........................................................................................................ 39

12.1 Плоскость задана следами................................................................................................. 39

12.2 Плоскость задана иными геометрическими элементами.................................................. 40

13 Прямая, перпендикулярная к плоскости................................................................................ 40

13.1 Восстановление перпендикуляра заданной длины к плоскости....................................... 40

13.2 Плоскость, перпендикулярная к прямой........................................................................... 41

14 Взаимно перпендикулярные плоскости................................................................................. 42

15 Пересечение плоскостей......................................................................................................... 43

15.1 Обе плоскости заданы следами.......................................................................................... 43

15.1.1 Плоскости общего положения, следы которых пересекаются в пределах

чертежа................................................................................................................. 43

15.1.2 Пересечение с плоскостью уровня........................................................................ 45

15.1.3 Плоскости, пара одноименных следов которых параллельна.............................. 46

15.1.4 Плоскости общего положения, следы которых не пересекаются в пределах

чертежа................................................................................................................. 46

15.1.5 Пересечение двух профильно-проецирующих плоскостей.................................... 46

15.2 Плоскости, заданные параллельными или пересекающимися прямыми......................... 48

16 Точка встречи прямой с плоскостью...................................................................................... 50

16.1 Пересечение прямой и плоскости общего положения...................................................... 50 16.2 Определение видимости прямой относительно плоскости с помощью

конкурирующих точек....................................................................................................... 51

16.3 Пересечение прямой с проецирующими плоскостями..................................................... 53

17 Метод перемены плоскостей проекций.................................................................................. 56

17.1 Общие случаи применения метода ППП........................................................................... 56

17.1.1 Преобразование точки, прямой............................................................................ 56

17.1.2 Преобразование плоскости, заданной следами.................................................... 57

17.2 Перевод отрезка прямой в частное положение................................................................. 57

17.2.1 Преобразование прямой общего положения в прямую, параллельную

плоскости проекций.............................................................................................. 57

17.2.2 Преобразование прямой в проецирующую............................................................ 57

17.3 Перевод плоскости в частное положение.......................................................................... 58

17.3.1 Преобразование плоскости общего положения в проецирующую....................... 58

17.3.2 Преобразование плоскости в дважды проецирующую........................................ 58

17.4 Построение истинной величины плоской фигуры методом ППП.................................... 59

17.5 Решение позиционных задач методом ППП..................................................................... 60

17.5.1 Пересечение плоскостей........................................................................................ 60

17.5.2 Точка встречи прямой и плоскости...................................................................... 61

18 Построение истинной величины плоской фигуры, лежащей в плоскости частного

положения, методом совмещения.......................................................................................... 62

19 Использование метода вращения относительно горизонтали (фронтали) для

определения истинной величины плоской фигуры............................................................... 63

19.1 Определение положения точки при вращении относительно горизонтали (фронтали).. 63

19.2 Определение истинной величины плоской фигуры.......................................................... 64

20 Использование методов преобразования проекций для определения расстояния между

геометрическими элементами................................................................................................ 65

20.1 Кратчайшее расстояние до прямой.................................................................................... 65

20.1.1 Определение кратчайшего расстояния от точки до прямой методом

перемены плоскостей проекций........................................................................... 65

20.1.2 Определение кратчайшего расстояния от точки до прямой методом вращения относительно горизонтали (фронтали)............................................. 66 20.1.3 Кратчайшее расстояние между параллельными прямыми................................. 67

20.1.4 Кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми........................... 67

20.2 Кратчайшее расстояние до плоскости............................................................................... 69

20.2.1 Кратчайшее расстояние от точки до плоскости............................................... 69

20.2.2 Кратчайшее расстояние между параллельными плоскостями.......................... 70

20.2.3 Кратчайшее расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью........... 71

21 Применение методов преобразования эпюра для определения угла между

геометрическими элементами................................................................................................ 73

21.1 Угол между пересекающимися прямыми.......................................................................... 73

21.1.1 Решение методом вращения относительно горизонтали (фронтали)............... 73

21.1.2 Решение методом перемены плоскостей проекций............................................. 74

21.2 Угол между скрещивающимися прямыми........................................................................ 74

21.3 Угол между прямой и плоскостью.................................................................................... 75

21.4 Угол между плоскостями................................................................................................... 76

21.4.1 Построение методом вращения относительно горизонтали (фронтали)......... 76

21.4.2 Построение методом перемены плоскостей проекций....................................... 78

