Среднее квадратическое отклонение (стандарт)

Определение. Средним квадратическим отклонением (с.к.о.) случайной величины Х называется квадратный корень из её дисперсии:

. (12.6.1)

Среднее квадратическое отклонение имеет тот же смысл, что и дисперсия, т.е. является характеристикой рассеяния возможных значений случайной величины вокруг её математического ожидания. Вторая характеристика того же признака введена потому, что в отличие от дисперсии среднее квадратическое отклонение имеет ту же размерность, что и значения случайной величины. Например, если x_i и МХ измеряются в метрах, то DX будет измеряться в квадратных метрах, что неудобно, а среднее квадратическое отклонение – соответственно снова в метрах.

 

Числовые характеристики основных дискретных распределений

Индикатор события

Найдём для характеристической случайной величины (8.2.1) её математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Очевидно, что величина имеет такой же закон распределения, что и :

c k     pk q p

pk q p

Тогда

(12.7.1)

 

Биномиальное распределение

Пусть случайная величина Х принимает значения k =0,1,2,…, п и распределена по биномиальному закону:

Р (Х=k)= (12.7.2)

Величину Х можно рассматривать как сумму независимых случайных величин

, (12.7.3)

где слагаемыми являются характеристические случайные величины. Действительно, рассмотрим индикаторы каждого из п испытаний

c1

c2

ck

cn

p

q

р

p

q

р

p

q

р

p

q

р

 

и составим ряд распределения случайной величины (12.7.3), которая по определению суммы случайных величин принимает возможные значения, равные всевозможным суммам, составленным из п нулей и единиц. Таких сумм будет , где k - число единиц в сумме. Вероятности принятия этих значений получим, перемножив вероятности р и q в нужных количествах.

 

Х=	0+0+…++0=0 (1 комбинация)	0+0+…+ +0+1=1 ( комбинаций)	0+0+…+0+ +1+1=2 ( комбинаций)	0+0+…+ +1+1+…1= k ( комбинаций)	… …	0+1+1+…+1= n- 1 ( комбинаций)	1+1+…+ +1= n (1 комбинация)
p	qn				……	n

 

Получили биномиальное распределение случайной величины (12.7.3). Для нахождения её числовых характеристик воспользуемся свойствами линейности математического ожидания и дисперсии относительно суммирования и формулами (10.12.1):

(12.7.4)

Теперь становится понятным смысл случайной величины в приближённых формулах Лапласа (7.2.2, 7.2.4). А именно, Х представляет собой отклонение числа появлений события А от его математического ожидания (среднего значения), измеренное в стандартах, или так называемое нормированное отклонение.

Пример. Стрелок делает 2 выстрела в цель. Вероятность попадания при одном выстреле равна р, промаха – q. Тогда числа попаданий при первом и втором выстрелах имеют распределение

c1				c2
p	q	р	p	q	р

Сумма имеет распределение

		0+1=1
p	q 2	2 рq	p 2

При трёх выстрелах имеем распределение:

p	q 3	3 рq 2	3 pq 2	p 3

 

Это частные случаи биномиального распределения при п =2 и 3.

Распределение Пуассона

Если случайная величина имеет распределение Пуассона (8.4.1), то она принимает значения k =0,1,2,… с вероятностями

(12.7.5)

В данном случае возможные значения случайной величины определяются бесконечной числовой последовательностью, и, следовательно, математическое ожидание выражается суммой бесконечного ряда

По сокращённой формуле (12.4.1) найдём дисперсию:

.

Здесь мы воспользовались тем, что выражение есть разложение экспоненты е^l в ряд Маклорена. Таким образом, если случайная величина имеет распределение Пуассона, то и математическое ожидание, и дисперсия равны параметру l =пр, т.е. среднему числу появлений события А.