Скорость и ускорение точки при координатном

способе задания движения

 

Определение скорости точки

Определим модуль и направление скорости точки по уравнениям ее движения в декартовых координатах. Пусть заданы уравнения движения точки (рис. 8.11):

 

.

 

Обозначим орты осей координат . Проведем из начала координат О в движущуюся точку М радиус-вектор . Согласно рис. 6,

 

или .

 

Рис. 8.11

 

Скорость точки равна производной от радиуса-вектора по времени. Найдем эту производную, учитывая, что орты имеют неиз­менные модули и направления, т. е. постоянны и могут быть выне­сены за знак производной:

 

Построив прямоугольный параллелепипед, ребра которого парал­лельны осям координат, а диагональ совпадает со скоростью , полу­чим проекции скорости на оси координат равные алгеб­раическим величинам отрезков Мα, Мb, Мс.

Тогда разложение скорости на компоненты по осям координат примет вид

.

 

Сопоставляя обе формулы, определяющие скорость, находим:

 

.

 

Следовательно, проекции скорости точки на неподвижные оси де­картовых координат равны первым производным от соответствующих координат точки по времени.

Пользуясь принятым обозначением производных по времени, имеем:

 

.

 

Вычислив проекции скорости на оси декартовых координат, можно определить модуль и направление скорости точки по следующим формулам:

.

 

Движение точки в плоскости хОу (рис. 8.12) задается двумя урав­нениями движения:

.

Рис. 8.12

Модуль и направление скорости точки в этом случае определяются так

.

Прямолинейное движение точки задается одним уравнением (рис. 8.13)

.

Рис. 8.13

 

В этом случае модуль скорости точки равен абсолютной величине проекции скорости на ось х:

.

 

При точка движется по направлению оси х (рис. 8.13), при - противоположно направлению оси.

 

Определение ускорения точки

Определим модуль и направление ускорения точки по уравнениям ее движения в декартовых координатах.

Пусть заданы уравнения движения точки (рис. 8.14)

 

 

Рис. 8.14

 

Радиус-вектор движущейся точки М представим в виде

.

Так как ускорение точки равно второй производной от радиуса-вектора по времени, а векторы постоянны, то имеем

 

.

 

Разложим ускорение на составляющие по осям координат:

,

 

где - проекции ускорения на оси х, y,z.

Сопоставляя обе формулы, определяющие ускорение, получаем:

 

.

 

Так как первые производные от координат точки по времени равны проекциям скорости на соответствующие оси, т.е. то проекции ускорения точки можно представить в другом виде:

 

.

 

Таким образом, проекции ускорения точки на неподвижные оси декартовых координат равны вторым производным от соответствую­щих координат точки по времени или первым производным по времени от проекций скорости на соответствующие оси.

Вычислив проекции ускорения на координатные оси, можно опре­делить модуль и направление ускорения точки по следующим фор­мулам:

 

.

 

Движение точки в плос­кости хОу задается двумя уравнениями движения:

.

 

Модуль и направление ускорения точки в этом случае (рис. 8.15) опреде­ляются так:

 

.

 

Рис. 8.15 Рис. 8.16

 

Прямолинейное движение точки задается одним уравнением х . В этом случае модуль ускорения равен абсолютному значению его проекции на ось х, т. е.

 

.

 

Ускорение направлено в сторону оси х, если >0 (рис. 8.16), в противоположно оси х, если < 0.

Пример 1. Движение точки задано уравнениями: см; , см. Найти тра­екторию точки в координатной форме и за­дать движение точки в векторной форме (рис. 8.17).

Решение. Исключим время из уравнений движения. Для этого возведем обе части заданных уравнений в квадрат и сложим их:

 

Рис. 8.17

 

или

.

 

Траектория — окружность радиуса 4 см.

Для получения радиуса-вектора используем формулу (6):

 

.

Пример 2. Движение точки задано уравнениями см; см. Найти тра­екторию точки в координатной форме (рис. 8.18).

Решение. Преобразуем уравнения движения:

 

.

 

Рис. 8.18

 

Получим уравнение траектории х = -2 у (рис. 8.18). Установим границы траектории. Начало движения в точке :

 

при ,

при ,

при .

 

Ответ. Траекторией точки будет полупрямая, ограниченная точкой М (-2,1).

 

 

Пример 1. Автомобиль движется по плоской кривой по закону , где b и k – постоянные. Ускорение автомобиля во время движения составляет угол 60^о с касательной к траектории.

