М14 Статистические методы приёма и обработки сигналов

Приёма и обработки сигналов

в системах радиосвязи.

                                

Учебное пособие

 

 

Омск

Издательство ОмГТУ

2009

 

УДК 621.396.

ББК 32.811.7

М14

Рецензенты:

С. Н. Чуканов, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой АСОИУ СибАДИ,

зав. лабораторией ОФИМ СО РАН;

Н.И. Горлов, д-р техн. наук, зав. кафедрой «Линии связи» СибГУТИ (г. Новосибирск)

 

Майстренко В. А.

М14 Статистические методы приёма и обработки сигналов

 в системах радиосвязи: у чеб. пособие / В. А. Майстренко, В. Ф. Попов.- Омск: Изд-во ОмГТУ, 2010- 119 с.

 

В учебном пособии излагаются теоретические сведения, необходимые для решения статистических задач демодуляции и детектирования ФМ и ЧМ радиосигналов, используемых в современных системах радиосвязи. Изложены вопросы реализации тактовой и высокочастотной синхронизации приёма сигналов, синтеза оптимальных алгоритмов демодуляции сигналов с угловой модуляцией. Приведены примеры реализации когерентных приёмников ФМ, ЧМ сигналов.

Изложены современные методы разнесения и комбинирования принимаемых сигналов и приведены  примеры реализации приёмников разнесённого приёма с когерентным сложением сигналов ветвей разнесения.  

Большое внимание уделено проблеме помехоустойчивого кодирования с исправлением ошибок. Полно и доходчиво изложены вопросы формирования и декодирования двоичных и недвоичных линейных блоковых кодов, в частности, циклических кодов (коды Голея, БЧХ), практической реализации кодеров и декодеров. Изложены методы задания и  алгоритмы оптимального декодирования свёрточных кодов, широко используемых в системах мобильной связи.

Пособие содержит примеры решения задач, взятые из области проектирования реальных устройств, и перечни задач для самостоятельной работы студентов (в каждом из разделов).

Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальности 210402 «Средства связи с подвижными объектами» дневной и заочной форм обучения, магистров направлений «Радиотехника» и «Телекоммуникации», может быть использовано студентами других специальностей, а также для самоподготовки радиоинженеров.

Печатается по решению редакционно-издательского совета

           Омского государственного технического университета

УДК 621.396

ББК 32.811.7

        Омский государственный

технический университет, 2009

Введение

Решение задач статистического синтеза устройств и систем оптимального приема сигналов радиосвязи требует от студентов знания основ статистической теории связи и достаточно высокой математической культуры. Целью издания второй части  учебного пособия является выработка у студентов навыков синтеза оптимальных алгоритмов демодуляции и детектирования ФМ и  ЧМ радиосигналов, знакомства с основами построения схем  тактовой и высокочастотной синхронизации в когерентных приёмниках ФМ-ЧМ сигналов, изучения основ помехоустойчивого кодирования.  

В пособии изложены методы построения систем связи с разнесённой передачей и приёмом сигналов, приведены примеры реализации оптимальных когерентных демодуляторов, детекторов и приёмников разнесённого приёма, изложены основы кодирования и декодирования линейных двоичных и недвоичных блоковых кодов. Необходимый справочный материал приведен в двух приложениях.

В учебном пособии даны теоретические сведения, рекомендации для решения задач и перечни задач, предназначенных для домашних заданий, а также для использования при выполнении курсовых работ и проектов по следующим разделам курса:

1. Синтез оптимальных алгоритмов демодуляции и детектирования ФМ и  ЧМ радиосигналов.

2. Системы связи с разнесённой передачей /приёмом  сигналов.

3. Кодирование с обнаружением и исправлением ошибок.

При подготовке пособия использованы материалы из монографий и учебных пособий видных учёных в области статистической радиотехники и статистической теории связи: В.И. Тихонова, Л.М. Финка, Ю.С. Шинакова, Л.Е. Варакина, В.А. Галкина, Д. Мидлтона, Дж. Прокиса, К. Феера, а  также материалы научных статей по данной тематике, в том числе, и авторов учебного пособия.

