Глава 13. Черенковское излучение

 

Для излучения заряженной частицы в вакууме необходимо, чтобы она двигалась с ускорением. В среде, однако, возможны условия, при которых излучает заряд, движущийся равномерно. В однородной среде это явление называется эффектом Вавилова-Черенкова. Если среда неоднородна, то наряду с черенковским излучением появляется излучение другого типа — переходное.

Условия черенковского излучения можно получить, используя законы сохранения импульса и энергии системы "электрон - излучение" в их квантовой форме.

Итак, пусть нерелятивистский электрон движется в среде с показателем преломления n_j(w) со скоростью  (энергия электрона m_e ² /2, импульс m_e ). Если он испустит фотон (соответствующий j -й. нормальной волне) с энергией  и импульсом , то энергия и импульс электрона примут новые значения,  и m_{e 1}. Указанный процесс излучения фотона отдельным электроном возможен лишь в том случае, если выполнены законы сохранения энергии и импульса:

,                                                                                   (13.1)

.                                                                                           (13.2)

Полагая , подставим эту величину в (13.1), (13.2):

,                                                                      (13.3)

.                                                                                             (13.4)

Считая далее, что m_e ² /2>  (т.е. изменение скорости электрона при испускании фотона |D | << ), пренебрежем вторым членом в (13.3) по сравнению с первым. Исключив затем D из уравнений (13.3), (13.4), получим условие эффекта Вавилова-Черенкова:

.                                                                                                           (13.5)

Этот критерий можно записать в иной форме, положив k_j = n_j w / c , =b c и обозначив через q угол между и :

.                                                                                                   (13.6)

Третья форма записи рассматриваемого критерия:

,                                                                                                   (13.7)

получается из (13.6) с учетом выражения для фазовой скорости волн _ph = c / n_j . При фиксированных значениях  и _ph эти критерии определяют "черенковский конус" с осью вдоль  и углом 2 q при вершине. В направлениях, лежащих на этой конической поверхности, и происходит черенковское излучение (см. рис. 13.1).

Равенства (13.5)-(13.7), очевидно, выполняются в среде и только для тех волн, показатель преломления которых n_j > 1 или, что то же самое, фазовая скорость _ph < с (поскольку скорость излучающих частиц  < с и cos q £ 1). В изотропной плазме для электромагнитных (поперечных) волн n_j < 1 ( ), что препятствует

 

 

Рис. 13.1. Конус волновых векторов при эффекте Вавилова – Черенкова

 

появлению эффекта Вавилова - Черенкова. Однако показатель преломления плазменных (продольных) волн n_p может принимать значения больше единицы на частотах, не слишком близких к , ( ). Вот на этих волнах и возможен эффект Вавилова-Черенкова в изотропной плазме. Из (13.7) следует, что электрон при движении в плазме излучает волны, фазовая скорость которых _ph = w / k £ . Сдругой стороны, как будет показано в главе 14, плазменные волны сильно затухают, если _ph становится порядка _t =  — тепловой скорости электронов в плазме. Поэтому в спектре черенковского излучения присутствуют плазменные волны с фазовой скоростью в пределах от  до _t (при >> _t). Если же скорость электрона < _t , то он практически не излучает плазменных волн. Далее, поскольку n_p=n_p(w), каждой частоте w при черенковском излучении будет соответствовать свое значение угла q (13.6). Величина n_p(w) растет вместе с w , поэтому более высокие частоты излучаются под большими углами q к направлению скорости  ( ).

Выражение для коэффициента излучения можно получить следующим простым эвристическим способом. Энергия, затраченная на поляризацию зарядов, есть величина порядка потенциальной энергии электрона в поле иона , где e - диэлектрическая постоянная, а r_p –характерный размер области поляризации. Если скорость пролетающего заряда , частота колебаний образующей области поляризации есть w, то по порядку величины r_p @ / w . Отсюда следует, чтоспектральная мощность излучаемой энергии:

P _w = e ² w /( e ) .                                                                                                  (13.8)

Так как e =1- , то отсюдаследует, что наибольшая часть энергии излучается с частотами, близкими к плазменной.

Определим спектральную мощность излучения , под которой будем понимать количество энергии, излучаемой источником в единичном интервале частот  в единицу времени  и телесного угла . Введенная ранее (см. главу 1) спектральная интенсивность излучения есть спектральная мощность излучения, отнесенная к единичной площадке, ориентированной перпендикулярно к вектору групповой скорости. Спектральная мощность черенковского излучения электроном плазменных волн равна:

,                                                                               (13.9)

где d ( w - ) — дельта-функция, указывающая на тот факт, что черенковское излучение возникает на частотах и в направлениях, удовлетворяющих критерию (13.5). Действительно, если проинтегрировать (13.9) по всем телесным углам, учитывая дельта-функцию, то мы получим

.

