Синтез оптимального алгоритма совместной ВЧ синхронизации и демодуляции сигналов с угловой модуляцией

Синтезируем алгоритм оптимального когерентного демодулятора сигналов с угловой модуляцией при неопределенности фазы q  несущей частоты, совмещающего функцию выделения комплексной огибающеймодулированного сигнала (модулирующего сигнала u (t)) и функцию фазовой ВЧ синхронизации рис.1.14.

Как уже отмечалось, неопределенность фазы q  принимаемого модулированного сигнала и задержка t НЧ демодулированного сигнала обусловлены одинаковыми причинами. Поэтому алгоритм МАВ приема ВЧ модулированного сигнала и вид логарифма среднего по ожидаемым сигналам (например, BPSK: s ₁ (t)= Acos w _c t, s ₂ (t) = - Acos w _c t) функционала (1.11) аналогичны.

Тогда, функционал (1.12), при соответствующей замене переменных:

  u _i (t) ® s_i (t) –ожидаемые сигналы;

υ (t) ® x (t) -принимаемый модулированный сигнал;

формы v(t-t) ®на ВЧ колебание cos (w _c t + q),

имеет вид:

.                (1.70)

 

В этом случае, по аналогии с (1.13), максимум функционала (1.70) по неопределенному фазовому сдвигу q удовлетворяет уравнению:

.      (1.71)

Один из вариантов реализации этого синтезированного алгоритма когерентного демодулятора по схеме Костаса на основе петли ФАПЧ представлен на рис.1.22.

 

                  

 

 

Рис.1.22. Когерентный демодулятор ФМ сигнала (схема Костаса)

 

Можно показать, что сигнал ошибки U_ε (t) на входе ФНЧ_П петли содержит полезное слагаемое и паразитные шумовые, похожие на два шумовых слагаемых (1.35) при методе с возведением в квадрат. Поэтому, при идентичных петлевых фильтрах ФНЧ_П, в этих двух схемах эти две петли ФАПЧ эквивалентны по дисперсии фазовых шумов.

Однако, если в схеме Костаса в качестве ФНЧ ветвей квадратур (подавляющих слагаемые с двойной частотой) применить СФ с сигнальным импульсом информационной последовательности, а выходы СФ стробировать с битовой скоростью в конце каждого сигнального интервала, то эти отсчеты могут быть использованы для управления петли ФАПЧ. Шумовые характеристики петли ФАПЧ, управляемой обратной связью по решению, в 4÷10 раз меньше, чем в петле Костаса при h ² = 0 дБ/бит. Применение СФ ведет к меньшему шуму в петле. Отметим, что выход ГУН в петле Костаса также дает неоднозначность фазы на 180^◦.

 

Пример 1. Петля ФАПЧ с обратной связью по решению, предназначенная для квазикогерентного приема двухполосного АМ сигнала, представлена на рис.1.23.

 

Рис.1.23. Приемник АМ сигнала на основе петли ФАПЧ с обратной связью по решению

 

Принимаемый в смеси с АБГШ сигнал  умножается на квадратурные несущие

,                  

с выходов ГУН.

Сигнал произведения в ветви

слагаемое с двойной частотой

используется для восстановления информации, имеющейся в.

Детектор выносит решение о принимаемом символе каждые Т_с секунд. При отсутствии ошибок решения реконструируется сигнал, свободный от шума.

Этот сигнал  используется для перемножения с результатом второго квадратурного  умножителя, который задерживается на Т_с секунд, чтобы дать время демодулятору вынести решение в ветви.

В результате на входе петлевого ФНЧ_п (при отсутствии ошибок решения) получим:

слагаемое с двойной частотой =

  слагаемое с двойной частотой.

Петлевой ФНЧ_п выделяет НЧ компоненту, где желательной является, которая содержит фазовую ошибку управления ГУН петли.

 

Пример 2. Покажем, что схема Костаса реализует когерентный прием квадратур комплексной огибающей ОФМ сигнал BPSK.

Пусть на вход схемы рис.1.22 поступает ОФМ сигнал BPSK x (t)= Acos [ w _х t + p u (t) ] с несущей w _х, причем w _х ¹ w _с сигнала гетеродина ГУН, фаза q которого имеет произвольное значение.

Сигнал ошибки u_ε петли ФАПЧ на выходе НЧ умножителя в установившемся режиме определяется равенством:

  (1.72)

Покажем, что в случае приема сигнала BPSK обеспечивается полная синхронизация частоты приемника с частотой передатчика, а на выходе ФНЧ квадратур можно получить значения квадратур комплексной огибающей ФМ сигнала BPSK.

Пусть входной сигнал схемы

x_k (t)= Acos [ w _х t + p /2 × u_k ] + n (t),                             (1.73)

 

где u_k (t) = ± 1 – ожидаемое значение модулирующего сигнала БВН;

А -амплитуда принимаемого сигнала.

Запишем уравнение (1.72) при этом входном сигнале, пренебрегая шумами n (t). С учетом ФНЧ получим:

(1.74)

Из данной формулы следует, что нулевое значение ошибки u_ε в установившемся режиме приводит при w _х = w _с к постоянному нулевому сдвигу фазы q между несущей принимаемого сигнала и частотой ГУН приемника вне зависимости от значения модулирующего сигнала u_k (t). Нулевое значение q соответствует максимуму функционала (1.70), т.е. оптимальной схеме когерентной демодуляции BPSK.