 

 

ДЕМОДУЛЯЦИЯ И ДЕТЕКТИРОВАНИЕ ФМ И ЧМ

СИГНАЛОВ. ТАКТОВАЯ И ВЫСОКОЧАСТОТНАЯ

СИНХРОНИЗАЦИЯ В ПРИЕМНИКЕ. РЕАЛИЗАЦИЯ

КОГЕРЕНТНЫХ ПРИЕМНИКОВ

 

Во временном представлении демодуляция является обратным процессом модуляции [1, 3]. В приемнике рис.1.1 реализуется восстановление низкочастотной (НЧ) комплексной модулированной огибающей (модулирующего сигнала u (t) без возвращения к нулю (БВН)[2,стр.18]) из модулированного высокочастотного (ВЧ) сигнала.

Рис.1.1. Приемник ВЧ модулированного сигнала

 

Далее оптимальный детектор оптимизирует отношение сигнал/шум и принимает решение о переданном информационном символе.

Идеальные демодуляция и детектирование [2, (2.27)] возможны только в случае:

- если фазовый сдвиг j ₀ между w _с и w _x постоянен и известен в приемнике;

- если тактовая частота в детекторе приемника синхронизирована с тактовой частотой принимаемого цифрового сигнала с точностью до фазы.

Последнее условие значит, что момент начала интегрирования при корреляционном приеме (или момент отсчета на выходе СФ) должен совпадать с началом импульса принимаемого сигнала. Кроме того, тактовая синхронизация должна компенсировать разность частот тактовых генераторов передатчика и приемника, т.е. согласовывать длительность интервала интегрирования с длительностью принимаемого импульса Т_с.

 

Тактовая синхронизация

Различают два вида тактовой синхронизации:

1. Синхронизация по сигналу тактовой частоты передатчика, поступающему в приемник непрерывно (по отдельному выделенному каналу)

или периодически (при пакетной передаче информации);

2. Синхронизация по информационному сигналу, спектр которого содержит гармоники тактовой частоты передатчика, например, при бинарном униполярном модулирующем сигнале u (t) с возвратом к нулю (RZ -сигнал).

По исполнению в приемнике различают:

- открытые схемы синхронизации;

- замкнутые схемы на основе петли фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ).

 

Задачи к разделу 1

 

1. При передаче и приеме сигналов между двигающимися объектами передаваемый сигнал получает доплеровский сдвиг, который определяется формулой, где υ-скорость взаимного перемещения передатчика и приемника, λ - длина волны, а знак зависит от направления (движения вперед или назад) взаимного перемещения приемника и передатчика. Допустим, что получатель перемещается со скоростью 100км/час относительно базовой станции. Узкополосный сигнал передается на несущей частоте 1ГГц.

а) Определить доплеровское смещение частоты.

б) Какова полоса отслеживания петли при доплеровских сдвигах, если петля рассчитана на отслеживание доплеровских сдвигов пользователей, двигающихся со скоростями до 100км/час?

с) Положим, что полоса переданного сигнала 2МГц сосредоточена в области несущей 1ГГц. Определите величину доплеровского рассеяния между верхней и нижней частями сигнала.

 

2. Однополосный сигнал АМ можно представить как:

 

где  - преобразование Гильберта от, а А _т – уровень амплитуды, который содержит информацию. Покажите математически, что петлю Костаса можно использовать для демодуляции ОБП сигнала АМ.

 

3. Информация передается одной квадратурной компонентой в системе связи посредством двоичной ФМ. Таким образом, сигнал принимает вид:

,

где θ - фаза сигнала несущей, а n (t) –АБГШ. Немодулированная компонента несущей используется как некий сигнал на приеме для оценивания фазы несущей частоты.

а) Нарисуйте блок – схему приемника, включая блок оценки фазы не-сущей частоты;

б) Покажите математически операции, определяющие оценивание фазы несущей θ;

в) Выразите вероятность ошибки детектирования двоичного сигнала ФМ как функцию от суммарной переданной мощности сигнала. Какова потеря качества, обусловленная концентрацией частоты переданной мощности в квадратурах сигнала? Рассчитайте потерю при.

