Формуле (11) теперь можно придать следующий вид

, (4.5.14)

где m - отношение энергии сигнала Э к двусторонней спектральной плотности мощности помех на входе приемной системы N ₀ / 2

. (4.5.15)

Параметр m является одним из основных параметров РТС и называется далее энергетическим отношением сигнал/помеха или энергетическим параметром. Отношение (4.4.20) пиковой мощности сигнала к мощности помех на выходе ОФ (P _c/ P _п)_вых.оф равно этой же величине.

Расчет вероятности ошибки P _ош2 при передаче нулевого сигнала (a =0) совершенно аналогичен. Вероятность P _ош2 равна вероятности принятия решения (т.е. того, что Y > 0,5 Э) при условии, что передается сообщение a =0 (т.е. при условии, что u = n)

После подстановки (10), получаем

(4.5.16)

что совпадает с (14). Вероятность ошибочных решений P _ош1 и P _ош2 получились равными друг другу и, следовательно, равными средней вероятности ошибочных решений P _ошср (3).

Окончательное выражение для качественного показателя системы

. (4.5.17)

Заметим, что полученный результат можно обобщить:

(4.5.18)

где s (t) произвольная функция с энергией Э_s < ¥, а n (t) - гауссовский белый шум со спектральной плотностью мощности N ₀ / 2 (или гауссовский процесс с равномерным спектром N ₀ / 2 в полосе ô f ô F, включающей в себя спектр g_s (F)=F{ s (t)}).

 

Рис. 4.12

 

Если сигнал очень слабый (если m ®0), ситуация аналогична эксперименту с бросанием монеты ("герб" или "решка"). Фактически приходится отгадывать один из двух равновероятных исходов. В результате P _ошср®0,5, что означает неразличимость сигнала. По мере увеличения сигнала P _ошср монотонно уменьшается. Закономерность, соответствующая формуле (17), иллюстрируется таблицей 4.1 и графиком (рис.4.12). В таблице и на графике, кроме вероятности ошибочных решений, представлена средняя вероятность правильных решений P _прср=1- P _ошср

 

Таблица 4.1

P ошср	0,5	10 -1	10 –2	10 -3	10 –4	10 –5
P прср	0,5	0,9	0,99	0,999	0,9999	0,99999
m		6,8		38,4	54,4	69,6

 

Различение двух сигналов с одинаковыми энергиями.

Полагаем

(4.5.19)

и вводим определение для коэффициента

, (4.5.20)

называемого коэффициентом корреляции сигналов s ₁ и s ₂ и характеризующего степень сходства этих сигналов. Коэффициент может принимать значения в интервале (-1,1). Если , то сигналы совпадают , если , то сигналы не коррелированны (ортогональны). Наименьший коэффициент получается при противоположных сигналах.

Руководствуясь оптимальным алгоритмом различения (4.3.7)

(4.5.21)

находим условную вероятность ошибочного решения при условии, что передается s ₁(u = s ₁ + n)

Введем обозначение для разностного сигнала

(4.5.22)

с энергией

. (4.5.23)

В результате получаем

. (4.5.24)

Расчетное выражение для P _ош1 приведено к виду (18). Поэтому

. (4.5.25)

Вероятность ошибочных решений при передаче второго сигнала (u = s ₂ + n) равна

(4.5.26)

что опять приводит к вероятности, определенной посредством (25).

Следовательно, при различении двух полностью известных сигналов с одинаковыми энергиями средняя вероятность ошибочных решений P _ошср= P _ош1= P _ош2

. (4.5.27)

4. 5.3. Общий случай различения двух полностью известных сигналов s1 и s2 с оптимальным алгоритмом решений (4.3.6)

.

Вероятность ошибочных решений P _ош1 при условии, что послан сигнал s ₁(u = s ₁ + n)

(4.5.28)

опять выражается через разностный сигнал и его энергию и совпадает с (24). В результате в общем случае получаем выражение для средней вероятности ошибочных решений (P _ошср= P _ош1= P _ош2)

(4.5.29)

которое включает в себя как частные случаи различение нулевого и ненулевого сигналов () и различение сигналов с одинаковыми энергиями ().

Расчетные соотношения, полученные на упрощенной модели различения полностью известных сигналов, позволяют сделать ряд практических выводов, имеющих в значительной мере общий характер.