История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Топ:
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Интересное:
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Дисциплины:
2017-12-12 | 334 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
5. Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а; b], то существует точка с Î [a.;b] такая, что
6. Если функция f(x) сохраняет знак на отрезке [а; b], где а <b, то интеграл имеет тот же знак, что и функция. Так, если на отрезке [а; b], то .
7. Неравенство между непрерывными функциями на отрезке [а;b],(а < b) можно интегрировать. Отметим, что дифференцировать неравенства нельзя.
8. Оценка интеграла. Если m и M — соответственно наименьшее и наибольшее значения функции у = f(x) на отрезке [а;b], (а < b), то
.
9. Модуль определенного интеграла не превосходит интеграла от модуля подынтегральной функции:
где a<b.
10. Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b]. Рассмотрим интеграл . Значение интеграла зависит от обоих пределов интегрирования a и b.
Теорема. Производная от интеграла по верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена этим пределом, то есть
. Данная теорема означает, что функция является первообразной для . Из этой теоремы следует, что всякая непрерывная функция имеет первообразные, одной из которых является интеграл .
Формула Ньютона – Лейбница.
Простым и удобным методом вычисления определенного интеграла от непрерывной функции является формула Ньютона-Лейбница:
.
Применяется этот метод во всех случаях, когда может быть найдена первообразная функции F(x) для подынтегральной функции .
Методы вычислений определенного интеграла: непосредственное интегрирование; интегрирование подстановкой; интегрирование по частям.
Интегрирование по частям
Теорема. Если функции и имеют непрерывные производные на отрезке , то имеет место формула
|
(5.3.1) |
Формула (2) называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла
Интегрирование методом подстановки
Пусть для вычисления интеграла от непрерывной функции f(x) сделана подстановка .
Теорема. Если:
1. Функция и ее производная непрерывны при
2. Множеством значений функции при является отрезок
3. и ,
то
. | (2.5.1) |
Формула (5.2.1) называется формулой замены переменной в определенном интеграле.
Отметим, что: 1. При вычислении определенного интеграла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется; 2. Часто вместо подстановки применяют подстановку t = g(x);
Непосредственное интегрирование представляет собой метод, основанный на свойствах интеграла.
Приложение определенного интеграла: формулы площадей плоских фигур, длины кривой, объема ткл вращения.
Площади фигур в декартовой системе координат
Площадь фигуры, ограниченной кривыми и , прямыми х = а и х = b (при ) можно найти по формуле .
Если плоская фигура имеет «сложную» форму, то прямыми, параллельными оси Оу, ее следует разбить на части так, чтобы можно было бы применить уже известные формулы.
Если криволинейная трапеция ограничена прямыми у = с и у = d, осью Оу и непрерывной кривой , то ее площадь находится по формуле .
|
|
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!