 

4. Определите сигнальную и шумовую компоненты на входе петли ФАПЧ (с возведением в четвертую степень (М=4)), используемой для генерирования фазы несущей при демодуляции КФМ. Игнорируя шумовые компоненты, кроме тех, которые линейно связаны с шумом n (t), определите дисперсию оценки фазы выхода ФАПЧ.

 

5. Вероятность ошибки демодуляции и детектирования двоичной ФМ, если имеется ошибка θ_с в определении фазы несущей, равна

 

Предположите, что фазовая ошибка от ФАПЧ моделируется гауссовской случайной величиной с нулевым средним и дисперсией σ_θ² << π². Определите выражение для средней вероятности ошибки (в интегральном виде).

 

6. На вход схемы Костаса Рис.1.22 поступает четырехуровневый ФМ радиосигнал (QPSK, DQPSK, O-QPSK)

 

x_k(t)=Acos [ w _х t+ p /4 × u_k ] + n(t),

 

где u_k   – ожидаемое значение модулирующего сигнала из множества {±1,±3}, а n (t) – АБГШ.

Показать, что нулевое значение ошибки u_ε петли ФАПЧ на выходе НЧ умножителя в установившемся режиме без учета АБГШ будет при фазовом сдвиге q = p /4 частоты ГУН относительно несущей частоты передатчика.

Найти значения квадратурных компонент комплексной огибающей модулированного сигнала на выходе ФНЧ квадратур в установившемся режиме петли, соответствующие значениям модулирующего сигнала u_k.

При решении использовать тригонометрические соотношения:

 

 

7. На вход схемы Костаса Рис.1.22 поступает сигнал ЧММС с индексом модуляции т =1/2

 

где u_k –ожидаемое значение модулирующего сигнала на интервале Т_с из множества {+1, – 1}.

Показать, что нулевое значение ошибки u_ε петли ФАПЧ на выходе НЧ умножителя в установившемся режиме без учета шумов канала связи будет при фазовом сдвиге q = p /4 частоты ГУН относительно несущей частоты передатчика, как и при ФМ модуляции.

Найти значения квадратурных компонент комплексной огибающей модулированного сигнала на выходе ФНЧ квадратур в установившемся режиме петли, соответствующие значениям модулирующего сигнала u_k.

При решении использовать тригонометрические соотношения:

     

 

8. Произвести расчет шаблонов СПМ рис.1.16 фазовых (частотных) шумов синтезаторов в радиолинии при однократной ОФМ и следующих дополнительных данных согласно таблице:

 

Скорость R(бод)   Х	300-500 х1	500-1000 х2	600-1200 х3	(1,2÷2,4)∙103 х4	(2,4÷4,8)∙103 х5
Уровень дискрет. составл. (рад)	0	0	0	0	0
	0,01	0,05	0,02	0,01	0,05

 

 

Методы разнесения

1)   Пространственное разнесение - не требует расширения спектра частот. Каждый из М элементов антенной решётки передатчика или приемника формирует независимый сигнал в системе комбинирования, состоящей из М ветвей разнесения. Расположение элементов решётки должно обеспечивать некоррелированность сигналов отдельных ветвей, для чего достаточно обеспечить разнос между элементами, равный. Разновидностью пространственного разнесения является территориально-разнесенный прием, при котором передатчики или приемники разнесены на большое расстояние, обеспечивающее некоррелированность как по условиям распространения сигнала, так и по помехам. Для декаметрового канала связи это расстояние более 500 км.

2) Поляризационное разнесение.

Электромагнитное поле может быть разложено на две ортогонально поляризованные составляющие. При разнесении сигналы, передаваемые с помощью двух ортогональных поляризованных волн, имеют некоррелированные статистики замираний. При этом антенны могут быть разнесены в пространстве на малое расстояние.

3) Угловое разнесение.

При угловом разнесении используются направленные антенны,

ориентированные в самых различных направлениях. При этом рассеянные сигналы, поступающие с различных направлений, являются некоррелированными, а сигналы, принятые направленной антенной, имеют меньшую глубину замираний. Несколько таких антенн образуют систему разнесённого приёма.

