Определение истинной длины отрезка методом вращения

Суть этого Алгоритма состоит в повороте прямой из общего положения в частное относительно оси, перпендикулярной одной из плоскостей проекций, проходящей через одну из крайних точек отрезка прямой. После такого преобразования истинная длина может быть получена на одной из проекций прямой в ее новом положении (см. параграф 6.1.3).

Так как одна из точек отрезка находится на оси вращения, то ее положение остается неизменным. Вторая же точка, ограничивающая отрезок прямой, движется по дуге окружности с радиусом, равным расстоянию от этой точки до оси вращения. Таким образом, действия при решении окажутся аналогичными предпринимаемым при вращении точки относительно оси координат (см. Алгоритм 4), параллельной выбранной оси вращения.

6.1.4.1 Построить проекции отрезка прямой (см. Алгоритм 5.1). Для выяснения истинной длины достаточно всего двух проекций отрезка, как правило, фронтальной и горизонтальной. (Построение по этому методу может быть выполнено и на профильной проекции. Тем не менее, ею стараются не пользоваться, чтобы не усложнять решение необходимостью переноса координаты y при новом положении отрезка прямой.)

6.1.4.2 Выбрать положение оси вращения: она может проходить через один из концов отрезка и должна быть перпендикулярна какой-либо плоскости проекций.

6.1.4.3 Построить траекторию перемещения второй крайней точки отрезка в плоскости проекций, к которой ось вращения перпендикулярна. Это – дуга окружности с радиусом, равным проекции отрезка прямой на данную плоскость проекций. В результате вращения проекция переходит в положение, параллельное оси Ox. Действия при построении можно уточнить по схеме, изложенной в таблице 6.

Таблица 6 - Элементы построений при определении истинной длины отрезка прямой методом вращения

Ось вращения перпендикулярна плоскости	π1	π2
Ось вращения проецируется в точку, совпадающую с проекцией выбранной крайней точки…	…горизонтальной проекции отрезка	…фронтальной проекции отрезка
Ось вращения параллельна оси (см. Алгоритм 4)	Z	Y
Траектория перемещения второй крайней точки отрезка проецируется в дугу окружности с радиусом, равным одноименной проекции отрезка…	…на горизонтальной плоскости проекций	…на фронтальной плоскости проекций
При этом повороте остается неизменной координата	z	y
Параллельно оси Х перемещается вторая крайняя точка отрезка…	…во фронтальной плоскости проекций	…в горизонтальной плоскости проекций
Истинная длина отрезка прямой определяется по проекции отрезка в его новом положении…	…на фронтальной плоскости проекций	…на горизонтальной плоскости проекций

 

6.1.4.4 Построить траекторию перемещения второй точки, ограничивающей отрезок, на плоскости проекций, которой параллельна ось вращения. Она проецируется в отрезок прямой, параллельный оси х (см. Алгоритм 4 и таблицу 6). Определить новое положение проекции этой крайней точки в проекционной связи с проекцией, построенной в п. 6.1.4.3.

6.1.4.5 Соединить полученную в п. 6.1.4.4 проекцию вращающегося конца отрезка с одноименной проекцией его второго конца, положение которого не изменилось.

Вычерченный отрезок и будет соответствовать искомой истинной длине.

Рисунок 12 иллюстрирует определение истинной длины методом вращения для тех же

отрезков, что были вычерчены на рисунке 7.

I I

1

y

 

Рисунок 12 - Определение истинной длины отрезка прямой на комплексном чертеже методом вращения с осью вращения, перпендикулярной: а) горизонтальной плоскости проекций;

б) фронтальной плоскости проекций

 

Для построения истинной длины отрезка АВ (рисунок 12, а) выберем ось вращения, проходящую через точку В перпендикулярно горизонтальной плоскости проекций. В этом случае на плоскость ₁ она будет проецироваться в точку, совпадающую с B’. Следовательно, B’ не изменит своего положения.

Точка A’ будет двигаться по дуге окружности с центром в B’ и радиусом, равным A’B’. Проекция A’B’ переходит в положение горизонтальной проекции фронтали A’₁B’, параллельной оси Оx. На фронтальной плоскости проекций точка В’’ также неподвижна, а A’’ движется перпендикулярно оси вращения, т.е. параллельно оси Оx. На этой линии находим точку A’’₁ в проекционной связи с A’₁.

Соединяем полученную точку A’’₁ с В’’: истинная длина отрезка найдена, т.е. A’’₁В’’ = A*B*.

