Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Топ:
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Интересное:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Дисциплины:
2018-01-28 | 194 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Возрастание и убывание функции
Определение. Функция называется возрастающей (убываю-щей), если при увеличении аргумента значение функции увеличи-вается (уменьшается) (рис. 10.1), то есть соответственно : () Þ (); (: Þ ).
Рис. 10.1
Теорема 10.1. Производная возрастающей (убывающей) функции не отрицательна (не положительна).
Определение. Функция, только возрастающая или убыва-ющая, называется монотонной. Промежутки, на которых данная функция возрастает или убывает, называются промежутками монотонности этой функции.
Экстремумы функции
Определение. Если при переходе аргумента (слева направо) через некоторое значение функция переходит от возрастания к убыванию, то говорят, что в точке функция имеет максимум (max). Если же при переходе аргумента через некоторое значение функция переходит от убывания к возрастанию, то в этой точке функция имеет минимум (min). Точки максимума и минимума называются точками экстремума (extr) (рис. 10.2).
Теорема 10.2 (необходимое условие экстремума). В точ-ке экстремума дифференцируемой функции производная этой функции равна нулю (см. рис. 10.2).
Рис. 10.2
Следствие. Дифференцируемая функция может иметь экс-тремум лишь в тех точках, в которых производная функции рав-на нулю или не существует.
Определение. Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками функции.
Теорема 10.3 (1-е достаточное условие экстремума). Если дифференцируемая функция такова, что для некоторого значения ее аргумента x производная равна нулю (не существует при условии, что сама функция в этой точке непрерывна) и меняет свой знак при переходе через эту точку , то является экстремумом функции , причем:
|
1) если меняет свой знак с «+» на «–», то в точке функция достигает максимум;
2) если меняет свой знак с «–» на «+», то в точке функция достигает минимум.
Теорема 10.4 (2-е достаточное условие экстремума). Если для дифференцируемой функции в некоторой точке ее первая производная равна нулю, а вторая – существует и отлична от нуля, то есть
, ,
то в этой точке функция имеет экстремум, а именно:
1) если , то – минимум;
2) если , то – максимум.
Наибольшее и наименьшее значения функции
Пусть функция определена и непрерывна на отрезке . Чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение функции на отрезке , необходимо перечислить все точки , , …, максимумов (минимумов), принадле-жащие интервалу и выбрать наибольшее (наименьшее) значение из чисел , , …, , , (рис. 10.3).
Рис. 10.3
Пример 10.1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .
Решение. Найдем критические точки функции, для этого вычислим производную функции . Оп-ределим точки, в которых производная функции равна нулю: . Так как , то наибольшее и наименьшее зна-чения функции выберем из следующих:
; ; .
Ответ: , .
|
|
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!