Найти скорость и ускорение автомобиля и радиус кривизны траектории.

Решение. Для нахождения скорости и касательного ускорения точки вычисляем первую и вторую производную от пути по времени:

 

, (1)

, (2)

. (3)

 

Зная скорость точки, можем получить выражение нормального ускорения точки:

. (4)

 

Для нахождения ρ воспользуемся постоянным углом между ускорением и его касательным ускорением:

 

. (5)

 

Подставив вместо и соответствующие им значения из выражений (3) и (4), получим

. (6)

Следовательно,

. (7)

Полное ускорение

. (8)

 

Перейдем к переменной s. Для этого уравнение (1) перепишем в следующем виде:

. (9)

 

Подставляя (9) в (2), (7) и (8), получаем

 

.

Пример 2. Точка М движется в плоскости хОу согласно уравне­ниям:

,

 

где х, у — в сантиметрах; t — в секундах.

Определить траекторию, скорость и ускорение точки, а также радиус кривизны траектории для момента времени .

 

 

Рис. 1.2.1

 

Решение. Для определения траектории точки исключим из урав­нений движения время: , тогда у = sin х. Траектория точки — синусоида (рис. 1.2.1).

Определим положение точки на траектории. Имеем при

 

 

— точка М на траектории.

Получим проекции скорости точки на оси координат, дифференцируя координаты по времени:

 

 

По найденным проекциям определим модуль скорости

 

 

Определим проекции ускорения точки на оси коорди­нат, дифференцируя проекции скорости:

 

Модуль ускорения точки

 

 

 

В соответствии с величинами проекций скорости и уско­рения изобразим их на рис. 1.2.1.

Поскольку точка описывает криволинейную траекто­рию, то ее ускорение можно представить в виде векторной суммы двух составляющих: , где — каса­тельное ускорение, — нормальное ускорение точки.

Вектор направлен по касательной, то есть по одной линии со скоростью; вектор направлен по главной нор­мали (перпендикулярно касательной) и всегда внутрь тра­ектории.

Модуль касательного ускорения равен

 

.

 

В данном случае направления векторов и противо­положны (рис. 1.2.1), поэтому движение точки замедленное.

Так как векторы и всегда взаимно перпендикуляр­ны, то модуль полного ускорения точки равен .

Отсюда находим модуль нормального ускорения

 

 

Радиус кривизны траектории определяем из формулы для нормального ускорения , а именно:

.

 

 

Пример 3. Точка М движется на плоскости по окружности ради­уса R = 10 см согласно уравнению

.

 

Найти положение точки на траектории, а также скорость и ускорение точки в момент времени t = 7 с.

Рис. 1.2.2

 

Решение. При задании движения точки естествен­ным способом должны быть известны ее траектория, нача­ло отсчета, положительное направление дуговой координа­ты, а также уравнение движения точки по траектории s (t).

Выберем в качестве начала от­счета верхнюю точку окружности и положительное направление — по часовой стрелке.

При t = 7 с положение точки М на траектории (рис. 1.2.2) определяется величиной дуговой координаты

 

 

что соответствует углу

При естественном способе задания движения точки ее скорость определяется выражением , где — про­екция скорости на касательную, которая равна производ­ной по времени от дуговой координаты

При t = 7 с получаем см/с, и модуль скоро­сти равен v = 7,12 см/с.

Знак «минус» у величины означает, что точка дви­жется в сторону убывания дуговой координаты s (t), то есть в сторону ее отрицательных значений.

Ускорение точки является векторной суммой двух его составляющих: где — касательное ускоре­ние, — нормальное ускорение.

Направление вектора определяется знаком величи­ны , вектор всегда направлен перпендикулярно ка­сательной внутрь траектории. Проекция ускорения точки на касательную равна

 

.

 

При t = 7 с получаем = 2,15 см / с ².

Знаки и различны, поэтому движение точки по траектории в данный момент времени является замед­ленным.

Модуль нормального ускорения равен

 

.

 

Модуль полного ускорения точки:

 

.

 

Векторы показаны на рис. 1.2.2.

 

 

Пример 1. Точка М движется по своей траектории согласно уравнениям

х = t ² см; у = sin πt см. (6.4)

 

Определить траекторию точки М, ее скорость и ускорение в мо­мент времени t ₁ = 1,5 с. Определить тангенциальное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.

Решение. Для определения траектории точки М исключим из уравнений движения (6.4) время, после чего получим уравнение тра­ектории в виде

 

 

Определяем положение точки М в момент времени t ₁ (рис. 6.3)

 

 

Для определения скорости точки М вычисляем первые производные от координат по времени, равные проекциям скорости точки на со­ответствующие оси координат:

.