До сих пор, говоря об эффекте Вавилова - Черенкова, мы имели в виду изотропную плазму. В присутствии постоянного магнитного поля плазма становится магнитоактивной, что приводит к существенному усложнению характера излучения заряженных частиц. При прямолинейном движении частицы в магнитоактивной плазме (скажем, вдоль магнитного поля Во) критерии черенковского излучения (13.5) - (13.7) сохраняются. Однако теперь наряду с плазменными волнами могут излучаться также электромагнитные волны на тех участках дисперсионных кривых, которым соответствуют значения .

Черенковское излучение плазменных волн потоками быстрых частиц играет важную роль в плазменных механизмах радиоизлучения, широко используемых для объяснения некоторых типов солнечного спорадического радиоизлучения, пульсаров и пр. При этом весьма существенно то, что черенковское излучение в плазме возможно лишь на тех ветвях дисперсионных кривых, которым соответствуют волны, непосредственно не выходящие из плазмы в вакуум со слабым магнитным полем. Указанное обстоятельство нельзя забывать, если наблюдаемое радиоизлучение связывается с черенковским излучением частиц в астрофизической плазме: такое излучение выходит из плазмы только в результате процессов трансформации за счет взаимодействия волн или эффектов рассеяния.

Глава 14. Плазменные волны

 

Как известно, кроме поперечных электромагнитных волн, в плазме могут распространяться и продольные электростатические волны. Для простоты рассмотрим сначала эти плазменные волны при отсутствии магнитного поля. Тогда уравнения движения электронов газа будет иметь вид:

.                                                            (14.1)

Здесь опущен член с магнитным полем, но зато учтен градиент электронного давления , который играет существенную роль в продольных колебаниях, связанных с распространением сгущений и разряжений электронной плотности.

Выразим скорость частиц через ток   и получим из (14.1) новую формулу обобщенного закона Ома:

.                                                           (14.2)

Второе уравнение, связывающее вектора   и , находятся из уравнений Максвелла:

                                                                 (14.3)

где  плотность заряда. Заменим также электронное давление   на   и предположим, что сжатие и разряжение электронного газа происходит адиабатически (без изменения энергии газа) с показателем адиабаты . Показатель адиабаты учитывает изменение температуры при сжатии и разряжении газа. Тогда:

.                                                    (14.4)

Применяя операцию дивергенции к уравнению (14.2) и используя (14.3-14.4), получаем уравнение электронных колебаний в плазменных волнах (вспомним, что ):

.                                                         (14.5)

Показатель адиабаты определяется числом степеней свободы – s:  Так как здесь рассматриваются только продольные колебания электронов, то есть =1, то =3. Предполагая плазменные волны плоскими и монохроматическими ( ), находим для показателя преломления ( , , , ):

.                                                            (14.6)

Отсюда по действительной части показателя преломления находится фазовая скорость этих волн:

,                                                            (14.7)

где мы сохраним обозначение . Отметим, что фазовая скорость плазменных волн существенно больше .

По мнимой части показателя преломления (14.6) находится коэффициент поглощения. Учитывая малость , для показателя преломления имеем:

.                                                 (14.8)

Тогда коэффициент поглощения равен:

.                                                                   (14.9)

Заметим, что групповая скорость плазменных волн (скорость переноса ими энергии), получаемая путем дифференцирования вещественной части выражения (14.8) ( , ):

,                     (14.10)

много меньше тепловой скорости , так как при .    

Как видно из (14.8) плазменные волны характеризуются большим значением показателя преломления. Действительно, так как частота плазменных волн , то  (фазовая скорость близка к скорости быстрых электронов, то есть меньше с).

Как следует из (14.9), плазменные волны могут поглощаться, а, следовательно, и излучаться при помощи обычного тормозного механизма. Здесь соотношение между коэффициентами излучения и поглощения (закон Кирхгофа) имеет вид:

.                                                                                                    (14.11)

Множитель двойка опущен, так как плазменные волны имеют только одно направление поляризации.

Эффективный механизм генерации плазменных волн – так называемое черенковское излучение. Суть его заключается в следующем. Заряженная частица, летящая в плазме с большой скоростью, создает поляризацию – то есть приводит к появлению пространственного заряда. Такая поляризация распространяется с фазовой скоростью колебаний электронного газа, то есть со скоростью плазменных волн. Если скорость частицы больше фазовой скорости плазменных волн, то поляризация как бы отрывается от заряда – происходит излучение энергии. Существенно, что это излучение не связано с ускорением или торможением частицы и поэтому имеет место и в том случае, когда заряд летит с постоянной скоростью. Таким образом, черенковское излучение возможно всегда, когда заряженные частицы летят со скоростью, превышающую фазовую скорость волн.

