Глава 4. Коэффициент поглощения электромагнитных волн в изотропной плазме

Запишем уравнения Максвелла для гармонических процессов ( ):

,  ,

где вектора электрической индукции и напряженности магнитного поля:

, .

Здесь и - векторы поляризации и намагниченности среды. Для анизотропной среды обычно используют другое уравнение:

.

Так как:

,

то:

,                                                                                            (4.2)

где - величина, включающая в себя ток поляризации , ток проводимости  и ток намагничивания .

Электромагнитные свойства плазмы определяются конкретной формой материальных соотношений, связывающих электрическую индукцию и напряженность электрического поля:

,      

т.е. характером тензора диэлектрической проницаемости e _{a b}(w , ). От того, насколько точно найдены компоненты тензора e _{a b} , в значительной степени зависят полнота и точность описания электромагнитных процессов в плазме.

В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только высокочастотных электромагнитных процессов в космической плазме, удовлетворяющих неравенству:

>>

(напомним, что — ионная гирочастота). При этом условии движением тяжелых ионов (т _i >> т_е) под действием быстропеременных полей обычно можно пренебречь, вычисляя _tot и e _{a b}  в предположении, что движение ионов задано и не зависит от высокочастотных полей и . Это обстоятельство существенно упрощает рассмотрение, поскольку надобность в уравнениях для ионов тогда отпадает.

Отыскание компонент тензора диэлектрической проницаемости в плазме будем проводить в рамках элементарной теории, в которой плотность полного тока в неподвижной плазме:

,

где N_o — невозмущенная электронная концентрация, находится в результате решения нерелятивистского уравнения движения электрона:

.                                                             (4.3)

В правой части этого уравнения стоит сила Лоренца, действующая на электрон со стороны высокочастотных полей и , и сила —(e / c)[  ´ _о], учитывающая влияние на движение электрона постоянного магнитного поля _о в плазме.

Считая высокочастотное поле слабым, пренебрежем членом —(e / c)[ ´ ] в уравнении движения (4.3). Полагая поле µexp(ikr — i w t), уравнение (4.3) принимает теперь вид:

,                                                                                      (4.4)

где вектор  =e /m_ec.

Поскольку тормозное излучение в плазме возникает в процессе столкновений заряженных частиц, соответствующий коэффициент поглощения может быть найден, если учесть наличие соударений в выражении для диэлектрической проницаемости плазмы. В рамках элементарной теории такой учет проводится на основе следующих соображений.

Обозначим через n _eff частоту "эффективных" столкновений электрона с другими частицами, в результате которых он существенно меняет свою скорость, "забывая" при этом о величине того упорядоченного импульса m_e , который он приобрел в поле волны до столкновения. Тогда в единицу времени потеря импульса составит m_e n _eff ; она может быть учтена подстановкой члена - m_e n _eff  в правую часть уравнения движения электрона (4.3) и соответственно в уравнения (4.5). В изотропной плазме ( =0) имеем тогда из (4.4):

или:

.

Тогда из (4.2):

.

В результате диэлектрическая проницаемость "холодной" изотропной плазмы примет вид:

.                                                                                        (4.5)

В изотропной плазме . Тогда для варианта, представляющего для физики космической плазмы наибольший интерес (n _eff<< w):

.                     (4.6)

Таким образом, показатель поглощения для электромагнитных волн . Амплитуда нормальной волны меняется вдоль направления волнового вектора по закону exp( ikz)= exp( i ( n+ i h) z) µ exp(- h z). Интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды, и, следовательно, коэффициент поглощения запишется так:

, ??????2                                                                     (4.7)

где показатель преломления .

Формула (4.6) верна при условии w n ² >> n _eff в области n > 0. Действительно, поделив второе слагаемое на первое в правой части формулы (4.6), мы получим малую величину при указанном условии. Эффективная частота столкновений n _eff здесь может быть представлена в форме:

,                                                                                                     

где первый член описывает электронно-ионные столкновения, а второй - соударения электронов с нейтральными атомами (молекулами). Электрон-электронные столкновения сюда не входят, так как при соударениях двух одинаковых частиц их суммарный импульс (включая упорядоченную компоненту, приобретенную под действием поля излучения) не меняется.

Оценку величины n _eff можно получить из следующих простых соображений. При эффективном соударении, которое сопровождается существенным изменением скорости электрона, последний должен подойти к иону на расстояние r £ r_s , где его потенциальная энергия в кулоновском поле иона е²/r_s сравняется с кинетической энергией kT или станет больше последней. Отсюда следует, что r_s ~ е²/кТ; величина p r_s ² ~ p е⁴/  называется эффективным сечением соударения. При движении электрона со скоростью  за время Dt он столкнется со всеми ионами, которые содержатся в цилиндре с основанием p r_s ² и высотой, равной Dt . Число таких ионов составляет p r_s ² N Dt ; эффективное число столкновений за единицу времени мы получим, положив в этом выражении и разделив его на Dt . Учитывая величину приведенного выше сечения p r_s ², находим, что:

.                                                                                          (4.8)

Поскольку , ясно, что эффективная частота электронно-ионных столкновений в плазме убывает с ростом кинетической температуры по закону Т^-3/².

Корректный расчет приводит к более сложным выражениям для n _eff:

,                                                                        (4.9)

где логарифмический фактор:

                                                                                             (4.10)

или:

                                                                                            (4.11)

в зависимости от того, меньше или больше, чем 4•10⁵K, кинетическая температура электронов плазмы Т. В области T ~ 4•10⁵К обе формулы дают примерно одинаковый результат. Электронная температура может отличаться от температуры ионов (неизотермическая плазма); однако поправки в (4.10)-(4.11) из-за этого обстоятельства войдут под знак логарифма и лишь незначительно изменят величину n _eff .

Чтобы судить о характере частотного спектра тормозного излучения с учетом поглощения в источнике, рассмотрим простейший случай изотермического слоя разреженной плазмы. Эффективная температура теплового излучения из слоя, нагретого до температуры T, равна T_b=T(1 – е^{- t} ), где оптическая толщина t = ò m dl (см. главу 4). Для тормозного поглощения в разреженной плазме m определяется формулой (4.7), так что величину t можно представить в форме:

,                                                                                                    (4.12)

где L — толщина слоя.

 

Рис. 4.2. Частотный спектр теплового тормозного излучения из изотермического слоя.

 

Зависимость яркостной температуры T_b от частоты w для тормозного теплового излучения из слоя разреженной плазмы имеет вид, представленный на рис. 4.2. На частотах w <<w _cr величина t >>1 и T_b @ T - кинетической температуре плазмы. В области w >>w _cr значения t <<1 и T_b @ T t µ w ^-2 . Частотный спектр для интенсивности излучения 1 _v в области Рэлея-Джинса можно получить из Т _b , если учесть, что I_v связана c T_b формулой: 

(в разреженной изотропной плазме n_j=1 и угол между групповой и фазовой скоростью ). Кривая I_v также изображена на рис. 4.2. Интенсивность растет по мере увеличения частоты (на низких частотах w <<w _cr — по закону w²); в области w >>w _cr она стремится к постоянному значению.