Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Топ:
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Интересное:
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Дисциплины:
2017-12-21 | 706 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
СПОСОБе ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ
Определение скорости точки
Скорость — это векторная величина, характеризующая быстроту и направление движения точки в данной системеотсчета.
При векторном способе задания движения положение движущейся точки в каждый момент времени определяется радиусом-вектором , который является функцией времени . Пусть в момент времени t точка занимает положение М, определяемое радиусом-вектором , а в момент - положение M 1, определяемое радиусом-вектором (рис. 8.6). Из треугольника ОММ1,
.
Рис. 8.6 Рис. 8.7
При перемещении точки ее радиуc-вектор получает приращение:
.
Из двух последних равенств следует, что вектор перемещения точки является приращением радиуса-вектора точки за промежуток времени t.
Отношение вектора перемещения к промежутку времени t,втечение которого произошло это перемещение, представляет собой вектор средней скорости воображаемого движения точки по хорде ММ 1:
.
Направление вектора совпадает с направлением Δ . При уменьшении промежутка времени Δ t и приближении его к нулю вектор Δ также стремится к нулю, а вектор - к некоторому пределу. Этот предел является вектором скорости точки в момент t:
.
Так как Δ t - приращение скалярного аргумента t, а Δ - приращение вектора-функции , то предел отношения при является векторной производной от по t:
Отсюда
Таким образом, вектор скорости точки в данный момент равен производной от радиуса-вектора точки по времени.
Вектор направлен по хорде MM 1 в сторону движения точки. Когда Δ t стремится к нулю, точка M 1 стремится к точке М, т. е. предельным положением секущей MM 1 является касательная.
|
Из этого следует, что вектор скорости точки направлен по касательной к траектории в сторону движения точки.
При движении точки по криволинейной траектории направление вектора скорости непрерывно изменяется (рис. 8.8).
Рис. 8.8
Скорость точки при неравномерном криволинейном движении изменяется как по модулю, так и по направлению.
Отметим ряд положений движущейся точки на траектории M 1, M 2, M 3, М 4 и покажем в этих положениях скорости точки (рис. 8.8,а).
Выбрав в пространстве некоторую неподвижную точку О 1, отложим от этой точки векторы, геометрически равные скоростям (рис. 8.8,б). Если от точки О 1 отложить скорости, соответствующие всем положениям точки М на кривой АВ, и соединить концы этих векторов, то получится линия CD, являющаяся годографом скорости.
Таким образом, годограф скорости представляет собой геометрическое место концов векторов скорости движущейся точки, отложенных от одной и той же произвольной точки пространства.
Изобразим на рис. 8.9, а траекторию точки АВ и ее скорость в произвольный момент времени t, а на рис. 8.9, б - годограф скорости CD этой точки.
Проведем через точку О 1 оси координат X, Y,Z, параллельные основным осям х,y,z. Тогда радиусом-вектором любой точки N годографа скорости CD будет скорость , а координаты точек годографа X, У, Z будут равны проекциям скорости на оси координат:
Рис. 8.9
.
Эти уравнения являются параметрическими уравнениями годографа скорости.
Определение ускорения точки
При неравномерном криволинейном движении точки изменяются модуль и направление ее скорости. Ускорение точки характеризует быстроту изменения модуля и направления скорости точки.
Допустим, что в момент времени t точка занимает положение М и имеет скорость , а в момент времени она занимает положение M 1 и имеет скорость (рис. 8.10, а).
Рис. 8.10
Найдем приращение вектора скорости за промежуток времени Δ t. Для этого отложим от точки М скорость и построим при этой точке параллелограмм, одной из сторон которого будет скорость , а диагональю - скорость .
|
Тогда вторая сторона параллелограмма будет приращением вектора скорости , так как
.
Разделив приращение вектора скорости на промежуток времени Δ t, получим вектор среднего ускорения точки за этот промежуток:
.
Этот вектор имеет направление и, следовательно, направлен в cторону вогнутости кривой. Построив годограф скорости CD (рис. 13,б), отложим там же скорости v и v 1, приращение вектора скорости , а также вектор среднего ускорения , направленный по хорде NN1 годографа скорости. Предел, к которому стремится вектор среднего ускорения , когда Δ t стремится к нулю, является вектором ускорения точки α в данный момент времени t:
.
Учитывая, что скорость является вектор - функцией от времени, т. е. и что
.
Следовательно, вектор ускорения точки равен первой производной от скорости или второй производной от радиуса-вектора точки по времени.
Установим направление вектора ускорения. Вектор среднего ускорения направлен по хорде NN 1 годографа скорости. Когда Δ t стремятся к нулю, точка N 1 стремится к точке N и секущая NN 1 в пределе превращается в касательную к годографу скорости. Из этого следует, что вектор ускорения точки имеет направление касательной к годографу скорости.
Выясним расположение вектора ускорения точки по отношению к ее траектории, если траектория не является плоской кривой. Вектор находится в плоскости, проходящей через касательную к траектории точке М и прямую, параллельную касательной в точке М 1 (рис. 10,а). Предельное положение этой плоскости при стремлении точки M 1 к точке М называется соприкасающейся плоскостью.
Из этого следует, что вектор ускорения точки расположен в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости кривой.
Если кривая плоская, то соприкасающейся плоскостью является плоскость кривой и вектор ускорения лежит в этой плоскости.
|
|
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!