4) Частотное разнесение.

Для получения независимых ветвей разнесения используют различные частоты с интервалом разнесения, превышающим ширину полосы когерентности канала связи Ω_к=1/τ_зс или Ω_к=1/τ_{з max}. В этом случае замирания сигналов на различных частотах будут некоррелированными. В СПРС

Ω_к ≈500 кГц и частотный разнос ветвей должен быть не менее 1-2 МГц. В декаметровом диапазоне волн Ω_к  1 кГц.

Этот метод по сравнению с пространственным разнесением требует меньшего числа антенн, но более широкий диапазон частот и отдельный передатчик для каждой ветви разнесения. При одном передатчике пикфактор многочастотного сигнала имеет большие значения.

5) Временное разнесение.

Метод основан на некоррелированности последовательных отсчётов амплитуды случайно замирающего сигнала при разносе во времени между отсчетами не менее интервала корреляции (времени когерентности канала) τ _к =1/ f _{д max}. Поэтому параметры временного разнесения зависят от скорости V движения ПО, например, при V =100  и диапазоне частот (1-10) ГГц значение τ _к =(5-0,5) мс, причем для неподвижных объектов метод не применим, т.к.   и при  величина, а τ _к = ¥.

Кроме того, М ветвей разнесения для этого метода получают путем последовательной передачи пакета информации в каждом из М временном интервале. Поэтому требуется обеспечить запоминание и задержку информации в передатчике и приёмнике на время М × τ _к.

 

Примеры реализации приемников разнесенного приема с когерентным сложением ветвей разнесения

Пример 1.

Квазикогерентноевесовоесложение разнесенных по частоте бинарных ОФМ сигналов может быть реализовано как на промежуточной частоте (ПЧ), так и на нулевой частоте. Схема приемника такого сложения (когератора) на ПЧ дана на рис.2.5.

 

 

Рис.2.5. Схема приемника квазикогерентного сложения бинарных ОФМ сигналов.

 

В трактах ветвей частотного разнесения реализуется основная фильтрация фильтрами Ф _к и нормирование по уровню ограничителем (ОГ) аддитивной смеси сигнала и помехи.

Выходной сигнал, например, первого перемножителя, представляет собой деманипулированный сигнал (несущую) на ПЧ (f₁₁-f₂) и помеху. Выходной сигнал УФ₁ с узкой полосой (5-10 Гц для КВ канала) и центральной частотой (f₁₁-f₂) является оценкой локального (мгновенного) ОСШ (сигнал /(сигнал+шум)). На втором перемножителе реализуется согласно этой оценке взвешивание сигнала первой ветви в суммарном выходном сигнале когератора на частоте f_{2 .} Взвешивание сигналов других ветвей разнесения реализуется аналогично на перемножителях соответствующих ветвей когератора. При этом эффективность взвешивания определяется соотношением ширины полосы фильтров Ф _к и УФ_к и параметрами канала связи.

В многолучевом канале когератор настраивается на луч с максимальным уровнем сигнала и подавляет сигналы лучей с меньшими уровнями сигналов по причине уменьшения уровня деманипулированных сигналов взвешивания для этих лучей.

При реализации когератора на нулевой частоте необходима квадратурная обработка сигналов. В этом случае схема каждой квадратуры (после ОГ) соответствует рис.2.5, а на выходе когератора сигналы с выхода сумматоров квадратур складываются.

 

 

Пример 2

Рассмотренные выше методы разнесенной передачи, приема предполагают канал с общими замираниями. Современные средства связи используют ШПС с полосой W, например, сигналы с прямым расширением спектра псевдослучайной последовательностью (ПСП). В этом случае при W>> Ω_{k ,} где Ω_k – полоса когерентного канала, получим модель канала с частотно-селективными замираниями в виде линии задержки с отводами. Соответствующая ей эквивалентная НЧ импульсная характеристика канала

,

где L =[ T_m /Δ t ₃ ]+1=[ T_m · W ]+1 – число ячеек ЛЗ с Δ t ₃ =1/ W;

Т_т – время интервала рассеяния лучей, Т_т<<Т _c;

C_k (t) – взвешивающий коэффициент k -го луча.

