Устойчивость при опрокидывании

Рычагом называется твердое тело, имеющее неподвижную ось вра­щения и находящееся под действием сил, лежащих в плоскости, перпен­дикулярной этой оси. Положим, что к рычагу в точках приложены зада­ваемые силы ,лежащие в плоскости чертежа, а ось рычага пересекает эту плоскость в точке О, которую называют опорной точкой (рис. 6.10).

Реакция оси рычага, урав­новешивая задаваемые силы, ле­житв их плоскости, но направ­ление ее не известно.

Разложим реакцию оси рычага на две составляющие и и составим три уравнения равнове­сия сил, действующих на рычаг:

 

(6.8)

 

Рис. 6.10

 

; (6.9)

. (6.10)

Здесь - суммы проекций задаваемых сил, приложенных к рычагу на оси х и у; Х₀ и Y₀ - проекции реакции оси рычага на оси; - сумма моментов задаваемых сил относительно опорной точки.

Уравнение (6.10), не содержащее реакции оси рычага, выражает условие, которому удовлетворяют задаваемые силы, приложенные к рычагу, если он находится в покое.

Это условие формулируется так: если рычаг находится в покое, то алгебраическая сумма моментов всех задаваемых сил, приложенных к рычагу, относительно опорной точки равна нулю:

 

. (6.11)

 

Из уравнений (6.11) и (6.9) равновесия определяются модуль и направле­ние реакции оси рычага. Из условия (6.11), которое выполняется, если рычаг находится в покое, получим условие устойчивости тел при опро­кидывании.

Положим, что к прямоугольному параллелепипеду (рис. 6.11) весом на высоте d приложена горизонтальная сила , которая может не только сдвинуть тело, но и опрокинуть его при вращении вокруг ребра А. Считая, что сила недостаточно велика, чтобы сдвинуть тело, рассмотрим ее опрокидывающее действие. Обозначим а расстояние от точки А, изображающей на рисунке 6.12 ось вращения рычага, до линии действия силы , которая препятствует опрокидыванию.

Составим сумму моментов задаваемых сил и относительно опорной точки А:

 

, откуда .

 

Назовем абсолютные значения моментов сил и относительно точки А удерживающим и опрокидывающим моментами:

 

.

Тогда на границе устойчивости

 

.

При устойчивом состоянии тела

.

 

Устойчивость при опрокидывании в технике принято определять отношением числового значения удерживающего момента к числовому значению опрокидывающего момента:

 

.

 

Это отношение называют коэффициентом устойчивости. Очевидно, что в случае предельной устойчивости коэффициент устойчивости k = 1, а в случае устойчивого состояния k > 1.

 

Рис. 6.11 Рис. 6.12

 

Определить, опрокинется ли тело под действием силыили будет нахо­диться в устойчивом состоянии, можно и графическим путем. Для этого продолжим линии действия сил и до их пересечения в точке К, перенесем силы в эту точку и найдем их равнодействующую (рис. 6.12).

Продолжая линию действия равнодействующей силы, найдем точку ее пересечения с опорной плоскостью.

В рассмотренном примере возможны три случая:

1. Если эта точка лежит слева от ребра А, то состояние тела устой­чиво.

2. Если линия действия равнодействующей пересекает ребро А, тосостояние тела предельно устойчиво.

3. Если эта точка лежит справа от ребра А, то тело опрокинется.

Пример 3. Определить вес противовеса G ₁, обеспечивающий коэффициент устойчивости нагруженного крана при опрокидывании, равный 1,5, если вес крана G ₂=50 кН, вес груза G ₃=40 кН. Размеры указаны на рис. 6.13.

 

Рисунок 6.13

 

Решение. Предполагаемое опрокидывание крана под действием веса груза является вращением вокруг оси О, совпадающей с правым рельсом. Силами, препятствующими опрокидыванию, являются вес крана и вес про­тивовеса . Определим опрокидывающий момент как абсолютное значение момента силы относительно точки О:

 

кНм.

 

Определим удерживающий момент как сумму абсолютных значений момен­тов сил и относительно точки О:

 

кНм.

 

Воспользуемся коэффициентом устойчивости тела при опрокидывании

 

.

Отсюда

кН.

 

Лекция 7

ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ

 

1. Центр параллельных сил

Рассмотрим систему параллельных сил ,приложен­ных к твердому телу в точках (рис. 7.1). Эта система имеет равнодействующую , направленную так же, как слагаемые силы, причем по модулю

 

.

Если теперь каждую из сил системы поворачивать около ее точ­ки приложения в одну и ту же сторону и на один и тот же угол, то мы будем получать новые системы одинаково направленных парал­лельных сил с теми же модулями и точками приложения, но с дру­гим общим направлением (пунктирные линии на рис. 7.1).

Равнодействующая каждой из таких систем параллельных сил будет иметь тот же модуль R, но всякий раз другую линию действия.

