Показательное (экспоненциальное) распределение

Определение. Показательным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, которое описывается плотностью

(13.2.1)

где l- постоянная положительная величина. График плотности изображён на рис. 13.2.1.

Показательное распределение определяется однимпараметром l. Найдём функцию распределения показательного закона:

(13.2.2)

Поскольку , где , .

График функции распределения показательного закона приведён на рис. 13.2.2.

 

Рис.13.2.1 Рис.13.2.2

Вероятность попадания непрерывной случайной величины Х в интервал (a, b) равна

(13.2.3)

Найдем числовые характеристики показательного распределения. Для этого, пользуясь правилом Лопиталя, вычислим следующие вспомогательные величины:

1) ;

2) ;

3) .

Тогда

. (11.2.4)

.

(13.2.5)

Таким образом, математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение показательного распределения равны между собой.

Замечание 1. Пусть на практике изучается показательно распределённая случайная величина, причем параметр l неизвестен. Если математическое ожидание также неизвестно, то находят его оценку (приближённое значение), в качестве которой принимают выборочную среднюю . Тогда приближённое значение параметра l находят с помощью равенства

(13.2.6)

Замечание 2. Пусть имеются основания предположить, что изучаемая на практике случайная величина имеет показательное распределение. Для того чтобы проверить эту гипотезу, находят оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения (т.е. находят выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение). Эти оценки должны отличаться незначительно, т.к. математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение показательного распределения равны между собой. Если оценки окажутся близкими одна к другой, то данные наблюдений подтверждают гипотезу о показательном распределении изучаемой величины. Если же оценки различаются существенно, то гипотезу следует отвергнуть.

Функция надёжности

С возрастанием аргумента плотность показательного распределения убывает. Пусть аргументом является время t, а f (t) – это вероятность безотказной работы какого-нибудь устройства: со временем эта вероятность в результате износа устройства постепенно убывает.

Найдём вероятность того, что безотказная работа устройства продолжается в течение периода времени от 0 до t, т.е. отказ наступил до момента времени t. Тогда возможные значения случайной величины находятся в промежутке (0, t). По формуле (13.2.3)

.

Рассмотрим противоположное событие , т.е. устройство проработало более t часов. Поскольку

то

. (13.2.7)

Формула (13.2.7) выражает вероятность того, что отказ до момента t не наступит (значения случайной величины принадлежат промежутку ), поэтому логично левую часть этого равенства называть функцией надёжности (рис.13.2.3):

(13.2.8)

 

 

Чем больше значениеl, тем быстрее экспонента стремится к нулю (рис.13.2.4), т.е. тем надёжности меньше. Поэтому l называется интенсивностью отказов. Это число отказов в единицу времени.

 

Пример 1. Время безотказной работы элемента электрической цепи распределено по показательному закону

.

Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно 100 часов (не менее 100 часов).

Интенсивность отказов l=0,02. По (13.2.8):

Пример 2. По данным страховых агентств некоторого государства вероятность того, что гражданин этой страны доживёт до 70 лет, равна 0,87. Какова вероятность того, что взятый наугад новорождённый этой страны доживёт до 22 лет?

Решение. Здесь параметр λ неизвестен. Найдём его.

Показательный закон надёжности обладает характеристическим свойством, иногда называемым отсутствием памяти. Вероятность безотказной работы элемента на интервале времени длительностью t не зависит от времени предшествующей работы до начала рассматриваемого интервала, а зависит только от длительности времени t (при заданной интенсивности отказов l). Иными словами, если промежуток времени Т, распределённый по показательному закону, уже длится некоторое время t, то это никак не влияет на закон распределения оставшейся части Т ₁= Т–t промежутка, т. е. закон распределения Т₁ остаётся таким же, как и всего промежутка Т. Это свойство показательного распределения широко используется в марковских случайных процессах. Этим свойством обладает только показательное распределение. Если на практике случайная величина обладает этим свойством, то она распределена по показательному закону.

Пример 3. При допущении, что метеориты распределены равномерно в пространстве и во времени, вероятность попадания метеорита в космический корабль не зависит от того, попадали или не попадали метеориты в корабль до начала рассматриваемого интервала времени, следовательно, случайные моменты времени попадания метеоритов в космический корабль распределены по показательному закону.

Пример 4. Пусть автобусы приходят на остановку случайно, но с некоторой фиксированной средней интенсивностью. Тогда количество времени, уже затраченное пассажиром на ожидание автобуса, не влияет на время, которое ему ещё придётся прождать.