При независимых или с малым коэффициентом взаимной корреляции коэффициентах лучей на входе приемника имеем L образцов одного и того же переданного сигнала. Поэтому можно реализовать оптимальный разнесенный прием L -го порядка со сложением сигналов этих лучей (RAKE приемник[3]).

В этом случае для двоичных сигналов (ортогональных или противоположных) S_i (t), i =1,2 длительностью Т _c >>Т_т, входной сигнал приемника

,

где n (t) – комплексный АБГШ с нулевым средним.

Если положить, что веса C_k (t) известны, то оптимальный когерентный приемник состоит из двух согласованных с r ₁ (t) и r ₂ (t) СФ, за которыми следует стробирующее устройство и блок принятия решений.

Эквивалентный оптимальный приемник реализует взаимную корреляцию вместо СФ. В любом варианте исполнения когерентного приемника величины на входе решающей схемы имеют вид:

.

Схема RAKE-приемника, реализующая данный алгоритм для ортогональных двоичных сигналов, представлена на рис.2.6.

 

                                                                                        

 

 

                                                                                                  i

 

 

                                                             

 

Рис. 2.6. Cхема RAKE-приемника с оценкой весов отводов ЛЗ: а) для двоичных ортогональных сигналов; б) для противоположных сигналов.

 

Схема рис.2.6. а) не годится для противоположных сигналов, поскольку сумма двух выходов корреляторов приводит к взаимному погашению сигналов на входе ФНЧ. Для противоположных сигналов можно в схеме оценки весов C ^* _k (t) использовать один коррелятор, выход которого должен быть задержан на Т_с, чтобы на вход ФНЧ он поступал после принятия решения b_i =±1 о информационном символе, как это показано на рис. 2.6.б) Решение b_i позволяет восстановить информацию на выходе коррелятора до ее подачи на ФНЧ.

 

                               Задачи к разделу 2

1. Показать, что средняя вероятность ошибки поэлементного приема для двоичных ортогональных в усиленном смысле сигналов с активной паузой в канале с АБГШ и общими релеевскими замираниями амплитуды огибающей сигнала равна.

 

2. Показать, что средняя вероятность ошибки поэлементного приема для двоичных ортогональных в усиленном смысле сигналов с активной паузой в канале с АБГШ и общими релеевскими замираниями амплитуды огибающей сигнала равна, где т - параметр глубины замираний амплитуды по закону Накагами (П1). Построить графики зависимости Р_ош от отношения сигнал/шум при т = 0.5;1;2.

 

3. Показать, что вероятность ошибки некогерентного поэлементного приема для двоичных ортогональных в усиленном смысле сигналов с активной паузой в канале с АБГШ и экстремальном алгоритме выбора ветви из М независимых ветвей разнесения при релеевских замираниях огибающей в ветвях определяется выражением.

 

4. Доказать что, в условиях станционных узкополосных помех линейное сложение с равным весом значительно менее эффективно по отношению к когерентному весовому сложению по Бреннану.

 

5. Вероятность поражения канала связи станционной помехой P_СП=0,2. В присутствии помех приёма нет. При отсутствии помех вероятность поэлементного приёма p _чт = 0,005. Число элементов равно 100. Допускается 1% ошибок в телеграмме. Определить вероятность приёма телеграммы при однократной, двукратной и трёхкратной независимой передаче с разнесением по времени или частоте и автовыбором.

 

6. Сигнал с корабля принимается на М разнесённых в пространстве антенн. Считается, что замирания релеевские и независимые на разных антеннах. Телеграмма не может быть принята, если уровень сигнала ниже. Определить вероятность приёма телеграммы на 1, 2, 3 разнесённые антенны при автовыборе антенн.

