О мощности множеств действительных чисел

В п. 2.2 утверждалось, что множества точек отрезка [0, 1] и отрезка [ a, b ] равномощны. Доказать это нетрудно: взаимно однозначное соответствие [0, 1] [ a, b ] может быть установлено функцией Y = (b - a) • X + a. Если X = 0, то Y = a; если X = 1, то Y = b, откуда, если
0≤ X ≤ 1, то a ≤ Y ≤ b (рис. 10).

Рис. 10

 

Тем самым отрезки разной длины равномощны (по-другому, эквивалентны). На рис. 11 графическая иллюстрация этого факта. Можно показать также равномощность отрезка и интервала, непосредственно указав взаимно однозначное соответствие (рис. 12).

Рис. 11 Рис. 12

 

На отрезке [0, 1] каждому числу вида (n- 1 ) / n: 0, 1/2, 2/3, 3/4, 4/5 и т.д. ставится в соответствие следующее число этой последовательности. На отрезке [1, 2] соответствие симметрично: последовательность имеет вид (n+ 1 ) / n: 2, 3/2, 4/3, 5/4... Всем остальным числам отрезка [0, 2] ставятся в соответствие они сами. Концы интервала не соответствуют при этом ни одной точке отрезка.

Однако можно воспользоваться более общим утверждением (равномощность множеств А и В обозначается А ~ В).

Теорема. Пусть А и В - два множества, А ¢, В ¢ - их подмножества: А¢ Í А, В¢ Í В. Пусть каждое из множеств А, В эквивалентно подмножеству другого: А ~ В ¢, А ¢ ~ В. Тогда А ~ В, т.е. множества эквивалентны.

Для любого отрезка и любого интервала отсюда следует их эквивалентность (рис. 13).

Рис. 13

 

Рис. 14 иллюстрирует равномощность интервала и множества точек всей прямой.

Рис. 14

 

 

Приложение 3

Двоичный 5-мерный куб

Рис. 15

 

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

 

1. Составьте логическую схему базы знаний по теме юниты:

 

2. Решить задачи 1–10.

Для выполнения работы необходимо определить и записать в таблицу К1 значения переменных а ₁- а ₄₂(нули и единицы), исходя из следующих параметров:

F – первая буква фамилии,

N – первая буква имени, Впишите свои параметры в табличку:

F =

N =

S =

S – число букв в фамилии.

 

(Пример. Евгений Онегин: F = О, N = Е, S = 6.)

Таблица К1

а 1

а 2

а 3

а 4

а 5

а 6

а 7

а 8

а 9

а 10

а 11

а 12

а 13

а 14

а 15

а 16

а 17

а 18

а 19

а 20

а 21

а 22

а 23

а 24

а 25

а 26

а 27

а 28

а 29

а 30

а 31

а 32

а 33

а 34

а 35

а 36

а 37

а 38

а 39

а 40

а 41

а 42

Алгоритм заполнения таблицы К1. Значения а ₁ - а ₄₂выбираются из внутреннего кольца круговой диаграммы (рис. 1), разделенной на 28 секторов, которые обозначены буквами от А до Я (во внешнем кольце) и одновременно числами от 1 до 28 (в среднем кольце). Буква Ё считается совпадающей с Е; Й и Ы – совпадающими с И.

Рис. 1

 

Выбор значений а ₁ - а ₄₂производится по следующему правилу:

а ₁ - а ₁₄– 14 чисел (нулей и единиц) подряд по часовой стрелке, начиная с позиции F;

а ₁₅- а ₂₈– 14 чисел подряд по часовой стрелке, начиная с позиции N;

а ₂₉- а ₄₂– 14 чисел подряд против часовой стрелки, начиная с позиции S;

Пример заполнения таблицы К1 для F = О, N = Е, S = 6:

а 1

а 2

а 3

а 4

а 5

а 6

а 7

а 8

а 9

а 10

а 11

а 12

а 13

а 14

а 15

а 16

а 17

а 18

а 19

а 20

а 21

а 22

а 23

а 24

а 25

а 26

а 27

а 28

а 29

а 30

а 31

а 32

а 33

а 34

а 35

а 36

а 37

а 38

а 39

а 40

а 41

а 42

В каждой из нижеследующих задач (1–10) определенным образом осуществляется выбор переменных 0, 1 из заполненной таблицы К1; из этих цифр составляются многозначные двоичные числа, которые затем используются в качестве параметров (в виде двоичных чисел или переводятся в десятичную систему). Правильное выполнение этих арифметических операций наряду с правильным исполнением инструкции в условии задачи, является неотъемлемой частью решения. К задачам 1, 4, 8, 9 приведены примеры решения.

