Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Топ:
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Интересное:
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Дисциплины:
2017-12-13 | 6839 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Содержание книги
Поиск на нашем сайте
|
|
1. Для задания множеств применяется еще один способ – с помощью теоретико-множественных операций, позволяющих строить из одних множеств другие. Рассмотрим несколько таких операций и их представления диаграммами Венна.
A. Пересечением двух множеств A и B называется множество М = A ∩ B, состоящее из элементов, принадлежащих обоим множествам: и множеству A, и множеству B. Пересечение – это общая часть двух множеств (область D на рис. 1.2). Аналогично определяется пересечение
трех или более множеств (показано частой штриховкой на рис. 1.3). Символ ∩ означает операцию пересечения множеств.
Термин «пересечение» – по существу геометрического происхождения. Пересечением прямой и плоскости, если прямая не лежит на плоскости и не параллельна ей, является их единственная общая точка. Если прямая и плоскость параллельны, то их пересечение не содержит ни одной точки, т.е. пусто. Если же прямая имеет с плоскостью более одной общей точки, то, как известно, она целиком лежит на плоскости, и их пересечение совпадает с множеством точек этой прямой.
В этом случае множество точек прямой есть подмножество множества точек плоскости.
B. Объединением двух множеств A и B называется множество М = A È B, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств A или B (или обоим). При этом каждый элемент входит в объединение один раз. Символ È означает операцию объединения множеств (области С, D, E вместе на рис. 1.2). Объединение трех и более множеств определяется аналогично (показано редкой штриховкой на рис. 1.3).
C. Разностью М = A \ B двух множеств A и B называется множество, состоящее из всех элементов A, не принадлежащих B. Иначе говоря, чтобы получить разность, нужно из множества A удалить его общие элементы с множеством B (на рис. 1.2 разность A \ B = C). Разность B \ A – область E на рис. 1.2.
|
D. Симметрическая разность – М = А Δ В - множество элементов, которые принадлежат ровно одному из двух множеств A и B (можно рассматривать как объединение двух разностей): А Δ В = (A \ B) È (B \ A). На рис. 1.2 А Δ В = С È Е.
Симметрическую разность называют также суммой по модулю 2. Очевидно соотношение: А Δ В = (A È В) \ (A ∩ B).
На рис. 1.4 – частные случаи общей картины, изображенной на рис. 1.2.
а) б) в) г)
Рис. 1.4
Если С = A \ B = Æ, т.е. A Í B, то D = A, E = B \ A, (рис. 1.4, а).
Если D = A ∩ B = Æ, то С = A, E = B (рис. 1.4, б).
Если E = B \ A = Æ, т.е. B Í A, то С = A \ B, D = B (рис. 1.4, в).
При равенстве множеств A и B и имеем C = E = Æ, D = A = B, (рис. 1.4, г).
E. Пусть A – некоторое множество в универсальном множестве U. Дополнением множества A называется множество, состоящее из всех элементов множества U, не принадлежащих A. Иными словами, = U \ A (рис. 1.5).
Рис. 1.5
Примеры. 1. Пересечением множества 5-этажных домов и множества кирпичных домов является множество кирпичных пятиэтажек.
2. Пусть в множестве учеников школы (оно будет служить универсальным множеством U) A – подмножество учащихся, занимающихся спортом; B – подмножество учащихся, интересующихся музыкой; C – подмножество мальчиков. Тогда пересечению A ∩ B принадлежат все учащиеся, увлекающиеся и спортом, и музыкой; в пересечение A ∩ C входят мальчики, увлекающиеся музыкой; объединение A È B – множество учащихся, увлекающихся или спортом, или музыкой, или тем и другим; дополнение – множество школьниц; разность C \ B – множество мальчиков, не интересующихся музыкой; разность B \ C – множество девочек, увлекающихся музыкой.
3. Пусть множество натуральных чисел A = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} – делители числа 24;
B = {1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90} – делители числа 90. Тогда пересечение
A ∩ B = {1, 2, 3, 6} – множество общих делителей этих чисел (6 – наибольший общий делитель).
|
С помощью введенных операций можно образовывать более сложные комбинации. Например, формула (A \ B)∩ C представляет множество элементов множества A, не принадлежащих B, но принадлежащих C (рис. 1.6); множество A È (B ∩ C) содержит все элементы, которые принадлежат A, а также общие элементы множеств B и C (рис. 1.7).