 

7. Пятиэлементная двоичная кодовая комбинация источника сообщения передается двоичными ортогональными в усиленном смысле сигналами с активной паузой по каналу с АБГШ и общими замираниями огибающей сигнала по закону Накагами. Ошибки элементов в комбинации независимы. Найти ОСШ, обеспечивающее вероятность ошибки некогерентного приема комбинации 10^-2,:

- при одиночном приеме;

- при экстремальном алгоритме автовыбора из М=2,3 ветвей разнесения и т =0.5;1;2;

- при разнесенном приеме с когерентным сложением М=2,3 сигналов ветвей по Бреннану и т =0.5;1;2.

Линейные блоковые коды

Блоковый код состоит из набора векторов V_i фиксированной длины, называемых кодовыми словами, каждое из которых состоит из п элементов, определяющих длину кодового слова. Элементы кодового слова выбираются из алфавита с q элементами (символами). При q >2 код называют недвоичным, а при q =2 двоичным.

В двоичном блоковом коде длиной п можно образовать полный код из 2 ^п кодовых слов, из которых можно выбрать М = 2 ^k   кодовых слов ( k < п), чтобы сформировать «хороший» код. Таким образом, блок из k информационных бит можно отобразить в кодовые слова длины п, выбираемые из набора М = 2 ^k кодовых слов. Такой блоковый код обозначают, как (п, k ) код.

В общем случае при алфавите кода q элементов можно образовать q ^п кодовых слов.

Код называется линейным, если сложение двух кодовых слов С α₁ C_i +α₂ C_j, где α-скалярные элементы алфавита q, дает тоже кодовое слово. Следовательно, линейный код должен содержать нулевое кодовое слово.

Каждое кодовое слово имеет свой собственный вес w_r, который определяют относительно нулевого кодового слова и равен числу ненулевых элементов.

Код называют кодом с постоянным весом, если все М кодовых слов имеют одинаковый вес.Поэтому  код с постоянным весом является нелинейным, т. к. не содержит нулевое кодовое слово.

Набор всех весов кода образует распределение весов кода. Это распределение на основании определения линейного кода полностью характеризует дистанционные свойства кода, т.е. расстояние между кодовыми словами.

Минимальное расстояние кода равно                                                                  .                               (3.1)

Функции кодирования и декодирования кода включают арифметические операции суммирования и умножения, выполненные над кодовыми словами. Эти арифметические операции выполняются в соответствии с соотношениями, правилами для алгебраического поля. Это поле имеет своими элементами символы, содержащиеся в алфавите кода, например, в двоичном алфавите элементы равны 0 и 1 и поле имеет два элемента.

 

Циклические коды

Циклические коды (ЦК) относятся к подклассу линейных блоковых кодов и наиболее просты в реализации. Если некоторое кодовое слово принадлежит ЦК, то его циклические перестановки также принадлежат ЦК. Иными словами, (n − 1) кодовых слов ЦК могут быть сформированы в кодеке путем циклического сдвига одного кодового слова, т.е. на регистрах сдвига и сумматорах по модулю 2.

Покажем, что для циклического кода можно также построить порождающие и проверочные матрицы и реализовать синдромное декодирование более простым способом, чем для линейных блоковых кодов.

Кодовое слово C = [ c_{n -1} c_{n -2} … c ₁ c ₀ ] циклического кода с n элементами связывают с полиномом C (p) степени ≤ (n −1):

C (p) = c_{n -1} ∙ p^{n -1} + c_{n -2} ∙ p^{n -2} + …+ c ₁ ∙ p + c ₀,                    (3.30)

где для двоичного кода коэффициенты с _i  являются нулем или единицей.

Циклическому сдвигу кодового слова на одну позицию соответствует умножение этого полинома на р

pC (p) = c_{n -1} ∙ pⁿ + c_{n -2} ∙ p^{n -1} + …+ c ₁ ∙ p ² + c ₀ p.

 

Полученный полином при с _{n -1} =1 не может соответствовать кодовому слову по условию (3.30), так как его степень n.

