Построение проекций отрезка прямой линии

Отрезок прямой однозначно задается двумя ограничивающими его точками. Поэтому построение проекций прямой линии сводится к прочерчиванию отрезков между одноименными проекциями ограничивающих точек.

В ортогональных проекциях

5.1.1 Построить проекции заданных точек отрезка, действуя в зависимости от способа их задания (см. Алгоритмы 1, 3.1).

5.1.2 Проекции точек, лежащие в одной и той же плоскости проекций, соединяют отрезком основной сплошной линии.

Построение проекций отрезка прямой линии в ортогональных проекциях показано на рисунке 7.

Прямая АВ задана координатами концевых точек (рисунок 7, а). Отложим на осях координаты точки А и найдем три ее проекции: A’, A’’ и A’’’. Так же получим фронтальную, горизонтальную и профильную проекцию точки В – В’’, B’ и В’’’. Соединим одноименные проекции точек и получим проекции отрезка прямой: горизонтальную A’B’, фронтальную A’’В’’ и профильную A’’’В’’’.

A (60, 20, 40) z B (-4 0, -4 5, -1 0) B

I З а д а н ы C D I I и C I D I I I ^z

I I y B D _y D I

A I I I

A _z A

C _x D _y O C y d x

x I I y

C C _z C I I I

A x B _y B _x

x I I I B z O A y B I I y D I I I D _z D I I

B

I

i A _y C C _y

A

а)

y y б)

Рисунок 7 - Отрезок прямой линии на комплексном чертеже: а) заданный аналитически; б) заданный графическим способом

На рисунке 7, б прямая CD задана горизонтальной и фронтальной проекциями отрезка: C’D’ и

C’’D’’. Находим профильную проекцию точки С. Горизонтальная проекция C’ определяет положение C_х и C_у, фронтальная C’’ дает еще и C_z. Переносим C_у на ось ординат профильной плоскости. Построив проекционные связи от нее и от C_z, получаем C’’’. Аналогично находим D’’’. Соединив C’’’ и D’’’, получаем профильную проекцию отрезка прямой CD.

В аксонометрии

5.2.1 Построить проекции заданных точек отрезка, действуя в зависимости от способа их задания (см. Алгоритмы 2, 3.2).

5.2.2 Одноименные проекции и сами крайние точки отрезка прямой соединить отрезками основной сплошной линии.

На рисунке 8 показаны различные аксонометрические проекции отрезков прямых, эпюры которых изображены на рисунке 7.

 

Рисунок 8 - Отрезок прямой линии в аксонометрических проекциях: а) в косоугольной фронтальной диметрии; б) в прямоугольной изометрии

Определение истинной длины отрезка прямой

Этот Алгоритм – первый в группе методов, применяющихся при решении так называемых метрических задач. Выяснение истинной длины отрезка прямой может входить в состав алгоритмов решения более сложных, комплексных задач.

В ортогональных проекциях

Метод трапеций

6.1.1.1 Построить проекции отрезка прямой в ортогональной системе (см. Алгоритм 5.1). Для выяснения истинной длины достаточно всего двух проекций отрезка, как правило, фронтальной и горизонтальной, хотя построение по этому методу может быть выполнено на любой из проекций, в том числе и профильной.

6.1.1.2 Выбрать в качестве базы для построений одну из проекций. Определить, какая координата не участвовала в построении данной проекции отрезка. Такую координату принято называть «недостающей» (см. Таблицу 4).

Таблица 4 - «Недостающие координаты» при построении истинной длины отрезка прямой по методам трапеций и треугольника

Базовая проекция	горизонтальная	фронтальная	профильная
«Недостающая координата»	z	y	x

 

6.1.1.3 В одной из крайних точек базовой проекции восстановить к ней перпендикуляр. На нем от крайней точки отложить расстояние, равное «недостающей координате» данной точки.

6.1.1.4 Восстановить перпендикуляр во второй крайней точке базовой проекции.

Перпендикуляр откладывать в ту же сторону, если знаки «недостающих координат» крайних точек отрезка одинаковы, или в противоположную, если знаки различны. На лучé отложить расстояние, равное «недостающей координате» данной крайней точки.

6.1.1.5 Соединить точки, полученные при построениях по пп. 6.1.1.3 и 6.1.1.4. Вычерченный отрезок и является искомой истинной длиной.