Определим выражения для квадратур демодулированного сигнала (огибающей)  и  на выходе оптимального демодулятора в установившемся режиме,т.е. при w _х = w _с с точностью до q=0, и с учетом ФНЧ:       

 

                                                                                                                  (1.75)

Т.о. на выходе ФНЧ получили значения квадратур комплексной огибающей ФМ сигнала, зависящие только от значения модулирующего сигнала на текущем символьном интервале Т_с.

Уместно отметить, что при модуляции фазы сигнала 0, π огибающая ФМ сигнала действительная величина и =0, а при модуляции ± π/2 → = 0.

Можно показать, что схема Костаса является оптимальным когерентным демодулятором и для четырехуровневых ФМ сигналов (QPSK, DQPSK, O-QPSK), а также сигналов ЧММС и др.

Примеры синтеза оптимальных алгоритмов когерентного приема сообщений методами линейной и нелинейной фильтрации для сигналов АМ, ФМ, ЧМ, модулированных непрерывным гауссовским марковским сообщением, приведены в методическом пособии [2].

Задачи к разделу 1

 

1. При передаче и приеме сигналов между двигающимися объектами передаваемый сигнал получает доплеровский сдвиг, который определяется формулой, где υ-скорость взаимного перемещения передатчика и приемника, λ - длина волны, а знак зависит от направления (движения вперед или назад) взаимного перемещения приемника и передатчика. Допустим, что получатель перемещается со скоростью 100км/час относительно базовой станции. Узкополосный сигнал передается на несущей частоте 1ГГц.

а) Определить доплеровское смещение частоты.

б) Какова полоса отслеживания петли при доплеровских сдвигах, если петля рассчитана на отслеживание доплеровских сдвигов пользователей, двигающихся со скоростями до 100км/час?

с) Положим, что полоса переданного сигнала 2МГц сосредоточена в области несущей 1ГГц. Определите величину доплеровского рассеяния между верхней и нижней частями сигнала.

 

2. Однополосный сигнал АМ можно представить как:

 

где  - преобразование Гильберта от, а А _т – уровень амплитуды, который содержит информацию. Покажите математически, что петлю Костаса можно использовать для демодуляции ОБП сигнала АМ.

 

3. Информация передается одной квадратурной компонентой в системе связи посредством двоичной ФМ. Таким образом, сигнал принимает вид:

,

где θ - фаза сигнала несущей, а n (t) –АБГШ. Немодулированная компонента несущей используется как некий сигнал на приеме для оценивания фазы несущей частоты.

а) Нарисуйте блок – схему приемника, включая блок оценки фазы не-сущей частоты;

б) Покажите математически операции, определяющие оценивание фазы несущей θ;

в) Выразите вероятность ошибки детектирования двоичного сигнала ФМ как функцию от суммарной переданной мощности сигнала. Какова потеря качества, обусловленная концентрацией частоты переданной мощности в квадратурах сигнала? Рассчитайте потерю при.

 

4. Определите сигнальную и шумовую компоненты на входе петли ФАПЧ (с возведением в четвертую степень (М=4)), используемой для генерирования фазы несущей при демодуляции КФМ. Игнорируя шумовые компоненты, кроме тех, которые линейно связаны с шумом n (t), определите дисперсию оценки фазы выхода ФАПЧ.

 

5. Вероятность ошибки демодуляции и детектирования двоичной ФМ, если имеется ошибка θ_с в определении фазы несущей, равна

 

Предположите, что фазовая ошибка от ФАПЧ моделируется гауссовской случайной величиной с нулевым средним и дисперсией σ_θ² << π². Определите выражение для средней вероятности ошибки (в интегральном виде).

 

6. На вход схемы Костаса Рис.1.22 поступает четырехуровневый ФМ радиосигнал (QPSK, DQPSK, O-QPSK)

 

x_k(t)=Acos [ w _х t+ p /4 × u_k ] + n(t),

 

где u_k   – ожидаемое значение модулирующего сигнала из множества {±1,±3}, а n (t) – АБГШ.

Показать, что нулевое значение ошибки u_ε петли ФАПЧ на выходе НЧ умножителя в установившемся режиме без учета АБГШ будет при фазовом сдвиге q = p /4 частоты ГУН относительно несущей частоты передатчика.

Найти значения квадратурных компонент комплексной огибающей модулированного сигнала на выходе ФНЧ квадратур в установившемся режиме петли, соответствующие значениям модулирующего сигнала u_k.

При решении использовать тригонометрические соотношения:

 

 

7. На вход схемы Костаса Рис.1.22 поступает сигнал ЧММС с индексом модуляции т =1/2

 

где u_k –ожидаемое значение модулирующего сигнала на интервале Т_с из множества {+1, – 1}.

Показать, что нулевое значение ошибки u_ε петли ФАПЧ на выходе НЧ умножителя в установившемся режиме без учета шумов канала связи будет при фазовом сдвиге q = p /4 частоты ГУН относительно несущей частоты передатчика, как и при ФМ модуляции.

Найти значения квадратурных компонент комплексной огибающей модулированного сигнала на выходе ФНЧ квадратур в установившемся режиме петли, соответствующие значениям модулирующего сигнала u_k.

При решении использовать тригонометрические соотношения:

     

 

8. Произвести расчет шаблонов СПМ рис.1.16 фазовых (частотных) шумов синтезаторов в радиолинии при однократной ОФМ и следующих дополнительных данных согласно таблице:

 

Скорость R(бод)   Х	300-500 х1	500-1000 х2	600-1200 х3	(1,2÷2,4)∙103 х4	(2,4÷4,8)∙103 х5
Уровень дискрет. составл. (рад)	0	0	0	0	0
	0,01	0,05	0,02	0,01	0,05