Если его разделить на (pⁿ +1), то получим частное и остаток

 

                          (3.31)

С_п-1 р ^п + С_п-2 р^п-1 +…С₀ р│ P^п +1

С_п-1 р ^п + С_п-1                  С_п-1-частное

С_п-2 р ^п-1 +…С₀р+ С_п-1 - остаток

где остаток от деления равен полиному

                  C ₁ (p) = c_{n -2} ∙ p^{n -1} + c_{n -3} ∙ p^{n -2} + …+ c ₀ ∙ p + c_{n -1}.

 

Этот остаток представляет согласно (3.30) кодовое слово

  C ₁ = [ c_{n -2} c_{n -3} … c ₀ c_{n -1} ] _,

полученное сдвигом на одну позицию.

В этом случае этот остаток от деления можно записать согласно уравнению (3.31) в виде:

                       C₁ (p) = pC(p) mod (pⁿ +1),

соответственно при i циклических сдвигах 

 

C_i (p) = pⁱ C(p) mod (pⁿ +1)                   (3.32)

 

где полином C_i (p) также представляет кодовое слово C_i   ЦК.

Таким образом, умноженный на pⁱ полином C (p) ЦК удовлетворяет согласно (3.31) условию циклического сдвига:   

 

           pⁱ C (p) = Q(p) (pⁿ +1)+ C_i (p),                 (3.33)

 

где Q (p) - частное от деления полиномов;

C_i (p) - остаточный от деления полином, представляющий кодовое слово C_i ЦК.

    Известно, что полином (pⁿ +1) можно факторизовать (представить произведением сомножителей) в виде:

(pⁿ +1) = g (p) ∙ h (p),                                 (3.34)

где g (p) - порождающий полином степени (n − k) ЦК (n, k);

h (p) - проверочный полином степени k, который можно использовать для генерации дуального ЦК (n, n − k).

Покажем, что генерируемые этими полиномами ЦК удовлетворяют условию циклического сдвига (3.33).

Циклический (n, k) код будем генерировать, используя в качестве порождающего полином g (p) с двоичным коэффициентами:

            (3.35)

Пусть полином информационного сообщения

,             (3.36)

где [ x_{k -1,}   x_{k -2,} … x _1, x ₀ ] определяют k информационных бит кодового слова ЦК и соответственно 2 ^k  полиномов.

Тогда произведение полиномов

          (3.37)

формирует 2 ^k   полиномов степени  ≤( n − 1), каждому из которых соответствует кодовое слово C_m  ЦК, т.к. каждое из них удовлетворяет условию циклического сдвига (3.33).

Пример. Доказать, что произведению полиномов (3.37) соответствуют генерируемые кодовые слова C_m.

Докажем это для кодового слова C_{m =1}. Сдвиг кодового слова C ₁ в (3.37), т.е. умножение C (p) на   p   дает согласно (3.31) равенство:

                      .

Но C (p) согласно (3.37),а (pⁿ +1) согласно условию факторизации (3.34) делятся оба без остатка на g (p). Следовательно, и C ₁ (p) делится на g (p) без остатка, т.е. его можно представить как

                                                     

Следовательно, генерируемый (3.37) циклический сдвиг в кодовом слове C (p) порождает другое кодовое слово, например, C ₁ (p).

Для генератора дуального (n, n − k) ЦК можно показать аналогичное (3.37) правило генерации кодовых слов на основе полинома h (p). На практике в качестве порождающего полинома дуального ЦК используют полином, обратный к h (p) и определяемый как

 

                                                                                                  (3.38)

В теории кодирования известны различные правила (алгоритмы) построения порождающих матриц (n, k) ЦК и дуального (n, n - k) ЦК в несистематической и систематической форме по соответствующим полиномам (3.35) и (3.38).

Известно, например, что полином, соответствующий l –й строке порождающей матрицы ( n, k) ЦК в систематической форме, удовлетворяет уравнению

.                 (3.39)

 

При этом R_l (p) степени, меньшей чем ( n - k), соответствует остатку от деления полинома p^{n - l} на полином g (p) (3.35) и определяет проверочные символы l –й строки матрицы.

Пример. Построить по алгоритму (3.39) порождающую и проверочную матрицы ЦК (7,4).

Решение.