Истинная длина отрезка CD (рисунок 12, б) найдена аналогичным образом. В этом случае ось вращения, проходившая через точку D, была перпендикулярна фронтальной плоскости проекций. Поэтому траектория вращения отображалась в виде дуги окружности на плоскости ₂ , а отрезком прямой, параллельной оси Оx, - на плоскости ₁. Истинная длина получается на горизонтальной проекции отрезка:

C’₁D’ = C*D*.

В аксонометрии

Для построения истинной длины отрезка прямой можно использовать только ту его проекцию, которая не имеет ни линейных, ни угловых искажений. Следовательно, в косоугольной фронтальной диметрии построение может быть выполнено только на основе фронтальной проекции, а в прямоугольной изометрии его вообще провести нельзя.

Пример определения истинной длины в косоугольной фронтальной диметрии для того же отрезка, что был изображен на Рис. 8, а, показан на Рисунке 13.

y

 

Рисунок 13 - Определение истинной длины отрезка прямой в косоугольной фронтальной диметрии: а) методом трапеций; б) методом треугольника

Построение выполняется методом трапеций или треугольника и практически ничем не отличается от выполняемого на эпюре (Алгоритмы 6.1.1 и 6.1.2). Различие состоит лишь в том, что, откладывая «недостающие координаты», измеренные не на комплексном чертеже, а здесь же, в аксонометрической системе координат, не следует забывать о корректировке их с учетом коэффициента искажения. Как следствие, при построениях в косоугольной фронтальной диметрии ординаты крайних точек отрезка, измеренные на том же чертеже, следует увеличить в 2 раза.

Метод вращения в аксонометрии применить нельзя, так как в соответствии с ним следует использовать две проекции, не имеющие каких-либо искажений.

Если рассматривается отрезок прямой, занимающей частное положение, то без построений его истинная длина может быть получена лишь в том случае, если он параллелен плоскости проекций, которая в аксонометрии не имеет искажений: например, в косоугольной фронтальной диметрии, при параллельности плоскости ₂ , - по его фронтальной проекции или по образу отрезка.

В иных случаях истинная длина отрезка прямой в косоугольной фронтальной диметрии определяется построением, проводимым точно так же, как для прямой общего положения.

Определение следов прямой

В ортогональных проекциях

Прямая общего положения

Следами прямой называют точки ее пересечения с плоскостями проекций. За ними закреплены определенные обозначения: горизонтальный след M (x_M, y_M, 0), фронтальный след N (x_N, 0, z_N) и профильный след P (0, y_P, z_P). Умение правильно их находить очень важно для решения позиционных и метрических задач.

Следы прямой – точки частного положения. Следовательно, некоторые их проекции лежат на координатных осях.

7.1.1.1 Обозначить проекции следов прямой в соответствующих точках пересечения проекций прямой с осями координат. При этом можно воспользоваться информацией, приведенной в Таблице 7. Как правило, для этой операции используют только горизонтальную и фронтальную проекции прямой, профильная же служит для установления проекционных связей и для проверки правильности построений.

Таблица 7 - Положение проекций следов прямой на соответствующих проекциях прямой

Пересечение с осью		Проекция прямой
горизонтальная	фронтальная	профильная
x	N’	M’’	-
y1	P’	-	-
y3	-	-	M’’’
z	-	P’’	N’’’

 

7.1.1.2 На фронтальной и горизонтальной проекции прямой, как следует из приведенной выше таблицы, удается обозначить N’, P’, M’’ и P’’. Фронтальная проекция фронтального следа N’’ и горизонтальная проекция горизонтального следа M’ должны быть найдены на соответствующих проекциях за счет построения проекционных связей.

7.1.1.3 Найти профильные проекции следов прямой на профильной проекции прямой, устанавливая проекционные связи, как это обычно делают при построении проекций точек частного положения (см. Алгоритм 3.1).

На рисунке 14 найдены следы прямых, отрезки которых были построены ранее на рисунке 7.

Пусть построены проекции отрезка прямой АВ (рисунок 14, а). Пересечения его горизонтальной проекции позволяют обозначить проекции следующих следов: N’ – на пересечении с Оx и P’ – на пересечении с Oy. На фронтальной проекции обозначаем P’’ на пересечении с Oz и M’’ на пересечении с Оx. За счет проекционных связей между A’B’ и A’’В’’ находим фронтальную проекцию фронтального следа N’’ и горизонтальную проекцию горизонтального следа M’. Профильные проекции следов M’’’, N’’’ и P’’’ находим на A’’’В’’’ с помощью проекционных связей.

Проекции следов прямой CD (рисунок 14, б) найдены аналогичным способом. Отличие состоит лишь в том, что горизонтальный след лежит за пределами заданного отрезка прямой, на его продолжении.