22 Определение линии пересечения тела плоскостью частного положения............................. 79

22.1 Пересечение с призмами и пирамидами............................................................................ 79

22.2 Пересечение с конусами.................................................................................................... 81

22.3 Пересечение с цилиндрами................................................................................................ 82 22.4 Пересечение с профильно-проецирующей плоскостью................................................... 84

22.5 Определение линии пересечения с построением истинной величины фигуры сечения.. 85

23 Решение задач с нетиповыми условиями............................................................................... 85

23.1 Задачи, связанные с определением удаленности от плоскости проекций........................ 87

23.2 Задачи, проверяющие свойства, связанные с взаимным положением элементов............ 87

23.3 Задачи, связанные с комплексным применением методов преобразования эпюра......... 88

23.4 Задачи, связанные с построением истинной величины углов.......................................... 89

24 Контрольные вопросы по разделу «Начертательная геометрия».......................................... 91

Список литературы............................................................................................................................. 93

Введение

В пособии дается необходимая краткая теоретическая справка по вопросам курса начертательной геометрии. Объем сведений соответствует разделу ОПД.Ф.01.01 Государственного образовательного стандарта.

Выписка из Государственного образовательного стандарта

Индекс

Наименование дисциплин и их основные разделы

ОПД.Ф.01   ОПД.Ф.01.01

Начертательная геометрия. Инженерная графика.   Начертательная геометрия: Задание точки, прямой, плоскости и многогранников на комплексном чертеже Монжа; позиционные задачи; метрические задачи; способы преобразования чертежа; многогранники; кривые линии; поверхности; поверхности вращения; линейчатые поверхности; винтовые поверхности; циклические поверхности; обобщенные позиционные задачи; метрические задачи; построение разверток поверхностей; касательные линии и плоскости к поверхности; аксонометрические проекции.

 

Основное содержание пособия составляют алгоритмы решения задач, входящих в альбомы домашних заданий, а также выносимых на контрольные мероприятия. Каждый алгоритм снабжен графическими примерами, для которых приведен подробный разбор решения. Ряд иллюстраций предназначается в качестве образца оформления заданий, представляемых студентками на проверку.

В процессе изучения начертательной геометрии студенту необходимо выполнить контрольную работу, состоящую из 8 задач, охватывающих все основные разделы дисциплины. Задачи решаются в соответствии с индивидуальным заданием. Вместе с пособием студент получает один из 10 вариантов заданий. Номер варианта выбирается в зависимости от первой буквы фамилии студента по таблице 1.

 

Таблица В.1 – Варианты заданий

А,Б

В,Г,Д,

Е,Ж,З

И,К,Л

М,Н,

О,П,

Р,С

Т,У,Ф,Х

Ц,Ч,Ш,Щ

Э,Ю,Я

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

 

Каждая задача оформляется на листе формата А4 с заполненной основной надписью. Все построения, обозначения, текстовая часть выполняются карандашом. Причем построения проводятся только при помощи чертежного инструмента. Все надписи и буквенно-цифровые обозначения выполняют стандартным шрифтом.

На чертежах необходимо оставлять все линии как основных, так и вспомогательных построений.

Если в решении нет ошибок, ставится подпись преподавателя в основной надписи (штампе), а ее выполнение отмечается в кафедральном журнале. Если преподавателем обнаружены ошибки или работа выполнена не до конца, задача не зачитывается и студент получает работу с замечаниями преподавателя, расположенными на свободном месте поля чертежа или на полях формата. Замечания преподавателя должны быть сохранены.

Работу над ошибками следует выполнить либо на лицевой, либо на оборотной стороне листа с решением задачи. После исправления ошибок работа вновь сдается на проверку.

После того, как все задачи будут подписаны, их брошюруют в единый альбом и заполняют приложенный титульный лист.

Принятые обозначения

1. Точки в пространстве обозначаются прописными буквами латинского алфавита A,B,C,..., а также цифрами.

2. Линии, произвольно расположенные в пространстве – строчными буквами латинского алфавита a,b,c..., а также точками, определяющими линию.

3. Линии, параллельные плоскостям проекции: горизонтальная – h, вертикальная – f, профильная - p.

4. Плоскости проекций: горизонтальная – π₁, фронтальная – π₂, профильная – π₃, любая дополнительная – π₄, π₅ и т.п.

5. Проекции точек: на горизонтальную плоскость π₁ – A^/, B^/, C^/..., на фронтальную плоскость π₂ – A^//, B^//, C^//..., на профильную плоскость – A^///, B^///, C^///,....