Задача 1. Перевести в десятичную систему четырехзначное двоичное число А ₂= а ₁ а ₂ а ₃ а ₄и трехзначное двоичное число В ₂= а ₅ а ₆ а ₇. Вычислить число С ₁₀= (A + 5) · (23 – А) + В. Перевести число С ₁₀в двоичную систему. В полученном числе С ₂зачеркнуть две последние цифры и перевести результат – двоичное число D ₂– в десятичную систему.

Пример. Возьмем данные из примера заполнения табл. К1.

Задача 2. Двоичные числа a = a ₁₁ a ₁₂, b = a ₁₃ a ₁₄, c = a ₁₅ a ₁₆ a ₁₇ a ₁₈ a ₁₉, d = a ₂₀ a ₂₁ (a, b, d –двузначные, c – пятизначное) перевести в десятичную систему. Изобразить на числовой прямой отрезок K = [ a, a +b+ 14 ] и интервал L = (c, c +d +18), а также множества K ∩ L, K È L, K \ L, L \ K.

Перевести в десятичную систему пятизначные двоичные числа E = a ₂₂ a ₂₃ a ₂₄ a ₂₅ a ₂₆и
F = a ₂₇ a ₂₈ a ₂₉ a ₃₀ a ₃₁. Заполнить таблицу К2, ставя на пересечении строки, соответствующей точке E и F, и столбца, соответствующего множеству K, L, K ∩ L, K È L, K \ L, L \ K, знак + или –
в зависимости от того, принадлежит ли точка этому множеству.

Таблица К2

 

	K	L	K ∩ L	K È L	K \ L	L \ K
E
F

 

Задача 3. Перевести в десятичную систему двоичные числа А = а ₂₁ а ₂₂ а ₂₃, В = а ₂₄ а ₂₅ а ₂₆,
C = а ₂₇ а ₂₈, D = а ₂₉ а ₃₀ а ₃₁ а ₃₂, E = а ₃₃ а ₃₄ а ₃₅ а ₃₆, F = а ₃₇ а ₃₈ а ₃₉ а ₄₀, K = а ₄₁ а ₄₂. Решить задачу с номером (K +1) из четырех нижеследующих (числа A, B, C, D, E, F определяют содержащиеся в них параметры).

1. Из 100 школьников (50 + А) играют в баскетбол, (20 + В) - в волейбол, (35 + С) не играют в эти игры. Сколько человек играют и в баскетбол, и в волейбол? Сколько процентов школьников, играющих в баскетбол, играют в обе игры?

2. Из 100 студентов (53 + А) любят слушать музыку, (23 + В) занимаются спортом, причем
(5 + D) студентов занимаются спортом и любят слушать музыку. Сколько человек не увлекаются ни спортом, ни музыкой? На сколько процентов это число меньше числа любителей музыки?

3. Среди 100 туристов одним английским языком владеют (35 + D), английским и немецким -
Е человек; не владеют ни английским, ни немецким – F туристов. Сколько человек владеют немецким, сколько владеют только немецким? Сколько процентов туристов, владеющих немецким, не владеют английским?

4. Опрос 100 школьников показал, что (50 + D) человек умеют играть в шахматы, Е – и в шахматы, и в шашки, (20 + F) – только в шашки. Сколько школьников не играют ни в одну из этих игр? Сколько человек умеют играть в шашки? Сколько процентов школьников, играющих в шашки, не умеют играть в шахматы?