Для (n, k)  кода с n =7, k =4 полином (3.34) p ⁷ +1 можно факторизовать в виде

p ⁷ +1=(p ³ + p +1)(p ³ + p ² +1)(p +1)= g ₁ (p)∙ g ₂ (p)∙ g ₃ (p)= g ₁ (p)∙ h (p),

где проверочный полином степени k равен

h (p)= (p ³ + p ² +1) (p +1)= p ⁴ + p ² + p +1.

Полином g ₁ (p) = (p ³ + p +1) примем порождающим полиномом кода

(7, 4), а порождающим полиномом дуального кода (7, 3) является обратный проверочный полином                                                                                                          p ⁴ ∙ h (p ^-1)=1+ p ² + p ³ + p ⁴.

Найдем первую строку порождающей матрицы в систематической форме согласно (3.39), разделив полином   p^{n - l} = p ⁶ на порождающий полином g ₁ (p).           

P⁶              │ P³+P+1

P⁶+P⁴+P³      P³+P+1

                                                              P⁴+P³             

                                                         P⁴+P²+P

                                                              P³+P²+P

                                                              P³+P+1

                                                              (P²+1) - остаток R₁ (p)

Полином, соответствующий 1-й строке матрицы согласно (3.39), имеет вид p ⁶ = (p ³ + p +1)(p ³ + p +1)+ p²+1, где полиному остатка соответствует в кодовом слове три последние проверочных бита 101.

Аналогично можно найти: p ⁵ = (p ² +1) g ₁ (p)+ p ² + p +1   

   p⁴ = p g₁(p)+p²+p

p³ = g₁(p)+p+1

и порождающая матрица ЦК в систематической форме имеет вид:

,         (3.40)

а проверочная матрица равна:

 .         (3.41)

Вместе с тем,рассмотренный алгоритм (3.39) построения порождающей матрицы ЦК позволяет генерировать систематический ЦК  непосредственно из порождающего полинома g ₁ (p).

Если умножим полином сообщения (3.38) на p^{n - k}, то получим

 

,

который в систематическом коде представляет первые (старшие) k бит кодового слова C (p). К этому полиному необходимо добавить полином степени меньшей, чем (n - k), т.е. остаток r (p), представляющий проверочные символы кодового слова.

Таким образом, приходим к подобному (3.39) алгоритму формирования систематического кода, из порождающего полинома g (p):

 

.                   (3.42)

Согласно этому алгоритму:

1. Умножаем полином сообщения X (p) на р^{( n - k )};

2. Делим полученное произведение на полином g (p), чтобы получить остаток r (p) степени меньшей, чем (n − k);

3. Суммируем по mod 2 остаток r (p)  с полиномом произведения A (p) = р^{( n - k )}Х(р) и получаем систематический код.

Деление полинома A (p) степени (n −1) на полином степени (n − k)

g (p)= g_{n - k} (p) р^{( n - k )} + g_{n - k -1} (p) р^{( n - k -1)} +…+ g ₁ (p)+ g ₀    

можно реализовать посредством (n − k) ячеек регистра сдвига с обратной связью рис. 3.5.

 

Рис. 3.5. Схема деления полиномов A(p) на g (p).

В исходном состоянии ячейки регистра сдвига содержат нули. Коэффициенты А(р) продвигаются по тактам коэффициентами при p более высокого порядка вперед, т.е. а _{n -1}, затем а _{n -2}  и т.д.

После (n − k −1) тактов первый ненулевой выход частного равен

q ₁ =(g_{n - k})^-1∙ a_{n -1}. Далее на каждом последующем такте i для образования каждого выходного коэффициента регистра (т.е. частного q_i) мы должны, как и при обычном делении, вычесть полином g (p), умноженный на этот коэффициент q_i частного. Это вычитание реализуется обратной связью.

Если в структуре регистра положить (g_{n - k}) = g ₀ =1, то для двоичных кодов арифметические операции выполняются по mod 2 и вычитание сводится к сложению.

В результате, структура кодера ЦК в систематической форме согласно алгоритму (3.42) имеет вид, рис. 3.6: