Критерий однородности статистического материала

Критерий однородности еще носит название критерий принадлежности выборок к одной генеральной совокупности.

Результаты одной физической величины могут быть получены при проведении различных экспериментов и, может быть, даже в различных условиях. Проведено s последовательных экспериментов, состоящих соответственно из n ₁, n₂ ,…,n_s единичных наблюдений. При этом числа n_j не случайны, а рассматриваются как заданные. В каждом эксперименте наблюдается некоторый переменный признак. Результаты каждого ряда наблюдений разбиваются по значению этого признака на r групп. Количество результатов наблюдений в i -

ой группе j -го ряда обозначим υ _ij.

 

Значение признака	Ряд 1 2 3 … s	Сумма
1 2 3 … r	u 11 u 12 u 13 ……. u 1 s   u 21 u 22 u 23 ……. u 2 s   u 31 u 32 u 33 ……. u 3 s   …… …… …… …… ….. u r 1 u r 2 u r 3 ……. u rs	u 1@ u 2@ u 3@ ….. u r@
Сумма	u @1 u @2 u @3 ……. u @ s	N

Задача сводится к проверке гипотезы о том, что s выборок, представленных столбцами таблицы, извлечены из одной и той же совокупности, или, говоря иначе, эти данные являются однородными.

Для проверки этой гипотезы воспользуемся распределением Пирсона и запишем его в виде

                        c ² = n [  – 1],

имеющим (r – 1)(s – 1) число степеней свободы. ……

Анализ результатов эксперимента

Характеристика видов связей между рядами наблюдений

Функциональные связи – при изменении одной величины другая изменяется так, чтосоответствует совершенно определенное (однозначное) значение

Стохастические (вероятностные) связи между переменными характеризуются тем, что переменная y реагирует на изменение другой переменной (переменных) Х изменением своего закона распределения.

1) Задачи корреляционного анализа – исследование наличия взаимосвязей между отдельными группами переменных;

2) Задачи регрессионного анализа – задачи, связанные с установлением аналитических зависимостей между переменным у и одним или несколькими переменными х₁,х₂,…,х_к, которые носят количественный характер;

3) Задачи дисперсионного анализа – задачи, в которых переменные х₁,х₂,…,х_к носят качественный характер, а исследуется и устанавливается степень их влияния на у.

Стохастические зависимости характеризуются формой, теснотой связи, численными значениями коэффициентов уравнения регрессии.

Форма связи устанавливает вид функциональной зависимости  = f (X)

и характеризуется уравнением регрессии. Если уравнение связи линейное, имеем линейную многомерную зависимость:  = b ₀ + , где b ₀ ,… …

b_k  –коэффициенты уравнения.

Решение о выборе той или иной математической модели остается за исследователем. В наш компьютерный век построение модели не является сложной задачей, если исследователь четко представляет цель и задачи исследования.

Метод наименьших квадратов

Данный метод определения неизвестных коэффициентов уравнения регрессии был разработан Лежандром и Гауссом почти 200 лет назад.

Определение коэффициентов b_j методом наименьших квадратов основано на выполнении требования, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от соответствующих значений уравнения регрессии была минимальна.

После дифференцирования полученная система содержит столько же уравнений, сколько неизвестных коэффициентов b ₀ ,… … b_k   входит в уравнение

регрессии, и называется в математической статистике системой нормальных уравнений.