Задача 4. Перевести в десятичную систему двоичное число d = a ₃₃ a ₃₄ a ₃₅.

Вычислить десятичные числа t_i = a_{i+ 35} + 2 (i = 1, 2,..., 7):

t ₁ = a ₃₆ + 2, t ₂ = a ₃₇ + 2,..., t₇ = a ₄₂ + 2.

Множество М определяется порождающей процедурой:

(1) d Î M;

(2) если b Î M, то b + 3Î M;

(3) если b Î M, то3 b Î M.

Вычислить результат применения к исходному значению d последовательности операций (t ₁), (t ₂), (t ₃), (t ₄), (t ₅), (t ₆), (t ₇).

Пример. Значения t _i могут равняться либо 2, либо 3. Пусть d = 5; t _i = 3, 2, 2, 2, 3, 2, 3. Тогда последовательно получаем: b = 15, 18, 21, 24, 72, 75, 225.

Задача 5. Перевести в десятичную систему следующие двоичные числа:

C = a ₃₅ a ₃₆ a ₃₇, D = a ₃₈ a ₃₉ a ₄₀, E = a ₄₁ a ₄₂. Вычислить значения А = С – 6, В = D + 2.

Отрезок [ A, B ] отображается функцией f (x) = (x + E)² в множество L. Найти множество (промежуток) L. Является ли отображение [ A, B ] L взаимно однозначным?

Задача 6. Перевести в десятичную систему следующие двоичные числа:

C = a ₂₉ a ₃₀ a ₃₁, D = a ₃₂ a ₃₃ a ₃₄. Вычислить А = С + 1, В = D – 6.

Определить номер, который получают при нумерации целочисленных точек плоской решетки, изображенной на рис. 2.2 (стр. 20), точки с координатами (А, В), (В, А), (-А, -В).

Задача 7. Перевести в десятичную систему следующие двоичные числа:

b = a ₁ a ₂ a ₃, X = a ₄ a ₅ a ₆ a ₇, Y = a ₈ a ₉ a ₁₀ a ₁₁, Z = a ₁₂ a ₁₃ a ₁₄ a ₁₅.

Для чисел X, Y, Z вычислить значения суперпозиции с номером b:

0) min (X, max (Y, Z));

1) min (max (X, Y), Z);

2) max (min (X, Y), Z);

3) max (X, min (Y, Z));

4) max (min (X, Z), Y);

5) min (Y, max (X, Z));

6) min (max (Y, Z), X);

7) max (Z, min (X, Y)).

Задача 8. Схема из функциональных элементов имеет структуру, изображенную на рис. 2. Элементы реализуют двуместные функции, которые определяются двузначными двоичными числами, образованными из знаков

а ₅ - а ₁₆: S ₁ = а ₅ а ₆ ; S ₂ = а ₇ а ₈ ; S ₃ = а ₉ а ₁₀ ; S ₄ = а ₁₁ а ₁₂ ; S ₅ = а ₁₃ а ₁₄ ; S ₆ = а ₁₅ а ₁₆ .

00 + (сложение); 01 – (вычитание);

10 · (умножение); 11 / (деление).

1. Подставив на место элементов S ₁– S ₆конкретные арифметические операции, составить формулу для функции W (X, Y, Z), реализуемой схемой .

Рис. 2

 

2. Вычислить значение функции при значениях аргументов

X = 2 + a ₁₇ a ₁₈ a ₁₉ ; Y = 3 + a ₂₀ a ₂₁ a ₂₂ ; Z = 4 + a ₂₃ a ₂₄ a ₂₅ .

Пример. Пусть а ₅ - а ₁₆ = 110010100111

S ₁– 11 / На выходе элемента S ₁ : Х / Y

S ₂– 00 + На выходе элемента S ₂: X + Z

S ₃– 10 · На выходе элемента S ₃ : Y · Z

S ₄– 10 · На выходе элемента S ₄ : (X / Y) · (X + Z)

S ₅– 01 – На выходе элемента S ₅ : (X + Z) – Y · Z

S ₆– 11 / На выходе элемента S ₆ , т.е. на выходе схемы:

(X / Y) · (X + Z) / ((X + Z) – Y · Z).