Рис. 1.6 Рис. 1.7
Упражнение. Сформулируйте словами, какие подмножества универсального множества U учеников школы (пример 2) представляются формулами , C \ (AÈ B), (A ∩ B) \ .
2. На диаграммах Венна легко проверить соотношения:
A ∩ B Í A Í A È B;
A \ B Í A Í A È B;
(А Δ В) ∩ (А ∩ B) = Æ;
если A \ B = Æ, то A Í B;
если A и B – конечные множества, то ½ A È B ½= ½ А ½+ ½ B ½ – ½ А ∩ B ½, в частности, если
A ∩ B = Æ, то A È B = ½ А ½+ ½ B ½, поскольку ½Æ½ = 0.
Перечислим основные свойства операций над множествами. Пусть U – универсальное множество, A, B, C – его подмножества, Æ – пустое множество. Равенства 1–10, 15–18 относятся к операциям объединения и пересечения; равенства 11–14 и 19–21 – к операции дополнения.
1. A È B = B È А 2. A ∩ B = B ∩ A
3. (A È B) È C = A È (B È C) 4. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
5. (A È B) ∩ C = (A ∩ C) È (B ∩ C) 6. (A ∩ B) È C = (A È C) ∩ (B È C)
7. A È A = A 8. A ∩ A = A
9. A È (A ∩ B) = A 10. A ∩ (A È B) = A
11. = ∩ 12. = È
13. A È = U 14. A ∩ = Æ
15. A È Æ = A 16. A ∩ Æ = A
17. A È U = U 18. A ∩ U = A
19. = Æ 20. = U
21. = A
Свойства 1, 2 – переместительные законы, свойства 3, 4 – сочетательные законы. Свойства
5, 6 – взаимные распределительные законы каждой из операций ∩, È относительно другой. Свойства 11, 12 называются законами де Моргана для множеств (дополнение к объединению равно пересечению дополнений; дополнение к пересечению равно объединению дополнений). Свойства 13 – 20 - соотношения с универсальным и пустым множествами.
Приведем также некоторые свойства операции разности множеств: A \ B = A ∩ ; A \ A = Æ;
A \ Æ = A; A \ U = Æ; U \ A = .
3. Разбиение множества A – такая система { Bα } непустых подмножеств множества A, что все попарные пересечения – пусты (Bi ∩ Bj = Æ, если i ≠ j – это свойство называется чистотой разбиения), а их объединение È Bα равно A (это называется полнотой разбиения). Сами
Bα называются классами, или блоками разбиения.
|
При анкетировании или классификации объекты распределяются по группам; не входящие в ту или иную конкретную группу, могут составлять группировку «прочие» – для полноты разбиения.
Система курсов данного факультета есть разбиение множества его студентов; система групп есть другое разбиение того же множества. Другой пример: множество всех автомобилей может быть разными способами разбито на классы в зависимости от назначения: транспортные, специальные и гоночные; в свою очередь, транспортные автомобили подразделяются на легковые, грузовые и автобусы. Возможно разбиение в зависимости от марки, объема двигателя, года выпуска, компании-производителя, стоимости и др.
Множество квартир дома разбивается на подмножества квартир, расположенных на одном этаже; другое разбиение – на подмножества квартир из одного подъезда.
Множество R действительных чисел разбивается на множество рациональных и множество иррациональных чисел; множество Z целых чисел разбивается на множество четных и множество нечетных чисел.
Множество прямых на плоскости разбивается на бесконечную совокупность систем прямых, параллельных тому или иному направлению.
Замечание. В последнем примере элементами являются не точки плоскости, а прямые. Поэтому, например, пересечение любого множества горизонтальных прямых и любого множества вертикальных прямых пусто: ведь ни одна прямая не является одновременно горизонтальной и вертикальной.
Если A и B – два подмножества универсального множества U, то 4 подмножества D 0 = ∩ , D 1 = ∩ B, D 2 = A ∩ , D 3 = A ∩ B образуют разбиение множества U (рис. 1.8). Поэтому, если
U - конечное множество, то для числа элементов множества и блоков разбиения выполнено равенство ½ U ½ = ½ D 0½+ ½ D 1½+ ½ D 2½+ ½ D 3½.