Покажем, что при всех поворотах линия действия равнодейст­вующей всегда проходит через одну и ту же точку С. В самом деле, сложив сначала силы и , найдем, что их равнодействующая , при любых поворотах сил будет проходить через точку ,лежащую на прямой , и удовлетворять равенству , так как при поворотах сил ни положение прямой , ни это равенство не меняется. Складывая теперь силу , с силой , мы получим, что их равнодействующая будет проходить через аналогично определяемую точку ,лежащую на прямой , и т.д. Доведя эту операцию по­следовательного сложения до конца, мы убедимся, что равнодейст­вующая всех сил действительно проходит всегда через одну и ту же точку С, положение которой по отношению к точкам будет неизменным.

Рис. 7.1

 

Точка С, через которую проходит линия действия равнодейст­вующей системы параллельных сил при любых поворотах этих сил около их точек приложения в одну и ту же сторону и на один и тот же угол, называется центром параллельных сил.

Найдем координаты центра параллельных сил. Выберем оси ко­ординат Oxyz и обозначим координаты точек: , ,…, . Повернем сначала силы так, чтобы они были параллельны оси Oz, и применим к силам теорему Вариньона. Так как является равнодействующей этих сил, то, вы­числяя моменты относительно оси Оу, получим

 

.

 

Отсюда находим (имеем в виду, что )

 

. (7.1)

 

Для координаты аналогичные формулы получим, вычисляя моменты относительно оси Ох. Чтобы определить , повернем все силы, сделав их параллельными оси Оу. Применив к этим силам теорему Вариньона, вычислим моменты относительно оси Ох.

Окончательно получим следующие формулы для координат центра параллельных сил:

. (7.2)

 

Центр тяжести твердого тела

Центром тяжести тела называют геометрическую точку, че­рез которую проходит равнодействующая сила всех сил тяжести, действующих на частицы тела при любом его положении в пространстве. Она совпадает с центром системы параллельных сил, которую приближенно образуют силы тяжести его элементарных частиц (рис. 7.2).

 

Рис. 7.2

 

Радиус-вектор центра тяжести те­ла вычислим по формуле

 

. (7.3)

 

где - радиус-вектор точки прило­жения силы тяжести элементарной части тела, принятой за точку; - сила тяжести элементарной частицы; Р - - сила тяжести всего тела.

Если в (7.3) перейти к пределу, увеличивая число элементар­ных частей п до бесконечности, то после замены суммы интегралом получим

 

. (7.4)

 

В проекциях на оси координат из (7.3и (7.4) получим

 

, (7.5)

.

Для однородного твердого тела силу тяжести элементарной час­тицы тела можно вычислить по формуле

,

где - удельный вес тела; - объем элементарной частицы.

Сила тяжести всего тела

,

где V - объем тела.

Подставляя эти значения в уравнения (7.3) и (7.4), после со­кращения на у получим формулы:

, (7.6)

по которым определяют центр тяжести тела.

По аналогии, для плоских тел, у которых один размер мал по сравнению с двумя другими, имеем

 

, (7.7)

где - площадь элементарной частицы поверхности; А - площадь всей поверхности.

Для однородных тел типа проволоки, у которых два размера ма­лы по сравнению с третьим, определим радиус-вектор центра тяже­сти по формулам

, (7.8)

где - длина элемента линии; L - общая длина линии.

 

3 Методы определения центров тяжести

Метод симметрии. При определении центров тяжести широко используется симметрия тел. Для однородного тела, имеющего плоскость симметрии, центр тяжести находится в плоскости сим­метрии. Для однородного тела, имеющего ось или центр симметрии, центр тяжести находится соответственно на оси симметрии или в центре симметрии.

Метод разбиения на части. Некоторые тела сложной формы можно разбить на части, центры тяжести которых известны. В таких случаях центры тяжести сложных фигур вычисляются по общим формулам, определяющим центр тяжести, только вместо элементар­ных частиц тела берутся его конечные части, на которые оно разбито.

Пример 1. Определить координаты центра тяжести однородной
пластины, показанной на рис. 7.3. Все размеры показаны на рисунке в сантиметрах.

Решение. Проводим оси координат и разбиваем пластину на три прямоугольника (линии разреза показаны пунктиром). Вычислим координаты центров тяжести ка­ждого из прямоугольников и их площади:

 

.

 

Площадь всей фигуры

 

.

 

Рис. 7.3

 

Тогда,

,

.

 

Найденное положение центра тяжести совпадает с точкой С и показано на рис. 7.3.

Метод отрицательных масс. Проиллюстрируем этот метод на плоской фигуре.

Пример 2. Определить положение центра тяжести круглой пластины радиусом R с вырезом радиуса r (рис. 7.4). Расстояние .

Решение. Центр тяжести пласти­ны лежит на линии - на оси сим­метрии. Проводим оси координат, как показано на рис. 7.4.

Для нахождения координаты дополняем площадь пластины до полного круга, затем вычитаем из по­лученной площади площадь вырезан­ного круга . Тогда .

 

Рис. 7.4

 

 

Положение центра тяжести вычислим по формуле

 

Найденный центр тяжести лежит левее точки .