Рисунок 9 иллюстрирует определение истинной длины по методу трапеций для тех же отрезков, что были вычерчены на Рис. 7.

Рисунок 9 - Определение истинной длины отрезка прямой на комплексном чертеже методом трапеций:

а) на основании фронтальной проекции; б) на основании горизонтальной проекции

 

Выберем в качестве базовой фронтальную проекцию отрезка прямой АВ (рисунок 9, а). На построенном из точки A’’ в произвольном направлении перпендикуляре к A’’В’’ откладываем «недостающую координату» - y_A. Этот отрезок определяет положение точки А*. Так как y_A и y_B имеют различные знаки, перпендикуляр к фронтальной проекции отрезка АВ в точке В’’ строим в противоположную сторону. На нем откладываем расстояние, равное y_B. Получаем В*. Соединяем А* и В*:

это – истинная длина отрезка АВ.

Истинная длина отрезка CD (рисунок 9, б) определяется тем же методом. Имеются два отличия. Первое: базовой выбрана горизонтальная проекция (C’D’), поэтому на перпендикулярах откладываются координаты z_C и z_D. Второе: координаты z_C и z_D имеют один знак, поэтому они отложены в одну и ту же сторону.

Метод треугольника

6.1.2.1 Построить проекции отрезка прямой; выбрать базу для построений перпендикуляра

(пп. 6.1.1.1 и 6.1.1.2).

6.1.2.2 В одной из крайних точек базовой проекции восстановить в произвольном направлении перпендикуляр. На нем отложить расстояние, равное алгебраической разности

«недостающих координат» точек, ограничивающих отрезок. Выражение «алгебраическая разность» означает учет знаков координат: если координаты имеют одинаковый знак, то выполняется вычитание значений, если же разный, их необходимо сложить.^[1]

6.1.2.3 Полученную в результате описанного построения точку соединить с другой крайней точкой отрезка прямой, не затронутой построениями. Построенный отрезок будет соответствовать истинной длине.

Рисунок 10 иллюстрирует определение истинной длины по методу треугольника для тех же отрезков, что были представлены на рисунке 7.

Истинная длина отрезка АВ (рисунок 10, а) строится на его фронтальной проекции A’’В’’. На перпендикуляре, восстановленном в точке В’’, откладываем алгебраическую разность координат y концов отрезка: так как знаки их противоположны, это – y_A + y_B. Получаем точку В*. Точка А* совпадает с A’’.

Соединяем А* и В*: это – истинная длина отрезка АВ.

Истинная длина отрезка CD (рисунок 10, б) построена на его горизонтальной проекции С’D’. Перпендикуляр возведен в точке D’. На нем отложена алгебраическая разность координат (z_D – z_C). В результате этой операции получена точка D*. С* находится в точке с. Соединив C*D*, получим истинную длину отрезка CD.

 

Рисунок 10 - Определение истинной длины отрезка прямой на комплексном чертеже методом треугольника: а) на основании фронтальной проекции; б) на основании горизонтальной проекции

Прямая частного положения

Поиск истинной длины отрезка прямой с помощью дополнительных построений имеет смысл в том случае, если прямая наклонена ко всем плоскостям проекций, т.е. занимает общее положение. У прямой, параллельной какой-либо плоскости проекций (прямой частного положения), отрезок прямой проецируется в истинную длину на ту плоскость проекций, которой прямая параллельна (см. таблицу 5 и рисунок 11).

Таблица 5 - Истинная длина отрезка прямой частного положения

Прямая параллельна плоскости	π1	π2	π3
Наименование прямой	горизонтальная	фронтальная	профильная
Истинная длина отрезка прямой равна длине	горизонтальной проекции	фронтальной проекции	профильной проекции

I I I z z K I I K z

K * K z I I I I I I I I

I I I I

A B A z, B z A _B

B _y B I C C * C z C I I I K I K y

A x B y B * C _x C y, D y D x L y x O A y B x y x O y x K _x , L _x K _y O y

I

I C y, D y D L I l y

C I I

I A _y D z D I I I D D * L _{I I} L _z L * L I I I

A

y а)

y б)

y в)

A *

Рисунок 11 - Примеры отрезков прямых частного положения: а) горизонтальной; б) фронтальной;

в) профильной