Прямая линия в плоскости, заданной точками, отрезками или плоскими фигурами

Если плоскость задана не следами, а какими-либо иными геометрическими элементами, нет необходимости строить следы плоскости, чтобы построить недостающую проекцию прямой. Можно воспользоваться утверждением: прямая принадлежит плоскости, если принадлежат плоскости две ее произвольные точки.

10.2.1 Продлить заданную проекцию отрезка прямой так, чтобы она пересекла две различных прямых из набора геометрических элементов, задающих плоскость.

10.2.2 Если точки пересечения не достижимы в плоскости чертежа, нужно провести в этой же плоскости проекций вспомогательные прямые, позволяющие найти необходимые точки пересечения. В проекционной связи построить вторые проекции этих прямых.

10.2.3 Получить вторые проекции точек пересечения линии, принадлежащей плоскости, с задающими плоскость геометрическими элементами (и/или вспомогательными прямыми).

10.2.4 Через полученные проекции точек пересечения построить искомую вторую проекцию отрезка прямой линии.

10.2.5 При необходимости, третья проекция прямой (отрезка прямой) может быть построена по двум имеющимся (см. Алгоритм 5.1).

Этот Алгоритм подходит для построения как прямой общего положения, так и особых линий плоскости (рисунок 27).

Плоскость на рисунке 27, а задана точкой А и отрезком ВС. Задана фронтальная проекция отрезка K’’L’’, принадлежащего плоскости. Требуется построить его горизонтальную проекцию.

Продлим K’’L’’. Она пересекает принадлежащие плоскости отрезки В’’C’’ и A’’C’’ в точках 1’’ и 2’’ соответственно. Найдем в проекционной связи точки 1’ и 2’ на горизонтальных проекциях тех же отрезков.

Построим горизонтальную проекцию прямой 1’2’ и на ней в проекционной связи отметим точки K’ и L’.

На рисунке 27, б требуется построить фронталь плоскости, заданной параллельными прямыми AB и CD, проходящую через точку S (дана горизонтальная проекция точки S’). Горизонтальная проекция фронтали S’T’ параллельна оси Оx. Она пересекает проекции прямых A’B’ и B’D’ в точках 1’ и 2’, соответственно. Строим в проекционной связи точки 1’’ и 2’’ и проводим через них фронтальную проекцию фронтали S’’T’’, задающую направление фронтального следа плоскости.

Рисунок 27 - Прямая линия в плоскостях, не заданных следами: а) отрезок прямой общего положения; б) отрезок фронтали

Точка в плоскости

Построение опирается на следующее положение: точка принадлежит плоскости, если лежит на линии, содержащейся в плоскости.

10.3.1 Через заданную проекцию точки провести произвольную прямую, принадлежащую заданной плоскости. Построенная проекция может относиться к линии как частного (рисунок 28, а), так и общего положения (рисунок 28, б).

10.3.2 Построить вторую проекцию этой вспомогательной прямой в соответствии с Алгоритмом

11.1 или 11.2 в зависимости от способа задания плоскости.

10.3.3 Искомую вторую проекцию точки найти в проекционной связи на второй проекции вспомогательной прямой.

По этому же алгоритму достраивают вторую проекцию плоской фигуры, если плоскость задана многоугольником (рисунок 28, б).

В плоскости α (h’_0α, f’’_0α) лежит точка К, для которой задана горизонтальная проекция K’ (рисунок 28, а). Необходимо построить K’’. Проведем через K’ горизонтальную проекцию горизонтали плоскости α параллельно следу h’_0α. В точке пересечения ею оси Оx находится горизонтальная проекция ее фронтального следа N’. Точка N’’ лежит в проекционной связи на фронтальном следе плоскости f’’_0α. Через нее проходит параллельная оси Оx фронтальная проекция горизонтали, на которой в проекционной связи находится проекция K’’.

Фронтальная проекция пятиугольника ABCDE задана только двумя отрезками A’’В’’ и В’’C’’. Остальные отрезки требуется достроить с учетом их принадлежности плоскости (рисунок 28, б). Проводим на горизонтальной проекции диагонали A’C’, B’E’ и B’D’. Попарно они дают точки пересечения 1’ и 2’. Находим в проекционной связи фронтальные проекции этих точек 1’’ и 2’’ на A’’C’’. Через эти точки проводим вторые проекции диагоналей В’’1’’ и В’’2’’. На них в проекционной связи отмечаем точки E’’ и D’’, соответственно.

Рисунок 28 - Построение вторых проекций точек, принадлежащих плоскости: а) в плоскости, заданной следами; б) в плоскости, заданной многоугольником

Описанные в параграфах 9 и 10 Алгоритмы, как правило, входят в виде компонентов в более сложные задания (рисунок 29).

Рисунок 29 – это пример решенной в соответствии с Алгоритмами 9.2 и 10.1 и оформленной Задачи № 3 из альбома заданий.