6. Плоскости, произвольно расположенные в пространстве – строчными буквами греческого алфавита α, β, γ, σ....

7. Обозначение плоскостей, заданных следами: горизонтальный след плоскости α – h^/₀α,, фронтальный след плоскости α – ^{f //}_0α,, профильный след плоскости α – ^p///_0α.

8. Точки схода следов для плоскости α - X_α , Y_α, Z_α.

9. Дополнительные плоскости при перемене плоскостей проекции – π₁/π₄ или π₂/π₄, π₄/π₅.

Используемые обозначения соответствуют принятым в рекомендованной для студентов литературе [1, 2].

 

 

Авторы выражают благодарность за техническую помощь при подготовке данного пособия сотрудникам кафедры инженерного проектирования Булиной Е.Н., Коробициной Е.А., Чечулиной Л.Г.

 

 

Точка общего положения

Аналитическое задание точки – это представление ее положения в пространстве с помощью трех числовых значений, ее координат. Пусть нужно построить положение точки А с координатами (x_A, y_A, z_A). Предлагается следующий порядок действий:

1.1.1 Произвести градуировку осей, при необходимости, выполнив масштабирование. (Как правило, при выполнении заданий, предполагается решение в натуральную величину, т.е. 1 единица = 1 мм)

1.1.2 Отложить значения координат по соответствующим осям. При этом на осях помечают проекции точки на соответствующие оси: A_х, A_y, A_z. Следует помнить, что на комплексном чертеже координата y используется дважды: для определения горизонтальной и профильной проекций точки. Поэтому ординату точки, как правило, откладывают по оси y, предназначенной для горизонтальной плоскости проекций (для определенности ее можно обозначить y_1), а затем переносят на ось y профильной плоскости проекций – y_3. Будьте внимательны и производите перенос ординаты только в направлении

ветви оси, имеющей тот же знак координат. При положительной ординате перенос выполняется в нижней правой четверти системы координат комплексного чертежа, при отрицательной – в верхней левой. Две остальные четверти в этой операции не участвуют.

1.1.3 Определить проекции заданной точки на плоскости проекций. Каждая из этих трех проекций связана с парой проекций точки на оси: горизонтальная проекция A – с A_x и

A_y1, фронтальная A’’ – с A_x и A_z, а профильная A’’’ - с A_y3 и A_z. Проекционная связь прочерчивается тонкой сплошной линией от проекции точки на соответствующую ось параллельно той оси, по которой отсчитывается вторая координата, определяющая положение проекции точки. Проекция располагается в месте пересечения двух линий проекционной связи и отмечается зачерненной окружностью с диаметром около 1 мм. Характерное расположение проекций точек, принадлежащих каждой из частей пространства, проиллюстрировано на рисунке 1.

1.1.4 Выяснить принадлежность точки частям пространства. Рассуждения основываются на расположении проекций точки в четвертях комплексного чертежа (см. рисунок 1) или же на знании знаков координат в том или ином октанте. Знаки координат по частям пространства приведены в таблице 1.

Таблица 1 - Координаты точки, расположенной в различных октантах

Точка частного положения

Особенность точки частного положения состоит в том, что хотя бы одна из ее координат имеет нулевое значение. Алгоритм построения проекций точки частного положения – тот же, что и для точки общего положения, однако имеются некоторые особенности:

1.2.1 Действия те же, что и в пп. 1.1.1, 1.1.2. Координата с нулевым значением отмечается в начале координат.

A (25, 30, 15) z, -y _{}1 В (20, -2 0, 20)

I I I I I I

B, B, B

I I A _z A I I I

A

A y 3 B y 3

x, -y _{}3 A _x O y _{}3, -x x, -y _{}3 B _x

I

A A ^y ₁ A л е ж и т в I о к т.

y _{}1, -z

z, -y _{}1

B y 1, B z

O y _{}3, -x

B л е ж и т в о I I о к т. y _{}1, -z

C (10, -1 5, -3 0) z, -y _{}1 D (30, 20, -2 0) z, -y ₁

I

C C y 1

C y 3 D _x D y 3 x, -y _{}3 C _x O y _{}3, -x x, -y _{3} O y _{}3, -x

I I I

I I I D y, D ^D

I I I D, D _{}1 z

C I I C ^z C л е ж и т в I I I о к т. D л е ж и т в I V о к т.