 

Модуль скорости определяем по формуле

 

.

 

Вычисляем проекции вектора скорости точки на оси координат и её модуль в момент времени t ₁

 

 

Направление вектора скорости определяем при помощи направ­ляющих косинусов

 

В момент времени t ₁ направляющие косинусы вектора скорости

 

 

т.е. вектор скорости точки направлен параллельно оси Ох.

Для определения ускорения точки М вычисляем первые произ­водные от проекций скорости или вторые производные от координат по времени, равные проекциям ускорения точки на соответствую­щие оси координат:

 

.

 

Модуль ускорения определяем по формуле

 

 

Проводим вычисления для момента времени t ₁

 

 

Направление вектора ускорения определяем при помощи на­правляющих косинусов

 

В момент времени t ₁ направляющие косинусы вектора ускорения

 

 

Для определения тангенциального ускорения точки М учтем, что его можно определить как проекцию вектора полного ускорения на направление касательной к траектории

 

.

 

В момент времени t ₁

м / с ².

 

Для определения нормальной составляющей вектора полного ускорения воспользуемся формулой

м / с ².

 

В данной задаче вектор тангенциального ускорения совпадает с проекцией вектора полного ускорения на ось Ох, а вектор нормаль­ного ускорения - с проекцией ускорения на ось Оу.

Радиус кривизны траектории определяем, используя формулу для вычисления нормального ускорения

.

В момент времени t ₁

м.

 

Изображаем все найденные величины на рис. 6.3.

 

Рис. 6.3

 

Пример 2. Колесо радиуса r = 1 м катится без проскальзывания по горизонтальной направляющей, оставаясь в вертикальной плос­кости. Центр колеса движется с постоянной скоростью v ₀ = 1 м/c. Составить уравнения движения точки М обода колеса, если в начальный момент времени точка находилась на оси Оу выше центра колеса. Определить тангенциальную и нормальную составляющие ускорения точки М, а также радиус кривизны траектории точки М в момент времени t ₁= π /2 с.

 

Рис. 6.4

 

Решение. Положение точки М определяется радиус-вектором ОМ, для которого можно записать следующее соотношение (рис. 6.4):

 

.

 

Для составления уравнений движения точки М найдем проекции вектора на оси декартовой системы координат xOy

 

Поскольку центр колеса движется с постоянной скоростью по горизонтальной плоскости, то закон его движения можно записать в виде

 

 

Кроме того, учтем, что при качении колеса по горизонтальной плоскости без проскальзывания выполняется условие

.

 

Отсюда находим

Производные

(6.5)

 

Есть угловая скорость колеса. Тогда закон движения точки М обода колеса запишем в виде

 

Для определения ускорения точки М вычисляем первые произ­водные от координат по времени, равные проекциям ускорения точки на соответствую­щие оси координат:

 

Модуль скорости определим по формуле

 

После преобразований получим

 

 

Далее представим эту формулу следующим образом

 

. (6.6)

 

Из формулы (6.6) следует правило: скорость любой точки колеса равна его угловой скорости, умноженной на расстояние от этой точки дл точки касания.

В соответствии с этим скорость всех точек колеса распределяется так, как это показано на рис. 6.5.

Рис. 6.5

 

Из этого следует еще одно правили: скорость любой точки перпендикулярна отрезку прямой, соединяющей эту точку с точкой касания.

Очевидно, что скорость точки Р при этом равна нулю.

Вычислим значение вектора скорости точки М (рис. 6.4) в момент времени t ₁

 

Для определения ускорения точки М вычисляем первые произ­водные от проекций скорости или вторые производные от координат по времени, равные проекциям ускорения точки на соответствую­щие оси координат:

 

.

 

Модуль ускорения определяем по формуле

 

. (6.7)

 

Рис. 6.6

 

Из формулы (6.7) следует, что величина ускорения точки зависит только от скорости центра колеса и расстояния точки от центра. Все точки, находящиеся на одинаковом расстоянии от центра, имеют оди­наковые по величине ускорения. Для всех точек на окружности колеса

 

а = 1 м / с ².

 

Находим направление ускорения произвольной точки колеса. Ко­синус угла между ускорением и осью х найдем по известной формуле

 

 

Из этой формулы следует, что ускорение любой его точки на­правлено к центру.

