История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Топ:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Интересное:
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Дисциплины:
2017-12-13 | 300 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
1. для любого х Î(-¥; +¥).
Доказательство. По определению По свойству 2 функции распределения F (x)неубывающая
2. Вероятность попадания возможного значения случайной величины Х в заданный промежуток
Р (a£ X<b) = . (10.1.2)
Замечание. Из свойства 7 функции распределения (формула (9.2.8)) следует, что для непрерывной случайной величины Х вероятность попадания в произвольный интервал (угловые скобки означают, что концы интервала могут входить или не входить в интервал) находится из соотношения
.
3. (10.1.4)
Доказательство. Положим в равенстве (10.1.2) a=- ¥, b=+ ¥. Тогда
С другой стороны, -¥< C <+¥ есть достоверное событие, следовательно
Р (-¥< C <+¥)=1.
Сравнивая правые части этих равенств, получим (10.1.4).
Рис. 10.1.2 Рис. 10.1.3 |
Геометрически равенство (10.1.4) означает, что площадь всего подграфика от -¥ до +¥ равна 1 (рис. 10.1.2).
Замечание. Равенство (10.1.4) является необходимым и достаточным условием того, чтобы неотрицательная функция f (x) являлась плотностью распределения некоторой непрерывной случайной величины.
Следствие. Если плотность сосредоточена на промежутке , т.е. вне промежутка f (x) = 0 (рис. 10.1.3), то
(10.1.5)
В данном случае площадь подграфика от а до b равна 1.
Вероятностный смысл плотности распределения.
Физический аналог плотности
Найдём вероятность попадания возможного значения непрерывной случайной величины в малый интервал D х=х-х 0. По формуле (9.2.7) (свойство 5 функции распределения)
(10.2.1)
Разделим обе части этого равенства на D х:
Левая часть этой формулы представляет собой долю вероятности , соответствующую единице измерения длины отрезка D х, т.е. плотность этой вероятности на D х, или «удельную», «погонную» вероятность.
|
С другой стороны, из курса дифференциального исчисления известно, что
А это по определению и есть плотность вероятности (в точке ).
Таким образом, плотность можно интерпретировать как вероятность попадания возможного значения случайной величины в бесконечно малый промежуток, делённую на длину этого промежутка.
Проведём более строгие рассуждения. Рассмотрим равенство (10.2.1). По теореме Лагранжа
,
где .
При достаточно малом D х ,
.
Запишем этот результат для любой точки х, учитывая, что D х = dx:
.
Таким образом, для элементарных отрезков длиной dx произведение f (x) dx - это вероятность попадания случайной величины на отрезок dx. Эта вероятность равна площади полоски шириной dx и высотой f (x)(рис. 10.2.6), Рис. 10.2.6
а точнее, .
Если проинтегрируем эту полоску по любому промежутку , то получим вероятность попадания в этот промежуток (свойство 2 плотности). При интегрировании по всей числовой оси получим единицу (свойство 3).
Замечание. Во всех расчётах с непрерывными случайными величинами дифференциал вероятности f (x) dx, равный играет ту же роль, какую играют вероятности pi при расчётах с дискретными случайными величинами. Чтобы от формулы для дискретных величин перейти к формуле для непрерывных величин, во многих формулах достаточно будет заменить pi на f (x) dx и сумму – соответствующим интегралом.
Физическая аналогия плотности распределения – линейная плотность распределения вещества по линии. Известно, что размерность линейной плотности равна кг/м. Пусть имеется бесконечная прямая или отрезок прямой, масса которого равна единице. Из физики известно, что в каждой точке этой прямой плотность вещества определяется следующим образом:
Масса отрезка длиной равна
.
Просматривается аналогия между массой и функцией распределения вероятности, между линейной плотностью вещества и плотностью вероятности.
|
|
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!