Если Х = 5, Y = 9, Z = 6, то W = • 11 / (11 – 54) = .

Задача 9. Перевести в десятичную систему следующие двоичные числа:

А = a ₁ a ₂, В = a ₃ a ₄, C = a ₅ a ₆ , D = a ₇ a ₈ , E = a ₉ a ₁₀;

X = 4 + a ₁₁ a ₁₂ a ₁₃, Y = 5 + a ₁₄ a ₁₅ a ₁₆ , Z = 6 + a ₁₇ a ₁₈ a ₁₉.

В формуле W = [(X A Y) B (Y C Z)] D (X E Z) заменить двузначные двоичные символы A, B, C, D, E на знаки арифметических операций:

00 + (сложение); 01 – (вычитание);

10 · (умножение); 11 / (деление).

Построить схему , реализующую эту формулу. Вычислить значение W (X, Y, Z) при заданных значениях X, Y, Z.

Пример. Пусть А = 1 0, В = 0 1, C = 1 1, D = 1 1, E = 0 0; X = 7, Y = 8, Z = 12.

Тогда формула приобретает вид W = [(X · Y) – (Y / Z)] / (X + Z). Подстановка значений X, Y, Z дает W = [(7 · 8) – (8 / 12)] / (7 + 12) = (56 – 2/3) / 19 = 166/57.

Задача 10. Перевести в десятичную систему двоичное число R = a ₂₆ a ₂₇ a ₂₈.

Является ли бинарное отношение с номером R между числами, точками, геометрическими фигурами транзитивным, симметричным, антисимметричным?

0) Прямая l ₁ пересекается с прямой l ₂.

1) Квадрат K ₁ на плоскости находится внутри квадрата K ₂.

2) Точка А на оси ОХ находится между началом координат и точкой В.

3) Точка земной поверхности А находится на той же высоте над уровнем моря, что и точка В.

4) Целое число А делится без остатка на целое число В.

5) Целое число А имеет общий множитель, не равный 1, с числом В.

6) Точка А на окружности диаметрально противоположна точке В.

7) Дуга окружности между точками А и В составляет 90º.

 

 

ТРЕНИНГ УМЕНИЙ

Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 1

 

Задание

Перевести в двоичную систему десятичные числа: 82, 173.

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данной ситуации предложенному алгоритму
	Использовать шкалу сте-пеней основания двоичной системы – числа 2	0 1 2 3 4 5 6 7 8... 1 2 4 8 16 32 64 128 256...
	Представить заданное чис-ло в виде суммы элемен-тов шкалы, последователь-но выделяя максимально возможное слагаемое	82 = 64 + 18 = 64 + 16 + 2 173 = 128 + 45 = 128 + 32 + 13 = = 128 + 32 + 8 + 5 = 128 + 32 + 8 + 4 + 1
	Выделить на шкале слага-емые, участвующие в раз-ложении: им соответст-вует цифра 1 в двоичном представлении; отсутст-вующим – цифра 0	6 5 4 3 2 1 0 64 32 16 8 4 21 1 0 1 0 0 1 0 8210 = 10100102 7 6 5 4 3 2 1 0 128 64 3216 8 42 1 1 0 1 0 1 1 0 1 17310 = 101011012

Решите самостоятельно следующие задачи:

 

Перевести в двоичную систему десятичные числа: 21, 56, 74, 90, 101, 123.

 

 

Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 2

Задание

Перевести в десятичную систему двоичное число: 1101001.

 

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данной ситуации предложенному алгоритму
	Использовать шкалу сте-пеней основания двоич-ной системы числа 2	0 1 2 3 4 5 6 7 8... 1 2 4 8 16 32 64 128 256...
	Сопоставить знакам 1 в двоичном представлении заданного числа элемен-ты шкалы	1 1 0 1 0 0 1 6 5 4 3 2 1 0 64 3216 8 4 2 1
	Сложить выделенные числа – степени числа 2	11010012 = 64 + 32 + 8 + 1 = 10510

Решите самостоятельно следующие задачи:

Перевести в десятичную систему двоичные числа: 10010, 110101, 101001, 1000110, 1110100, 1011001.