При вычислении коэффициента излучения, отнесенного к единице объема, следует P _w= e² w/( e ) (см. 13.8) умножить на число излучающих частиц, то есть число частиц со скоростями большими, чем фазовая скорость плазменных волн. В частности, если распределение скорости максвелловское:

,

то (учитывая, что ):

,                                             (14.13)

где , а фазовая скорость плазменных волн зависит от частоты или длины волны (см. 14.7) . Используя закон Кирхгофа, находим и соответствующий коэффициент поглощения в максвелловской плазме:

.                               (14.14)

Эта формула описывает известное затухание Ландау, физический смысл которого заключается в следующем. Если заряд, попадающий в поле плазменной волны и двигающийся при этом вдоль ее со скоростью несколько большей , то он будет ускорять волну, как бы подтягивая ее за собой. Если же его скорость несколько меньше , то заряд будет тормозить волну. В максвелловской плазме частиц с большим значением одной компоненты всегда меньше, чем с меньшим значением – поэтому, в среднем, здесь имеет место поглощение энергии волны.

Коэффициент поглощения (14.14) очень сильно зависит от фазовой скорости волны. При     затухание Ландау можно пренебречь, в то время как при   этот механизм приводит к очень эффективному поглощению плазменных волн.

В частности, в плазме всегда есть частицы со скоростями    много большими тепловой  и поэтому они могут возбуждать электростатические колебания с фазовыми скоростями . Однако число таких частиц невелико и плотность энергии заключенная в этих колебаниях в равновесной плазме мала.

Однако если в плазме имеется избыток частиц, двигающихся со скоростями, превышающими фазовую скорость плазменных волн, то рассматриваемый механизм может привести к интенсивному излучению плазменных волн. Более того, при этом возможно и наступление неустойчивости, когда амплитуда плазменных колебаний будет нарастать, по крайней мере, на начальной стадии, экспоненциально.

Пусть электроны с энергией    излучают за единицу времени энергию << . Тогда коэффициент излучения будет равен:

,

где    некоторый коэффициент. С другой стороны величина энергии, поглощаемой в единице объема:

,

где    интенсивность излучения. Первый член в скобках описывает истинное поглощение, второй вынужденное излучение. Определим соотношение между коэффициентами   и , которые есть не что иное, как вероятности переходов электронов из нижнего энергетического состояния в верхнее и наоборот. В состоянии полного термодинамического равновесия процессы поглощения и излучения уравновешиваются и тогда:

.

Очевидно, что при  и это условие выполняется, если . Тогда имеем:

и .                          (14.15)

Значение  легко найти из условия, что (14.15) должно быть справедливо и при термодинамическом равновесии, когда населенность энергетических уровней удовлетворяет распределению Больцмана:

и, следовательно,:

, ,

а при термодинамическом равновесии (закон Кирхгофа):

.

Отсюда получаем:

.

Эта формула справедлива и при произвольном распределении . Для плазменных волн мы имеем только одну поляризацию и поэтому не нужна двойка, а также . Тогда:

 ,                                                               (14.16)

где   число быстрых частиц, энергия которых находится в интервале от   до . Пусть при избытке быстрых частиц имеет место условие   в некотором интервале значений энергии. Тогда здесь коэффициент поглощения отрицателен, вынужденное излучение преобладает над истинным поглощением и имеет место эффект неустойчивости, аналогичный эффекту мазера. Разумеется, неустойчивость может развиваться только, если величина:

,

где  - размер области, в которой имеется направленный пучок избыточных быстрых частиц. Кроме того, поглощение плазменных волн в обычном тормозном механизме должно быть мало, то есть:

.

Индуцированное излучение плазменных волн пропорционально:

.

Проинтегрируем это выражение по всем энергиям для пучка электронов:

.

Запишем распределение электронов в пучке в виде , где  - разброс скоростей в пучке, - число частиц в пучке. Отметим, что . В результате имеем . Очевидно, что чем меньше разброс скоростей в пучке , тем больше производная . Тогда инкремент  плазменных (ленгмюровских) волн пропорционален:

.

Очевидно, что инкремент должен также зависеть от скорости пучка  и от электронной плотности плазмы . Составим безразмерную комбинацию от этих параметров. Тогда получим:

.

Более точное выражение содержит сомножитель .