Произведение случайных величин

Определение. Произведением случайных величин Х и Y называется случайная величина XY, возможные значения которой равны произведениям каждого возможного значения Х на каждое возможное значение Y;а вероятности возможных значений произведения XY равны произведениям вероятностей одного сомножителя на условную вероятность другого:

(11.4.4)

Если величины Х и Y независимы, то равенство (10.4.1) примет вид:

(11.4.5)

Например, если независимые случайные величины Х и Y заданы рядами распределения:

Х	х 1	(11.4.6) (10.4.3) х 2
р	р 1	р2

 

Y	у 1	у 2
g	g 1	g2

(11.4.7)

 

то их произведение будет иметь такой ряд:

 

ХY	х 1 у 1	х 1 у 2	x 2 у 1	(11.4.8) (10.4.7) х2у 2
s

Некоторые произведения могут оказаться равными между собой. В этом случае одинаковые возможные значения произведения записываются в таблицу один раз, а их вероятности складываются.

Например, если х ₁ у ₂= x ₂ у ₁, то таблица (11.4.8) тождественна таблице

ХY	х 1 у 1	х 1 у 2	(11.4.9) (10.4.8) х2у 2
s

 

Пример 1 (первый пример с двумя монетами).

Бросаются две монеты. На одной стороне каждой монеты наклеена цифра 1, на другой стороне - цифра 2. Найти ряд распределения произведения случайных величин Х и где Х – число очков, выпавшее на первой монете, Y - число очков, выпавшее на второй монете. Найти математическое ожидание случайных величин X, Y и XY.

Решение. Ряды распределения случайных величин X и Y имеют вид:

Х				Y
р	1/2	1/2		g	1/2	1/2

 

MX = MY =1×1/2+2×1/2=3/2.

Ряд распределения произведения:

XY
s	1/4	1/4+1/4=1/2	1/4

 

Математическое ожидание произведения

M (XY) = 1×1/4+2×1/2+4×1/4=1/4+1+1=9/4.

Т.е. в среднем произведение числа очков, выпавших на двух монетах, будет равно .

Теорема 1. Произведение случайной величины Х, распределённой по закону (*), на постоянную случайную величину С, имеет ряд распределения:

СХ	Сх 1	Сх 2	…………	(**) Схn
s	p 1	p 2	…………	pn

То есть при умножении каждого возможного значения на одно и то же число вероятности остаются прежними.

 

Теорема 2. Если случайная величина Х распределена по закону (*), то величина Х ² имеет ряд распределения

Х2	(х 1)2	(х 2)2	…………	(***) (хn)2
p	p 1	p 2	…………	pn

То есть возведение возможного значения в квадрат не изменяет вероятностей.

Пример 3. Случайная величина Х имеет закон распределения, заданный таблицей 1. Найти распределение величины Х ². Согласно теореме 2, распределение Х ² задается таблицей 2. Заметим, что в таблице 2 случайная величина принимает одинаковые значения, равные 25, поэтому таблицу 2 можно переписать в виде 3, т.к. для одинаковых возможных значений вероятности складываются. Как видим, получилась постоянная случайная величина.

	1. Х -5   2. Х 2     3. Х 2   р 0,3 0,7 р 0,3 0,7 р

 

 

Замечание. Аналогично двум случайным величинам определяется произведение любого количества случайных величин.

Сумма случайных величин

Определение. Суммой двух дискретных случайных величин Х и Y называется случайная величина X+Y, возможные значения которой равны суммам каждого возможного значения Х с каждым возможным значением Y; а вероятности возможных значений суммы X+Y равны произведениям вероятностей возможных значений слагаемых, для зависимых величин - произведениям вероятности одного слагаемого на условную вероятность другого, т.е.

(11.4.11)

Если величины Х и Y независимы, то условные вероятности становятся безусловными. В этом случае равенство (11.4.4) примет вид:

(11.4.12)

Таким образом, вероятности суммы задаются так же, как вероятности произведения случайных величин.

Например, если вероятность возможного значения х ₁ равна р ₁, а вероятность возможного значения у ₁ равна g ₁, то вероятность возможного значения х ₁ +у ₁ равна Чтобы составить сумму , должны произойти события и , поэтому вероятности перемножаются.

Например, если независимые случайные величины Х и Y заданы рядами распределения:

Х	х 1	(11.4.13) х 2
р	р 1	р2

 

Y	у 1	у 2
g	g 1	g2

(11.4.14)

 

то их произведение будет иметь такой ряд:

Х+Y	х 1+ у 1	х 1+ у 2	x 2+ у 1	(11.4.15) (10.4.7) х2+у 2
h

 

Некоторые суммы могут оказаться равными между собой. В этом случае вероятность возможного значения суммы равна сумме соответствующих вероятностей. Например, если , то вероятность (или, что то же, ) равна

Замечание. Аналогично определяется сумма более двух случайных величин.

Пример (второй пример с двумя монетами).

Бросаются две монеты. На одной стороне каждой монеты наклеена цифра 1, на другой стороне - цифра 2. Найти ряд распределения суммы случайных величин Х и где Х – число очков, выпавшее на первой монете, Y - число очков, выпавшее на второй монете. Найти математическое ожидание случайных величин X, Y и X+Y.

Решение. Ряды распределения случайных величин X и Y имеют вид:

Х				Y
р	1/2	1/2		g	1/2	1/2

 

MX = MY =1×1/2+2×1/2=3/2.

Ряд распределения суммы:

 

X+Y
h	1/4	1/4+1/4=1/2	1/4

 

Математическое ожидание суммы

M (X+Y) = 2×1/4+3×1/2+4×1/4=1/2+3/2+1=3.

Т.е. в среднем число очков, выпавших на двух монетах, будет равно 3.

Теорема 3. Если случайная величина Х распределена по закону (*), то случайная величина Х+С, где С – постоянная величина, имеет распределение:

Х+С	х 1 +С	х 2 +С	………	хn+С
p	p 1	p 2	………	pn

т.е. прибавление постоянной случайной величины не изменяет вероятностей.

Разность случайных величин

Разность случайных величин определяется аналогично сумме. Приведём соответствующую таблицу для величин, имеющих ряды распределения (11.4.15):

Х-Y	х 1- у 1	х 1- у 2	x 2- у 1	(11.4.16) (10.4.7) х2-у 2
h

Пример (третий пример с двумя монетами).

Бросаются две монеты. На одной стороне каждой монеты наклеена цифра 1, на другой стороне - цифра 2. Найти ряд распределения разности случайных величин Х и где Х – число очков, выпавшее на первой монете, Y - число очков, выпавшее на второй монете. Найти математическое ожидание случайных величин X, Y и X–Y.

Решение. Ряд распределения разности:

X–Y	-1
h	1/4	1/4+1/4	1/4

 

Математическое ожидание разности

M (X–Y) = – 1×1/4+0×1/2+1×1/4=0.