Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Топ:
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Интересное:
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Дисциплины:
2018-01-28 | 255 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Рассмотрим плоскость . К кривым 2-го порядка относятся линии, описываемые многочленом от двух пере-менных, максимальная степень которого равна двум, то есть
,
.
Окружность
Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от некоторой фиксированной точки , называемой ее центром.
Допустим, точка лежит на данной окружности, то расстояние СМ равно некоторому числу R, называемому радиусом этой окружности: – уравнение окружности с центром в точке и радиуса R.
Пример 6.1. Найти центр и радиус окружности .
Решение. Выделим полный квадрат по каждой перемен-ной, данное уравнение можно записать в виде: или Следовательно, это окружность с центром в точке и радиусом .
Эллипс
Эллипсом называется геометрическое место точек плос-кости, для которых сумма расстояний до двух данных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.
Выведем уравнение эллипса. Пусть и – фокусы (рис. 6.1). Положим . Декартову систему координат зададим следую-щим образом: ось Ox направим по прямой , а начало поместим в середину отрезка . Тогда , .
Пусть – произвольная точка эллипса. Тогда , где величина a дана, причем . Имеем:
Следовательно, уравнение эллипса имеет вид:
.
Рис. 6.1
Упростим последнее равенство: перенесем второе слагаемое в правую часть и возведем обе части в квадрат, получим , после раскрытия скобок и приведения подобных останется: Разделим полученное равенство на четыре, возведем обе части еще раз в квадрат:
и преобразуем .
После приведения подобных получим:
, .
Обозначим и разделим обе части последнего равенства на эту величину: – каноническое уравнение эллипса с полуосями , и центром симметрии в точке . Число a в уравнении эллипса называется большой, а b – малой полуосью эллипса. Прямую, на которой расположены фокусы эллипса, называют фокальной осью.
|
Величина называется эксцентриситетом эллипса, а прямые называются директрисами эллипса.
Пример 6.2. Доказать, что уравнение определяет эллипс.
Решение. Преобразуем уравнение, выделив полные квадраты по каждой переменной, Введем новые переменные , . Тогда или . Последнее уравнение определяет эллипс с центром в точке причем , .
Гипербола
Гиперболой называется геометрическое множество точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до двух данных точек и этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.
Выведем уравнение гиперболы. Положим . Систему координат (рис. 6.2) выберем так же, как и в случае эллипса. Тогда , а .
Если – произвольная точка гиперболы, то , a – постоянная, . Это уравнение соответствует определению гиперболы. Преобразуя его, как и в случае эллипса, и положив , получим каноническое уравнение гиперболы:
.
Рис. 6.2
Гипербола – кривая, симметричная относительно осей и начала координат. Прямые являются асимптотами гиперболы, величина называется эксцентриситетом гиперболы, , а прямые – ее директрисами.
Парабола
Параболой называется геометрическое место точек плоскос-ти, равноудаленных от данной точки F и данной прямой (рис. 6.3). Точка F называется фокусом параболы, а данная прямая – директрисой параболы. Для получения уравнения параболы выберем систему координат следующим образом: ось Ox проведем через фокус F перпендикулярно директрисе. Начало координат поместим в точку, равноудаленную от фокуса и директрисы. Обозначим расстояние между фокусом и директрисой через p. Величина p называется параметром параболы. В выбранной системе координат фокус F имеет координаты , а уравнение директрисы имеет вид или .
|
Рис. 6.3
Пусть – произвольная точка параболы. Соединим точку М с точкой F. Проведем отрезок MN перпендикулярно дирек-трисе. Согласно определению параболы, . По формуле расстояния между двумя точками находим: , а
Следовательно, .
После элементарных преобразований получим каноническое уравнение параболы:
.
Пример 6.3. Классифицировать линию 2-го порядка .
Решение. Воспользуемся формулой Выделим полный квадрат по каждой переменной, для этого сгруппируем отдельно слагаемые, содержащие переменную x и y: . Коэффициенты при пере-менных в старшей степени вынесем общими множителями . Полученные выражения в скобках доведем до полного квадрата, в первом случае прибавим и отнимем 25, во втором – 4: После раскрытия скобок постоянные пе-ренесем в правую часть равенства = Приведем подобные . Запишем уравнение линии 2-го порядка в общем виде. Разделим последнее равенство на 36, чтобы получить единицу в правой части
или .
Данная линия (рис. 6.4) является гиперболой с центром в точке и полуосями , .
Рис. 6.4
|
|
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!