C

y _{}1, -z y _{}1, -z

K (-2 5, 30, 15) z, -y ₁ L (-2 0, -2 0, 20) z, -y ₁

^K I I I I I I L

K _z I I K L y 1, L z L, I L I I

K x K y _{}3 L y _{}3

x, -y _{3} O y 3, -x x, -y _{}3 O L _x y _{}3, -x

K ^{y 1} K K л е I ж и т в V о к т. L л е ж и т в V I о к т. y 1, -z y 1, -z

E (-1 0, -1 5, -3 0) z, -y 1 F (-3 0, 20, -2 0) z, -y ₁

E y 1 E I

E y 3 E x F y _{}3 F _x

x, -y _{}3 O y ₃ , -x x, -y _{}3 O y _{}3, -x

F y 1, F z I I I F, I F I I

_E I I I E I I F

E _z E л е ж и т в V I I о к т. F л е ж и т в V I I I о к т. y _{}1, -z y _{}1, -z

 

Рисунок 1 - Проекции точки общего положения на комплексном чертеже

1.2.2 Проекционные связи строятся так же, как описано в п. 1.1.3. Линия проекционной связи от координаты с нулевым значением проводится по одной из координатных осей в направлении второй, ненулевой координаты, определяющей положение проекции: сама искомая проекция точки в этом случае совпадает с указанной значимой координатой. Если же обе координаты проекции точки имеют нулевое значение, такая проекция лежит в начале координат. Примеры ортогональных проекций точек частного положения приводятся на рисунке 2.

M (-2 0, 30, 0) z N (10, 0, 30) z I I N _z

N

I I I

N

M z M x N I N y

x O M I I M I I I y _{}3 x N _x O ^y 3

I

^{y 1} M ^y M _м M е _ж л е д ж у и V т и в V п I л I _I . о к ¹_т ,. ^{y 1} N м _е л ж е д ж у и т I _и в I _I п о л к. т . ² ,

P (0, -2 0, -2 5) z z

S (25, 0, 0)

P y _P I

P y P x S,I S I I S I I I S y, S z

x O y 3 x S x O ^y 3

I I I I I P

P ₁ P ^z P л е ж и т в п л. ³ , y ₁ м S е л ж е д ж у и I т, I I н, а I I I о и с и I V O о x к, т. y  м е ж д у I I I и V I I о к т.

Т (0, 30, 0) z U (0, 0, -2 0) z

T I I T x, T z T I I I U I U _x , U _y x y 3 x O y 3

O

I I I I I

I ^{U, U U} z U л е ж и т н а о с и O z,

T T _y T л е ж и т н а о с и O y, м е ж д у I I I, I V, V I I и y _{}1 м е ж д у I, I V, V и V I I I о к т. y _{}1 V I I I о к т.

 

Рисунок 2 - Проекции точки частного положения на комплексном чертеже

1.2.3 Определить положение точки в пространстве. Если точка принадлежит плоскости проекций, то она лежит одновременно в двух октантах, разделенных этой плоскостью. Если она – на оси, то можно говорить о принадлежности четырем октантам. Определить, в какой плоскости или на какой оси лежит точка, помогают нулевые координаты точки

(таблица 2). Между какими октантами находится заданная точка частного положения, позволят определить знаки координат (см. таблицу 1).

Таблица 2 - Координаты точки частного положения

			Точка принадлежит
	плоскости			оси
Координата	π1	π2	π3	X	Y	Z
x	+/-	+/-		+/-
y	+/-		+/-		+/-
z		+/-	+/-			+/-

Точка общего положения

Алгоритм определения положения точки и ее проекций в аксонометрии выглядит следующим образом:

2.1.1 Отградуировать оси с учетом масштабного коэффициента и коэффициентов искажения по осям, свойственных для выбранной аксонометрической проекции (например, для прямоугольной изометрии коэффициенты искажения составляют K_X=K_Y=K_Z=1,0, тогда как в косоугольной фронтальной диметрии K_X=K_Z=1,0, а K_Y= 0,5).

2.1.2 Отложить координаты точки по соответствующим осям. В отличие от комплексного чертежа, ось ординат в аксонометрии не «раздваивается», поэтому координата y откладывается единожды.

2.1.3 Установить проекционные связи между проекциями на оси по тем же правилам, что были изложены в п. 1.1.3 для ортогональных проекций. Следует тщательно соблюдать параллельность линий проекционной связи соответствующим координатным осям.