 

 

Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 3

Задание

А и В – множества действительных чисел: А = (-2, 4), В = [0, 7].

Найти и показать на числовой прямой множества А Ç В, A È В, А \ В, А \ В, .

 

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данной ситуации предложенному алгоритму
	Изобразить множества А и В на числовой прямой	А = (-2, 4) - интервал, концы промежутка не принадлежат множеству В = [0, 7] - отрезок, концы промежутка принадлежат множеству
	А Ç В – пересечение множеств А и В	А Ç В - полуинтервал [0, 4)
	A È В - объединение множеств А и В	A È В - полуинтервал (-2, 7]
	A \ В - разность множеств А и В	A \ В - интервал (-2, 0): точка 0 не входит в интервал, поскольку она принадлежит множеству В. -2 0
	B \ A - разность множеств А и В	В \ А - отрезок [4, 7]: точка 4 входит в отрезок, поскольку она не принадлежит множеству А.
	- дополнение множества А	- объединение двух бесконечных промежутков (-¥, -2] È [4, +¥): концы интервала не принадлежат ему и поэтому входят в дополнение

Решите самостоятельно следующие задачи:

Найти и показать на числовой прямой множества А Ç В, A È В, А \ В, А \ В, , для множеств:

1) А = [-2, 0], В = (-6, 1];

 

2) А = (0, 4), В = [-5, 1];

 

3) А = [-2, 5], В = [0, 3];

 

4) А = [-6, 4), В = [0, 7];

 

5) А = (-2, 4), В = (0, 7).

Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 4

 

Задание

Определить, какую функцию двух переменных W (X, Y) реализует схема, изображенная
на рис. 3.

Рис. 3

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие задания заданному алгоритму
	Пронумеровать эле-менты и сопоставить им реализуемые ими одноместные и дву-местные операции	Нумерация элементов – на рис. 3 S 1 = X + Y; S 2 = Y • 3; S 3 = ; S 4 = max (S 1 , S 2); S 5 = S 4 – S 3. Для некоммутативной операции вычитания значение на выходе элемента S 4 подается на первый (левый) вход элемента S 5; вычитаемое S 3 – подается на второй (правый) вход S 5
	Записать формулами суперпозиции проме-жуточных данных, последовательно вы-полняя соответст-вующие подстановки	S 3 = = ; S 4 = max (S 1 , S 2) = max (X + Y, Y • 3); W = S 5 = S 4 – S 3 = max (X + Y, Y • 3) –

Решите самостоятельно следующие задачи:

 

1. Определить, какую функцию двух переменных W (X, Y) реализует схема, изображенная на рис. 4, а, б, в.

а б в

Рис. 4

 

2. Определить, какую функцию трёх переменных W (X, Y, Z) реализует схема, изображенная на рис. 5, а, б.

а б

Рис. 5

Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 5

 

Задание

Определить порядка действий при вычислении значения суперпозиции элементарных функций и простых многоместных функций. Построить схемы из функциональных элементов, реализующей функцию

Z = .

 

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данной ситуации предложенному алгоритму
	Определить состав пере-менных и констант в фор-муле, которая задает функ-цию	Переменные X, Y; константа 1.
	Определить внешнюю опе-рацию (функцию) и основ-ные подформулы	Z = , где Z 2 = XY 2; Z 3 = lg Z 4; Z 4 = Y 2 +
	Определить, какие из функ-ций, составляющих супер-позицию, являются одно-местными, а какие – двуместными	Оперaции lg (логарифмирование) и (извлечение квадратного корня) – одноместные; арифметические операции +, –, ·, / – двуместные
	Составить иерархическую схему последовательности действий	Z = Z 2 = X · Z 5 Z 3 = lg Z 4 Z 4 = Z 5 + Z 6 Z 5 = Y 2 Z 6 =
	Построить схему из функциональных элементов в соответствии с иерархической схемой вычисления   а) определить совокупность используемых элементов с одним и двумя входами; б) выделить подформулы, имеющие в суперпозиции больше одного вхождения; в) осуществить необходимое соединение элементов

