Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Топ:
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Интересное:
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Дисциплины:
2017-12-12 | 994 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной: .
Дифференциал функции имеет простой геометрический смысл: значение дифференциала функции, при данном значении аргумента и данном приращении , равно приращению ординаты касательной,, проведенной в точке с абсциссой графика этой функции, при переходе от точки касания (с абсциссой ) к соседней точке касательной с абсциссой .
В самом деле, соответствующее приращение ординаты касательной на рис. 4.5 изображается катетом KN треугольника MKN, в котором вторым катетом служит отрезок МК= , а острый угол при вершине М равен , причем Но тогда KN = МК что и требовалось доказать.
Отметим одно характерное свойство дифференциала функции: дифференциал сложной функции, т. е. функции, зависящей от аргумента через промежуточный аргумент , все же равен, как и в случае простой функции (см. 4.64*), произведению производной от этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого аргумента. Таким образом, если , где , то (4.67) В самом деле, по правилу дифференцирования сложной функции имеем Отсюда, умножая на , находим Но и, следовательно, , что и требовалось доказать. Это свойство дифференциала называют свойством инвариантности, т. е. свойством неизменности формы записи дифференциала функции, как в случае простой, так и в случае сложной функции. [Производная, как нам известно, свойством инвариантности не обладает: § 3, (4.21).]
I. Правила дифференцирования | II. Формулы дифференцирования |
1. 2. 3. 4. 5. | 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. |
30. Производные и дифференциалы второго порядка: определения и методы их вычисления.
|
Производную от производной данной функции, если она существует, называют производной второго порядка, или второй производной, от данной функции и обозначают символом . Таким образом
(4.56). В связи с этим производную в дальнейшем будем называть производной первого порядка, или первой производной.
Рассмотрим несколько примеров отыскания производных высших порядков.
1. Найти производную порядка от функции .
Находим, выполняя последовательные дифференцирования: .
2. Найти производную порядка от функций и .
Первую производную от , равную , можно записать в следующем виде:
отсюда следует, что операция дифференцирования функции по формально сводится к прибавлению к аргументу синуса. В силу этого ; поэтому . Аналогично, ; поэтому и вообще
. Аналогично можно убедиться в том, что если , то .
3. Найти производную порядка от функции . Имеем ,
откуда, заметив общий закон образования последовательных производных, находим .
4. Найти производную порядка от функции ( - любое действительное число).
Имеем последовательно откуда, заметив общий закон образования производных, находим
В частном случае, когда ( - целое положительное число), . Все же дальнейшие производные от будут равны нулю, как производные от постоянного.
Отсюда следует, что если целая рациональная функция степени от (многочлен степени относительно ):
,
, а .
Дифференциалом второго порядка (его обозначают символом ) от функции называют дифференциал ее дифференциала: (4.69)
Найдем его выражение. Имеем , причем — произвольное приращение аргумента , которое от аргумента не зависит. В виду этого при отыскании второго дифференциала функции надо рассматривать дифференциал независимого переменного как величину постоянную относительно аргумента .
Находим
Таким образом, второй дифференциал функции равен произведению ее второй производной на квадрат дифференциала независимого переменного:
|
Если дифференциал -го порядка (обозначение ) уже введен, то дифференциалом -го порядка будет дифференциал дифференциала -го порядка:
Докажем методом индукции справедливость следующей формулы:
(4. 72)
Исходя из формулы (4.72), найдем , как дифференциал от :
Поскольку для получено такое же выражение, как и для , можно утверждать, что формула (4.72) справедлива при всяком , так как при она доказана [см. (4.70)]. Из формулы (4.72) получим выражение для производной -го порядка через отношение дифференциалов: (4.73)
Таким обозначением производных -го порядка в анализе часто пользуются наряду с обозначениями и .
Дифференциалы высших порядков, начиная со второго, вообще говоря, не обладают свойством инвариантности: структура дифференциала сложной функции иная, чем дифференциала функции простой.
Убедимся в этом на примере дифференциала второго порядка. Пусть , . В силу инвариантности первого дифференциала , имеем:
Но так как — функция от , то уже не будет величиной постоянной относительно . Поэтому дифференциал от надо искать как дифференциал произведения:
Таким образом, уже в выражении второго дифференциала сложной функции появляется дополнительное слагаемое , зависящее от второго дифференциала промежуточного аргумента. Это же будет иметь место и для дифференциалов более высоких порядков. Тем самым в общем случае утверждение наше доказано.
Примечание. Свойство инвариантности у дифференциалов второго и высших порядков сохраняется лишь тогда, когда промежуточный аргумент является линейной функцией независимого переменного :
|
|
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!