Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Топ:
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Интересное:
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Дисциплины:
2017-06-12 | 592 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Задача формулируется следующим образом. На вход системы на заданном интервале поступает наблюдение
u (t)= + n (t), i =1,2, aÎA, (4.2.1)
состоящее из полезного сигнала и помехи. Полезный сигнал является функцией дискретного информационного параметра i, который может принимать два значения: 1 или 2, и в общем случае векторного несущественного параметра a с множеством возможных значений A. Система по наблюдению { u (t), tÎ (0, T)}, принимает решение о том, какой сигнал из двух возможных присутствует на входе или ( или ). Заданными полагаются: детерминированные функции (t, a) и (t, a) времени t и параметра a, вероятности посылки первого P 1 и второго P 2 сигналов (P 1 + P 2=1), плотность вероятности несущественного параметра p (a), aÎA, статистика помехи, т.е. функционал ПВ помехи. Там, где не оговаривается противное, полагается, что n (t) - основная гауссовская помеха, определенная в §3.6. Сведения известные заранее (т.е. до получения наблюдения), заданные в формулировке задачи, называются априорными (доопытными). Поэтому вероятности P 1 и P 2 называют априорными вероятностями сигналов и .Требуется:
1). Определить оптимальный алгоритм преобразования наблюдения { u (t), tÎ (0, T)} в решение или , т.е. оптимальную обработку наблюдений или оптимальную структуру РПрУ.
2). Дать количественную оценку качества (качественного показателя) полученной оптимальной системы. При решении задачи в общем виде мы ограничимся решением первого вопроса. Примеры решения второго вопроса будут приведены при рассмотрении конкретных задач.
Качественный показатель, по которому оптимизируются системы различения сигналов, уже был сформулирован. В нашем случае - это (4.1.4). Уточним его физический смысл. В средний риск при простой функции потерь (4.1.4) входят вероятности ошибок 2-х видов. Ошибка 1-го вида - это ошибка при передаче 1-го сигнала .
|
Вероятность этой ошибки P ош.1
Р ош.1=Вер (4.2.2)
равна условной вероятности принятия решения при условии, что был передан 1-ый сигнал .
Аналогично ошибка 2-го вида - это ошибка при передаче второго сигнала . Ее вероятность P ош.2 равна условной вероятности принятия решения при условии, что был предан 2-ой сигнал
Р ош.2=Вер . (4.2.3)
Средняя вероятность ошибочных решений P ошср определяется по формуле полной вероятности и равна вероятности посылки 1-го сигнала P 1, умноженной на условную вероятность ошибки при посылке 1-го сигнала P ош.1, плюс вероятность посылки 2-го сигнала P 2, умноженной на условную вероятность ошибки при посылке 2-го сигнала P ош.2.
Р ошср= Р ош.1 + Р ош.2= + . (4.2.4)
Таким образом, в задаче различения сигналов средний риск r при простой функции потерь равен средней вероятности ошибочных решений P ошс р . При выборе функции потерь (или качественного показателя системы) принимают во внимание, что последний должен хорошо соответствовать характеру решаемой задачи и вместе с тем служить удовлетворительной основой для ее аналитического решения. Выбор не однозначен. В значительной мере ориентируются на здравый смысл.
Далее сформулируем общее правило принятия решений: или по наблюдению { u (t), tÎ (0, T)}, которое тождественно представляется вектором отсчетов . На рис. 4.1. условно представлено множество U всех возможных значений вектора наблюдений U.
Рис. 4.1
Для того чтобы принять решение нужно каждому элементу множества U поставить в соответствие одно из двух решений или . Это значит, что нужно разделить все множество U на два подмножества U 1 и U 2 (рис.4.1) и принимать решения в зависимости от того, в какое из подмножеств попадает наблюдение . Таким образом, общее решающее правило может быть сформулировано так:
если Î U 1, принимается решение
|
(4.2.5)
если Î U 2, принимается решение
Задача определения оптимального правила решений при различении двух сигналов теперь сводится к оптимальному разделению множества U на два подмножества U 1 и U 2.
Найдем выражение для вероятностей ошибок P ош.1, P ош.2 и Р ошср с учетом правила решений (5). Учтем также, что сведения, заданные условиями задачи, определяют условные ПВ и наблюдения при условии, что послан сигнал и . Вероятность попадания в область U 2 (решение ) при условии посылки сигнала равна интегралу ПВ по области Î U 2. Соответственно
P ош.1=Вер{ Î }= . (4.2.6)
В (6) используется сокращенная запись многомерного интеграла по области U 2, причем . Аналогично
P ош.2=Вер{ Î U 1| s 2}= . (4.2.7)
и (4) принимает вид
Р ошср= + . (4.2.8)
К правой части (8) прибавим и вычтем слагаемое
.
Тогда, учитывая, что
,
получаем
. (4.2.9)
Согласно выбранному критерию оптимальным является такое правило принятия решений, которое минимизирует Р ошср и, следовательно, максимизирует интеграл в (9). Задача определения оптимального правила принятия решений сводится теперь к выбору области U 1 из условия:
. (4.2.10)
Максимизация интеграла J (U 1) обеспечивается, если к области U 1 отнести все те значения наблюдения , при которых подынтегральное выражение в (10) положительно, т.е. нужно принять
, если . (4.2.11)
Точки пространства U, для которых справедливо противоположное неравенство должны быть отнесены к области U 2
, если . (4.2.12)
Tочки пространства, соответствующие нулю подынтегрального выражения (10)
(4.2.13)
определяют границу между оптимальными областями U 1 и U 2 (граничную поверхность). Если наблюдение таково, что удовлетворяется равенство (13), то безразлично какое из двух решений будет принято или , величина Р ошср при этом не меняется.
Таким образом, оптимальный по критерию Р ошср=min, алгоритм принятия решений состоит в следующем:
(), если
(), если
и кратко записывается так
. (4.2.14)
Оптимальная система должна по принятому наблюдению сформировать функции правдоподобия сигнала и сигнала (условные ПВ принятого наблюдения), умножить их на вероятности P 1 и P 2 соответственно. Полученные произведения сравниваются между собой. Решение принимается, если больше и наоборот.
Приведенное общее решение задачи оптимального различения двух сигналов мы конкретизируем для нескольких частных случаев, представляющих практический интерес. Предварительно представим в несколько преобразованном виде оптимальное правило решений (14). Для этого определим условные вероятности и первого и второго сигналов при условии, что принято данное конкретное наблюдение . Эти вероятности называются апостериорными (послеопытными) вероятностями сигналов и . Если ПВ вектора наблюдений обозначить , то согласно формуле обратной вероятности Байеса
|
, . (4.2.15)
Правую и левую часть неравенств, определяющих правило решений (14) разделим на одну и ту же положительную величин . При этом оптимальное правило решений принимает вид
(4.2.16)
Следовательно, оптимальное (по критерию P ошср=min) различение сигналов можно свести к формированию апостериорных вероятностей для каждого сигнала (s 1, s 2) и к их сравнению. Решение принимается по максимуму апостериорной вероятности.
|
|
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!