Решите самостоятельно следующие задачи:

Построить схемы из функциональных элементов, реализующие функции:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 6

 

Задание

Используя диаграмму Венна, решить следующую задачу. В экспресс-опросе 200 жителей выяснено, что 80 человек сегодня воспользовались метрополитеном и автобусом,
30 - метрополитеном и троллейбусом, 10 - автобусом и троллейбусом; 70 – только одним видом транспорта; 50 – сегодня не пользовались общественным транспортом. Определить число жителей, использовавших все три вида транспорта.

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данной ситуации предложенному алгоритму
	Представить соотношения между множествами, заданными в условии диаграммой Венна: универсальное множество U и его подмножества в общем положении, образующие разбиение { Bi } множества U	U – универсальное множество участников опроса. М – подмножество пассажиров метрополитена, А – подмножество пассажиров автобусов, Т – подмножество пассажиров троллейбусов. M = B 1 È B 2 È B 4 È B 5; A = B 2 È B 3 È B 5 È B 6. T = B 4 È B 5 È B 6 È B 7.

 

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данной ситуации предложенному алгоритму
	Обозначить заданную в условии численность подмножеств, составленных из элементов разбиения множества U	½ U ½= 200. ½ B 8½= 50. ½ B 2 È B 5½= 80. ½ B 4 È B 5½= 30. ½ B 5 È B 6½= 10. ½ B 1 È B 3 È B 7½= 70. Требуется найти ½ B 5½.
	Составить численные соотношения между заданными множествами	Общее число пассажиров: ½ M È A È T ½= ½ B 1½+½ B 2½+½ B 3½+½ B 4½+½ B 5½+½ B 6½+½ B 7½= = ½ U ½–½ B 8½= 200 – 50 = 150. (1) Поскольку попарные пересечения блоков разбиения пусты, то: ½ B 2 È B 5½ = ½ B 2½+½ B 5½ = 80. ½ B 4 È B 5½ = ½ B 4½+½ B 5½ = 30. ½ B 5 È B 6½ = ½ B 5½+½ B 6½ = 10.
	Из полученных соотноше-ний найти требуемое число	Почленное сложение трех предыдущих равенств дает: ½ B 2½+½ B 4½+½ B 6½+ 3·½ B 5½= 80 + 30 + 10 = 120. (2) Число использовавших только один вид транспорта, равно: ½ B 1 È B 3 È B 7½= ½ B 1½+½ B 3½+½ B 7½ = 70. Составляем соотношение: 150 = 70 + ½ B 2½+½ B 4½+½ B 6½+½ B 5½ Þ Þ ½ B 2½+½ B 4½+½ B 6½+½ B 5½ = 150 – 70 = 80. (3) Почленно вычитаем из равенства (2) равенство (3): 2·½ B 5½= 120 – 80 = 40 Þ ½ B 5½ = 20.

Решите самостоятельно следующие задачи:

Проверить, истинны ли соотношения между множествами:

1. А \ (В È С) = А \ В \ С

2. (А \ В) È (В \ А) = (А È В) \ (А ∩ В)

3. А \ (В ∩ С) = (А \ В) È (А \ С)

4. А \ (А \ В) = (А ∩ В)

5. А \ (В \ А) = А \ В

 

ГЛОССАРИЙ

 