2.1.4 Построить недостающие линии проекционной связи и замкнуть каркас параллелепипеда проекций. В результате этого вершина, лежащая на диагонали, выходящей из начала координат, окажется образом точки в аксонометрической проекции. Пример проекций точки общего положения в косоугольной фронтальной диметрии дан на рисунке 3, а.

2.1.5 Проверить соответствие положения точки на аксонометрической проекции утверждению о ее принадлежности октанту, сделанному по эпюру.

Точка частного положения

Аксонометрические проекции точки частного положения строятся по той же методике, что была описана для точки общего положения. При этом следует учитывать замечания, приведенные в п. 1.2.2, для построения линий проекционной связи от нулевых координат.

Для определения положения самой точки не придется проводить дополнительных линий проекционной связи, так как описанный параллелепипед в случае точки частного положения вырождается в одну грань (точка в плоскости) или всего в одно ребро (точка на оси).

Аксонометрическая проекция точки, естественно, совпадает с одной из ее проекций, лежащих в том элементе системы координат, которому она принадлежит.

Примеры косоугольной фронтальной диметрии точек частного положения даны на

рисунках 3, б и в.

В ортогональных проекциях

Положение точки в пространстве может быть задано графическим способом, путем указания двух ее проекций. В ходе решения остается определить положение третьей проекции точки и ее принадлежность к какой-либо части пространства, координатной оси или плоскости проекций.

z

F (-3 0, 20, -2 0)

z

P (0, -2 0, -2 5)

I P y

F x P P x

x O F I x O

F y I I

F _z y F P, P I I I I I y

_P

I I I F P z

F

а) б)

z

T (0, 30, 0)

I I

T _x , T _z , T

x O T, I T I I, I T

T _y

y

Р и с у н о к 3 - Т о ч к а в к о с о у г о л ь н о й ф р о н т а л ь н о й д и м е т р и и: а) т о ч к а о б щ е г о п о л о ж е н и я; б) т о ч к а, п р и н а д л е ж а щ а я п л о с к о с т и п р о е к ц и й;

^в) в) т о ч к а, л е ж а щ а я н а к о о р д и н а т н о й о с и

 

3.1.1 По заданным проекциям обозначить три проекции точки на координатные оси (см.

п. 1.1.3). Если какая-либо из проекций точки на плоскости проекций лежит на одной из координатных осей, следовательно, задана точка частного положения, и при определении ее координат следует руководствоваться замечаниями, высказанными в п. 1.2.2.

3.1.2 Выполнить перенос координаты y так, как это было описано в п. 1.1.2.

3.1.3 Построить недостающую проекцию точки так, как это было описано в пп. 1.1.3 и 1.2.2.

3.1.4 Описать принадлежность точки, согласно указанному в пп. 1.1.4 и 1.2.3.

В ортогональных проекциях

5.1.1 Построить проекции заданных точек отрезка, действуя в зависимости от способа их задания (см. Алгоритмы 1, 3.1).

5.1.2 Проекции точек, лежащие в одной и той же плоскости проекций, соединяют отрезком основной сплошной линии.

Построение проекций отрезка прямой линии в ортогональных проекциях показано на рисунке 7.

Прямая АВ задана координатами концевых точек (рисунок 7, а). Отложим на осях координаты точки А и найдем три ее проекции: A’, A’’ и A’’’. Так же получим фронтальную, горизонтальную и профильную проекцию точки В – В’’, B’ и В’’’. Соединим одноименные проекции точек и получим проекции отрезка прямой: горизонтальную A’B’, фронтальную A’’В’’ и профильную A’’’В’’’.

A (60, 20, 40) z B (-4 0, -4 5, -1 0) B

I З а д а н ы C D I I и C I D I I I ^z

I I y B D _y D I

A I I I

A _z A

C _x D _y O C y d x

x I I y

C C _z C I I I

A x B _y B _x

x I I I B z O A y B I I y D I I I D _z D I I

B

I

i A _y C C _y

A

а)

y y б)

Рисунок 7 - Отрезок прямой линии на комплексном чертеже: а) заданный аналитически; б) заданный графическим способом

На рисунке 7, б прямая CD задана горизонтальной и фронтальной проекциями отрезка: C’D’ и

C’’D’’. Находим профильную проекцию точки С. Горизонтальная проекция C’ определяет положение C_х и C_у, фронтальная C’’ дает еще и C_z. Переносим C_у на ось ординат профильной плоскости. Построив проекционные связи от нее и от C_z, получаем C’’’. Аналогично находим D’’’. Соединив C’’’ и D’’’, получаем профильную проекцию отрезка прямой CD.