Рис. 1.8
Аналогично, для трех множеств A, B, C разбиение универсального множества U на восемь подмножеств M 0 - M 7 изображено на рис. 1.9. Сами множества A, B, C могут быть представлены как объединения:
A = M 4 È M 5 È M 6 È M 7;
B = M 2 È M 3 È M 6 È M 7;
C = M 1 È M 3 È M 5 È M 7.
Рис. 1.9
Упражнение. Выразить множества M 1 - M 7 с помощью операций È, ∩, ‾‾ над множествами A, B, C.
|
Указание: множество M 0, например, можно представить так: M 0 = .
Замечание. Стоит заметить, что возможно и другое представление: M 0 = ∩ ∩ (равенство этих двух формул – обобщение закона де Моргана).
Порождающая процедура
Еще один способ задания множества связан с понятием порождающей процедуры: множество состоит из всех элементов, которые могут быть получены некоторой последовательностью операций из заданной конечной системы.
Простейший пример – задание последовательности элементов множества формулой, содержащей параметр: A = { Xk = 3 + 2(k 2 + 1)}, k = 0, 1, 2,...
Задавая различные значения параметра k, мы можем вычислять элементы множества
A: X 0 = 5, X 1 = 7, X 2 = 13 и т.д. Подобное задание может быть явным, как в данном примере, или неявным, требующим разрешения. В частности, могут использоваться возвратные, или рекуррентные соотношения, когда одни элементы множества определяются через другие.
Примеры: 1. Арифметическая прогрессия определяется заданием ее первого члена а 1, разности прогрессии d и соотношением аn +1 = аn + d для n ≥ 1. Рекуррентная формула позволяет вычислять значения а 2 = а 1 + d, а 3 = а 2 + d = а 1 +2 d, а 4 = а 3 + d = а 1 + 3 d и т.д. Можно выразить
n- й член прогрессии в явном виде: аn = а 1 + d • (n – 1).
2. Геометрическая прогрессия определяется заданием ее первого члена b 1, знаменателя прогрессии q и соотношением bn +1 = bn • q для n ≥ 1. Можно последовательно вычислять значения b 2 = b 1 • q, b 3 = b 2 • q = b 1 • q 2, b 4 = b 3 • q = = b 1 • q 3 и т.д.; n -й член этой последовательности выражается явно: bn +1 = b 1 • qn.
3. Последовательность чисел Фибоначчи задается условиями: а 1 = 1, а 2 = 1, аn = аn -1 + аn -2 для
n > 2.
Последняя формула позволяет последовательно вычислять значения а 3 = а 2 + а 1 = 1 + 1 = 2,
а 4 = а 3 + а 2 = 2 + 1 = 3, а 5 = а 4 + а 3 = 3 + 2 = 5, а 6 = а 5 + а 4 = 5 + 3 = 8,... и т.д. Выражение общего
n -го члена этой последовательности в явном виде существует, но более сложно.
Рассмотрим еще один способ задания числового множества M:
(1) 5 Î М;
(2) если а Î М, то 1/ а Î М;
(3) если а Î М, то 1 - а Î М.
Убедимся, что множество М конечно и состоит из 6 элементов, а именно
М = {5, 1/5, -4, -1/4, 4/5, 5/4}. Действительно, для каждого a, начиная со значения a = 5, есть
две возможности порождения новых элементов: операциями (2) или (3). При этом могут получаться и элементы, порожденные ранее. Так, из числа 5 операцией (2) получается 1/5, операцией (3) – число (–4), а из числа 1/5 операцией (2) – снова число 5 и т.д. Рассмотрим схему порождения (рис. 1.10), где операция (2) изображена тонкой стрелкой, а операция (3) – утолщенной. Схема показывает, что никаких других чисел процедуры (2) и (3) не дают.
Рис. 1.10
Упражнение. Проследите, какое число в множестве М порождается, начиная с элемента 5, конечной последовательностью операций (2), (3), (3), (2), (2), (3), (2).
|
Если же, например, в операции (3) заменить (1 – а) на (2 – а), то порождаемое множество будет бесконечным; в частности, из числа 5 чередованием операций (2) и (3) порождается последовательность чисел 5 Þ 1/5 Þ 9/5 Þ 5/9 Þ 13/9 Þ 9/13 Þ 17/13 Þ 13/17 Þ...
|
|
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!