№ п/п	Новое понятие	Содержание
	Множество	совокупность элементов, набор каких-либо предметов (объектов); обозначение A = { x: p (x)} - A есть множество элементов х, удовлетворяющих условию p (x)
	Характеристическое свойство элементов множества А	свойство, которым обладают все элементы множества А и не обладает ни один из элементов, не принадлежащих А
	Подмножество	множество Н, каждый элемент которого принадлежит также множеству М, называется подмножествоммножества М
	Пересечение множеств	множество А ∩ В, состоящее из элементов, принадлежащих множеству А и множеству В одновременно
	Объединение множеств	множество А È В, состоящее из всех элементов, которые принадлежат множеству А или множеству В
	Разность множеств	множество А \ В, состоящее из тех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В
	Симметрическая разность множеств	множество А Δ В, состоящее из всех элементов, которые принадлежат ровно одному из множеств А и В
	Дополнение множества	множество , состоящее из всех элементов универсального множества, не входящих в множество А
	Разбиение множества	система { B α} непустых подмножеств множества A, что все попарные пересечения – пусты (Bi ∩ Bj = Æ, если i ≠ j, а их объединение È B α равно A. Сами B α называются классами, или блоками разбиения.
	Декартово (прямое) произведение множеств	1) для двух множеств: произведение A ´ B - множество всех пар (a, b), где a Î A, b Î B; 2) для n множеств: произведение A1 ´ A2 ´ ... ´ An – множество всех векторов (a 1, a 2,…, an), где ai Î Ai (т.е. a 1Î A 1, a 2 Î A 2,..., an Î An); если все Ai одинаковы и равны A, то произведение A ´ A ´ …. ´ A обозначается An и n раз называется n -й степенью множества A
	Соответствие между множествами	соответствие A → B: всем или некоторым элементам множества А сопоставлены каким-нибудь способом один или несколько элементов множества В
	Образ элемента а при соответствии А→В	множество всех элементов b Î B, соответствующих элементу а Î А
	Прообраз элемента b при соответствии А→В	множество всех элементов a Î A, которым соответствует элемент b Î B
	Однозначное (функциональное) соответствие A → B, или отображение множества A в множество B	соответствие, при котором каждому элементу a Î A поставлен в соответствие единственный элемент b Î B
	Взаимно-однозначное соответствие (взаимно-однозначное отображение) множеств	правило, при котором каждому элементу A поставлен в соответствие один элемент множества B, и при этом соответствии каждый элемент B соответствует одному и только одному элементу А
	Эквивалентные множества	множества, между которыми можно установить взаимно однозначное соответствие

 

	Счетное множество	множество, эквивалентное множеству натуральных чисел
	Интервал (открытый промежуток)	множество чисел A = { x: a < x < b }, расположенных в промежутке между числами a и b; обозначение (a, b). Концы промежутка не принадлежат интервалу
	Отрезок (замкнутый промежуток)	множество чисел B = { x: a ≤ x ≤ b } обозначается [ a, b ]. Концы промежутка принадлежат интервалу
	Окрестность точки	любой интервал, содержащий эту точку
	Суперпозиция функций	функция, полученная из n -местной функции f (x 1, x 2,.., xn) и системы n функций g 1, g 2,..., gn некоторой подстановкой функций g 1, g 2,..., gn во внешнюю функцию f вместо переменных и переименованиями переменных
	Формула	выражение, описывающее суперпозицию и содержащее функциональные знаки, символы независимых переменных (аргументов) и констант (параметров)
	Характеристическая функция множества	пусть В = {0, 1} – множество из двух чисел. Для подмножества М универсального множества U (M Í U) – отображение χ M: U → B, ставящее в соответствие элементам множества M единицу, а элементам дополнения – ноль
	Булеан В (Е)	множество всех подмножеств множества Е
	Схема из функциональных элементов	сеть, элементам которой приписаны (сопоставлены) функции, так что элементу S с k входами соответствует k -местная функция f (x 1, x 2,..., xk)
	Бинарная алгебраическая операция φ (a, b), или a φ b на множестве М	паре элементов a, b множества М сопоставляется элемент того же или другого множества
	Множество, замкнутое относительно операции φ	применение операции φ не выводит за пределы множества М, т.е. всякий результат операции φ над элементами множества М также принадлежит М
	Алгебра	система А = (L; Ω), состоящая из множества L и набора операций Ω = { φ 1, φ 2,..., φk }, действующих на множестве L. Множество L называется носителем, а система операций Ω – сигнатурой алгебры А
	Алгебра множеств (алгебра Кантора)	система (В (U), È, ∩, ‾‾) на булеане В (U) с операциями объединения, пересечения и дополнения
	Ассоциативная бинарная операция	операция φ, обладающая сочетат