В аксонометрии

5.2.1 Построить проекции заданных точек отрезка, действуя в зависимости от способа их задания (см. Алгоритмы 2, 3.2).

5.2.2 Одноименные проекции и сами крайние точки отрезка прямой соединить отрезками основной сплошной линии.

На рисунке 8 показаны различные аксонометрические проекции отрезков прямых, эпюры которых изображены на рисунке 7.

 

Рисунок 8 - Отрезок прямой линии в аксонометрических проекциях: а) в косоугольной фронтальной диметрии; б) в прямоугольной изометрии

В ортогональных проекциях

Метод трапеций

6.1.1.1 Построить проекции отрезка прямой в ортогональной системе (см. Алгоритм 5.1). Для выяснения истинной длины достаточно всего двух проекций отрезка, как правило, фронтальной и горизонтальной, хотя построение по этому методу может быть выполнено на любой из проекций, в том числе и профильной.

6.1.1.2 Выбрать в качестве базы для построений одну из проекций. Определить, какая координата не участвовала в построении данной проекции отрезка. Такую координату принято называть «недостающей» (см. Таблицу 4).

Таблица 4 - «Недостающие координаты» при построении истинной длины отрезка прямой по методам трапеций и треугольника

Базовая проекция	горизонтальная	фронтальная	профильная
«Недостающая координата»	z	y	x

 

6.1.1.3 В одной из крайних точек базовой проекции восстановить к ней перпендикуляр. На нем от крайней точки отложить расстояние, равное «недостающей координате» данной точки.

6.1.1.4 Восстановить перпендикуляр во второй крайней точке базовой проекции.

Перпендикуляр откладывать в ту же сторону, если знаки «недостающих координат» крайних точек отрезка одинаковы, или в противоположную, если знаки различны. На лучé отложить расстояние, равное «недостающей координате» данной крайней точки.

6.1.1.5 Соединить точки, полученные при построениях по пп. 6.1.1.3 и 6.1.1.4. Вычерченный отрезок и является искомой истинной длиной.

Рисунок 9 иллюстрирует определение истинной длины по методу трапеций для тех же отрезков, что были вычерчены на Рис. 7.

Рисунок 9 - Определение истинной длины отрезка прямой на комплексном чертеже методом трапеций:

а) на основании фронтальной проекции; б) на основании горизонтальной проекции

 

Выберем в качестве базовой фронтальную проекцию отрезка прямой АВ (рисунок 9, а). На построенном из точки A’’ в произвольном направлении перпендикуляре к A’’В’’ откладываем «недостающую координату» - y_A. Этот отрезок определяет положение точки А*. Так как y_A и y_B имеют различные знаки, перпендикуляр к фронтальной проекции отрезка АВ в точке В’’ строим в противоположную сторону. На нем откладываем расстояние, равное y_B. Получаем В*. Соединяем А* и В*:

это – истинная длина отрезка АВ.

Истинная длина отрезка CD (рисунок 9, б) определяется тем же методом. Имеются два отличия. Первое: базовой выбрана горизонтальная проекция (C’D’), поэтому на перпендикулярах откладываются координаты z_C и z_D. Второе: координаты z_C и z_D имеют один знак, поэтому они отложены в одну и ту же сторону.

Метод треугольника

6.1.2.1 Построить проекции отрезка прямой; выбрать базу для построений перпендикуляра

(пп. 6.1.1.1 и 6.1.1.2).

6.1.2.2 В одной из крайних точек базовой проекции восстановить в произвольном направлении перпендикуляр. На нем отложить расстояние, равное алгебраической разности

«недостающих координат» точек, ограничивающих отрезок. Выражение «алгебраическая разность» означает учет знаков координат: если координаты имеют одинаковый знак, то выполняется вычитание значений, если же разный, их необходимо сложить.^[1]

6.1.2.3 Полученную в результате описанного построения точку соединить с другой крайней точкой отрезка прямой, не затронутой построениями. Построенный отрезок будет соответствовать истинной длине.

Рисунок 10 иллюстрирует определение истинной длины по методу треугольника для тех же отрезков, что были представлены на рисунке 7.

Истинная длина отрезка АВ (рисунок 10, а) строится на его фронтальной проекции A’’В’’. На перпендикуляре, восстановленном в точке В’’, откладываем алгебраическую разность координат y концов отрезка: так как знаки