Прямая частного положения

Алгоритм определения следов прямой частного положения, в общем, не отличается от уже описанного в параграфе 7.1.1. Следует только помнить о том, что если прямая занимает частное положение, то она не пересекается с одной (прямые, параллельные плоскостям проекций) или с двумя плоскостями проекций (проецирующие прямые, т.е. перпендикулярные к плоскостям проекций). Информация об этом сведена в таблицу 8.

Таблица 8 - Отсутствие следов у прямых частного положения

Положение прямой относительно плоскостей проекций	|| 1	|| 2	|| 3	 1	 2	 3
Отсутствуют следы	M	N	P	N, P	M, P	M, N

z

A I I A _z B y I I I B I

A

I I N I I I M I

N

I

P I I I P _P I I

A _x B y M I I I M I I B _x x I I I N I B z O A y B I I y

B I A _y

A

y а)

z

D _y I

D

I I I I I I

M C _x D y O N C y D _x M

x I I I I I I y

I I C _z P C C

I I I I I P, P I I I N

N I I

D I I I D z D

I C _y I C

M

б)

y

Рисунок 14 - Примеры построения следов прямой общего положения

 

На рисунке 15 найдены следы прямых частного положения, отрезки которых были построены ранее на рисунке 11.

I I I I I z z K K z

I I I I I

A B _N I I _, I _P I I _PI I I _N I I _A I I I B I I _{I I I I I}

I C C I I I N _I N I I

B I I I I _I ^K I I I I I I

M O M N, M M

x O I y x P I I I I I y x I O y

N P I M

_I C I I I D L I

P M P I I I I I I I

A I ^y а) ^y D I I I б) D L _y L в)

 

Рисунок 15 - Примеры построения следов прямой частного положения

В аксонометрии

Определение следов прямой в аксонометрической проекции проходит по тому же алгоритму, что и в ортогональных проекциях. Однако после того как построены три проекции каждого из следов, необходимо еще перенести их на аксонометрическую проекцию прямой.

7.2.1 Найти проекции следов на соответствующих проекциях прямой (см. Алгоритм 7.1.1) с учетом направления проекционных связей в соответствующей аксонометрической проекции (см. Алгоритм 2, п. 2.1.3).

7.2.2 Найти следы на аксонометрической проекции прямой. След прямой должен совпадать с одноименной его проекцией. Эта информация конкретизирована в Таблице 9. Соответствие следов прямой и указанных в Таблице 9 пересечений позволяет оценить правильность построения Вами проекций прямой и ее самой в аксонометрии. Таблица 9 - Положение следов прямой на ее аксонометрической проекции

След прямой	M	N	P
совпадает с его одноименной проекцией	M’	N’’	P’’’
и находится на пересечении самой прямой и одноименной проекции прямой, т.е.	горизонтальной	фронтальной	профильной

 

На рисунке 16 приведен пример построения следов тех же прямых, отрезки которых

были построены на рисунке 8.

 

Рисунок 16 - Следы прямой линии в аксонометрических проекциях: а) в косоугольной фронтальной диметрии; б) в прямоугольной изометрии

Построены три проекции и сам отрезок прямой АВ в косоугольной фронтальной диметрии (рисунок

16, а).

Отмечаем на пересечении A’B’ с осью Оx горизонтальную проекцию фронтального следа N’. Проводим от нее проекционную связь, параллельную оси Oz, до пересечения с A’’В’’. В этом месте окажется не только фронтальная проекция фронтального следа прямой (N’’), но и точка пересечения фронтальной проекции прямой A’’В’’ с ее аксонометрической проекцией АВ. Следовательно, в этой же точке находится N. Проекционная связь от этой точки, параллельная оси Ox, до пересечения с A’’’В’’’ позволяет найти N’’’ на пересечении профильной проекции с осью Oz.

Пересечение A’B’ с осью Оy дает горизонтальную проекцию профильного следа P’. Проводим от нее линию проекционной связи параллельно оси Oz до пересечения с A’’’В’’’. В этой точке находим P’’’, пересечение с АВ и, следовательно, P. Проекционная связь, параллельная оси Оy, от этой точки к A’’В’’ позволяет отметить фронтальную проекцию профильного следа P’’ на пересечении с осью Oz.

Наконец, для построения фронтальной проекции горизонтального следа M’’ воспользуемся пересечением A’’В’’ с осью Оx. Проводим проекционную связь, параллельную оси Оy, к A’B’. Находим M’ и M (пересечение с АВ). В проекционной связи (параллельной оси Оx) с этой точкой на A’’’В’’’ лежит M’’’. Это – точка пересечения профильной проекции прямой с осью Оy.

Следы прямой CD (рисунок 16, б) найдены аналогично. Проекции горизонтального следа находятся на продолжениях соответствующих проекций отрезка прямой.