Найдем касательное и нормальное ускорение точки М. Каса­тельное ускорение

(6.8)

 

В момент времени t ₁

.

 

Для определения нормальной составляющей вектора полного ускорения воспользуемся соотношением

что приводит к результату

. (6.9)

В момент времени t ₁:

.

 

Радиус кривизны траектории определяем, используя формулу

 

. (6.10)

В момент времени t ₁

м.

 

Таким образом, приходим к следующему выводу.

Радиус кривизны любой точки на окружности колеса равен его удвоенному расстоянию до точки касания.

Далее, представляет интерес определить касательное и нор­мальное ускорения и радиус кривизны точки Р (рис. 6.7). На основа­нии соотношений (6.8)—(6.10) и с учетом того, что для точки Р угол φ =180°, находим, что для этой точки равны нулю скорость, нор­мальное ускорение и радиус кривизны траектории. Следовательно, ускорение точки касания колеса с плоскостью направлено по каса­тельной к траектории. В последующих разделах данного курса будет показано, что указанное направление ускорения точки касания не зависит от углового ускорения колеса.

Рис. 6.7

 

Пример 3. Кривошип ОА кривошипно-шатунного механизма вращается с постоянной угловой скоростью ω.

Определить закон движения, траекторию, а также скорость и ускорение точки М в момент времени t ₁ = 0,25 с, если ОА = АВ = 15 см, AM = 5 см, ω = π рад/с. Кроме того, необходимо определить радиус кривизны траектории, тангенциальное и нормальное ускоре­ния точки.

Решение. Для определения закона движения точки М запишем кинематическое соотношение, определяющее положение данной точки в произвольный момент времени

,

 

которое в проекциях на оси декартовой системы координат примет вид

 

. (6.11)

 

Рис. 6.8

Так как треугольник ОАВ - равнобедренный, то соотношения можно записать в виде

 

 

Таким образом, точка М движется по своей траектории согласно уравнениям

(6.12)

 

Для определения траектории точки М уравнения (6.12) предста­вим в виде

 

 

Отсюда получаем уравнение траектории

 

(6.13)

 

Это есть уравнение эллипса с полуосями d и b.

Определяем положение точки М в момент времени t ₁

 

Для определения скорости точки М вычисляем первые произ­водные от координат по времени, равные проекциям скорости точки на соответствующие оси координат:

v. (6.14)

 

Модуль скорости определяем по формуле

 

.

 

Вычисляем проекции вектора скорости и модуль скорости точки в момент времени t ₁

 

Для определения ускорения точки М вычисляем первые произ­водные от проекций скорости или вторые производные от координат по времени, равные проекциям ускорения точки на соответствую­щие оси координат:

 

.

 

Модуль ускорения определяем по формуле

 

.

 

Рис. 6.9

 

Вычисляем значения вектора ускорения точки в момент времени t ₁

 

 

Для определения направления ускорения приведем соотноше­ния к виду

 

.

 

Отсюда следует, что вектор ускорения направлен в сторону, противоположную направлению радиуса-вектора точки М.

Тангенциальное ускорение точки определим как производ­ную от модуля скорости по времени

 

 

В момент времени t ₁

 

.

 

Для определения нормальной составляющей вектора полного ускорения воспользуемся соотношением

 

 

В момент времени t ₁

 

 

Радиус кривизны траектории определяем, используя формулу для вычисления нормального ускорения

 

 

В момент времени t ₁

 

.

 

Отображаем все найденные величины на рис. 6.9.

 

Пример 4. Кривошип ОА кривошипно-кулисного механизма вращается с постоянной угловой скоростью . Определить угловую скорость и угловое ускорение кулисы BD, если ω ₀ = π с ^–1, ОА = b, ОВ = 2 b, b =10 см.

 

Рис. 6.10

 

Решение. Для определения угловой скорости и углового уско­рения качающейся кулисы найдем закон ее движения, для чего за­пишем уравнение кинематических связей , которое в проекциях на координатные оси имеет вид:

. (6.14)

 

Разделив второе уравнение системы на первое, получим

 

 

Тогда закон движения кулисы можно записать в виде

 

Для нахождения угловой скорости кулисы в произвольный мо­мент времени найдем производную по времени от закона движения

 

 

Для нахождения углового ускорения кулисы в произвольный момент времени найдем производную по времени от закона измене­ния угловой скорости

 

Графики изменения угла поворота ψ (t) угловой скорости ω (t) и углового ускорения ε (t) кулисы изображены на рис. 6.11

.

Рис. 6.11

 

 

Лекция 9