ТЕМА 9. Дифференциальное исчисление

 

Определение производной

 

Пусть функция определена и непрерывна на интервале . Зададим аргументу некоторое приращение , тогда функция получит приращение . Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:

 

.

 

Рассмотрим предел этого отношения при :

 

.

 

Определение. Производной функции в точке x называется предел (если он существует) отношения приращения функции к приращению аргумента , когда последнее стремится к нулю ().

Таким образом, получаем

(16)

 

или

. (17)

 

Замечание. При вычислении производной функции по опреде-лению возникает неопределенное выражение вида . Раскрывая эту неопределенность, выясняем существование предела и тем самым производной функции в точке x.

Для обозначения производной функции часто используют также символы:

 

, , .

 

Если в каждой точке существует производная , то функция называется дифференцируемой на интервале , а операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

Геометрический смысл производной

 

Касательной к кривой в точке называется прямая, являющаяся предельным положением секущей когда точка M, двигаясь по кривой, неограниченно прибли-жается к точке (рис. 9.1).

Рис. 9.1

 

Рассмотрим график непрерывной на функции (рис. 9.2), имеющей в точке невертикальную касате-льную. Найдем угловой коэффициент этой касательной: , где j – угол наклона касательной к оси .

Придадим переменной x приращение , функция также получит приращение , соответствующей ему точкой на кривой будет , где , . Проведем секущую и обозначим через y угол между секущей и осью Ox. Рассмотрим треугольник тогда . Угловой коэффициент секущей равен

 

.

 

Из непрерывности функции следует, что при приращение также стремится к нулю; но тогда точка М, двигаясь по кривой, в пределе совпадает с точкой а секущая, поворачиваясь в точке в пределе переходит в касательную, тогда

 

.

 

Поэтому угловой коэффициент касательной равен:

 

.

 

Рис. 9.2

 

Таким образом, геометрически производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке, абсцисса которой равна , или, что то же самое, тангенсу угла наклона касательной в точке к оси абсцисс.

 

Правила дифференцирования, таблица производных

 

Для вычисления производных необходимо знать правила дифференцирования и формулы, определяющие производные прос-тейших функций. Вывод этих правил и формул основывается на определении производной функции.

 

Правила дифференцирования

Пусть , – дифференцируемые функции на интервале , .

1. .

Доказательство. Пусть , придадим переменной приращение, тогда . Составим отношение и вычислим предел .

 

2. .

Доказательство. Пусть , тогда , . По определению имеем .

 

3. .

Доказательство. Пусть и функция – дифференцируемая на интервале , т. е. . Придадим переменной x приращение, тогда функции y, u также получат приращение:

, Переходя к пределу при , получаем

 

4. .

Доказательство. Пусть , , – дифференцируемые функции на интервале , т. е.

 

, .

 

Запишем приращение функции, соответствующее приращению переменной :

.

По определению производной и свойствам пределов функций получаем:

 

.

 

5. .

Доказательство. Пусть , где , – дифференцируемые функции на интервале :

 

, .

 

Если независимая переменная получит приращение , тогда функции y, u, v также получат приращение, т. е.

.

 

По определению производной и свойствам пределов функций получаем:

 

.

6. , .

Доказательство. Пусть , и , – дифференцируемые функции на интервале :

, .

 

Приращению соответствуют приращения функций

y, u, v, тогда:

 

.

 

По определению производной и свойствам пределов функций имеем:

 

.

 

Пример 9.1. Найти производную функции по определению: 1) ; 2) ; 3) .

Решение

1) . Значению независимой переменной x соответ-ствует значение функции , значению соответствует значение функции . По оп-ределению производной (17) имеем:

 

. Таким образом, .

 

2) . Запишем приращение функции , соответ-ствующее приращению независимой переменной (): . По определению производной функции имеем:

 

,

 

т. е. .

3) . Значению аргумента x соответствует значение функции , а значению соответствует значение функции .

Найдем приращение функции:

,

 

вычислим предел:

.

Таким образом, получаем

 

Таблица производных простейших функций

1)	, ;	8)	, ;
2)	, , ;	9)	;
3)	;	10)	;
4)	;	11)	;
5)	;	12)	;
6)	;	13)	.
7)	;

 

 

Пример 9.2. Найти производную функции:

1) 2) .

 

Решение

1) Воспользуемся правилом дифференцирования произведения функций:

.

 

 

2) По правилу дифференцирования дроби имеем:

.