Графическое решение уравнений и систем уравнений

Цель работы: Ознакомиться с графическими методами решения уравнений и систем уравнений.

Основные теоретические положения. Кроме аналитического способа решения уравнений f (x) = 0 можно пользоваться и графическим способом. Графический способ наиболее эффективен для решения трансцендентных уравнений. При графическом способе для уравнения строится график y = f (x) и решением уравнения является точка пересечения графика с осью х при у = 0. Если разбить уравнение на две произвольные части, то можно для каждой части построить график. В этом случае решением уравнения будет абсцисса точки пересечения графиков для этих частей. Такой способ может использоваться и для решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Порядок выполнения работы

Задание 1. Решить графически уравнение y = cos²(p x) на интервале [0; 1].

Задание 2. Решить графически уравнение х ³ – 4 х ² – 3 х + 6 = 0.

Задание 3. Решить графически систему уравнений в диапазоне х Î[0; 3] с шагом D х = 0,2.

Задание 4. Решить систему уравнений согласно индивидуальному заданию.

12.1. Выполнение задания 1

Решить графически уравнение y =cos²(p x) на интервале [0;1] значит найти все значения х внутри данного интервала, где функция у пересекает ось Х.

12.1.1.Провести табуляцию значений х и у (см. Работу 11).

В результате получим табл. 9.

Таблица 9

	A	B	C
	График функции y=cos(Pi*x)^2
	Значение х	Значение у	Значение Pi
		= COS(A3*C$3)^2	3,1415
	0,1	= COS(A4*C$3)^2
	0,2	= COS(A5*C$3)^2
	0,3	= COS(A6*C$3)^2
	0,4	= COS(A7*C$3)^2
	0,5	= COS(A8*C$3)^2
	0,6	= COS(A9*C$3)^2
	0,7	= COS(A10*C$3)^2
	0,8	= COS(A11*C$3)^2
	0,9	= COS(A12*C$3)^2
		= COS(A13*C$3)^2

 

 

12.1.2. Построение графика функции (см. Работу 11).

В результате получим график (рис. 31). Из графика видно, что уравнение имеет единственный корень. Что-бы получить точное решение уравнения, нужно щелкнуть левой клавишей мыши по точке пересечения графика с осью ОХ. На графике появится текст (рис. 32).

Здесь Точка “0,5” – значение х

Значение “4,633Е-05”»0 – значение у.

12.2. Выполнение задания 2

Найдем графическое решение уравнения х ³-4 х ²-3 х +6=0.

Для этого представим его в виде

х ³ = 4 х ² + 3 х – 6 (2)

и построим на одной диаграмме графики двух функций:

у ₁ = х ³ левая часть уравнения (2) и

у ₂ = 4 х ² + 3 х – 6 правая часть уравнения (2)

Рис. 32. График функции y=cos²(px)

Так как мы ищем корни кубического уравнения, число корней должно быть равно трем. Заранее значения корней неизвестны, поэтому сначала возьмем для построения графиков интервал х Î[–2; 2], с шагом 0,4 и построим на этом интервале графики функций у ₁ и у ₂. Координаты точек х пересечения этих графиков дадут нам искомые значения корней.

Очевидно, что если корней должно быть три, то точек пересечения функций у ₁ и у ₂ тоже будет три. Если точек пересечения окажется меньше, нужно увеличить рассматриваемый интервал (например, построить график на интервале х Î[–3; 3]).

12.2.1. Открыть новый рабочий лист (Щелчок правой клавишей по имени имеющегося листа – Добавить – Лист).

12.2.2. Провести табуляцию значений аргумента х и функций у ₁ и у ₂ (см. Работу 11). В результате получим табл. 10.

12.2.3. Строим график функций у ₁ и у ₁ на одной диаграмме (рис. 33). Из графиков видно, что на рассмотренном ин-тервале функции у ₁ и у ₂ пересекаются только два раза (корни х ₁ = –1,2 и х ₂ = 1,2).

Таблица 10

	A	B	C
	Решение уравнения x^3-4*x^2-3*x+6
	х	у1=х^3	y2=4*x^2+3*x-6
	-2	=A3^3	=4*A3^2+3*A3-6
	-1,6	=A4^3	=4*A4^2+3*A4-6
	-1,2	=A5^3	=4*A5^2+3*A5-6
	-0,8	=A6^3	=4*A6^2+3*A6-6
	-0,4	=A7^3	=4*A7^2+3*A7-6
		=A8^3	=4*A8^2+3*A8-6
	0,4	=A9^3	=4*A9^2+3*A9-6
	0,8	=A10^3	=4*A10^2+3*A10-6
	1,2	=A11^3	=4*A11^2+3*A11-6
	1,6	=A12^3	=4*A12^2+3*A12-6
		=A13^3	=4*A13^2+3*A13-6

 

Рис. 33. Решение уравнения х ³-4 х ²-3 х +6=0.

 

12.2.3. Для нахождения третьего корня нужно увеличить диапазон решения. Из графика видно, что при х <–2 функции у 1 и у 2 расходятся.

Значит, решение нужно искать при х >2. Увеличим диапазон до х = 4,8, т. е. х Î[–2; 4,8]:

а) продолжить табулирование аргумента х до ячейки А20;

б) скопировать формулу из ячейки В13 в ячейки В14:В20;

в) скопировать формулу из ячейки С13 в ячейки С14:С20;

г) построить график для этого случая. На этом графике функции у 1 и у 2 пересекаются трижды. Третий корень х ₃ = 4,4.

12.3. Выполнение задания 3

Решить графически систему уравнений значит найти координаты точек, в которых пересекаются графики функций, входящих в систему уравнений.

При выполнении задания 2 мы решили практически систему уравнений

.

Для нахождения корней уравнений системы

в диапазоне х Î[0; 3] с шагом D х = 0,2, следует выполнить следующие действия.

12.3.1. Добавить новый рабочий лист

12.3.2. Провести табулирование переменных х, y = sin x, y = cos x, аналогично Работе 11 и пп. 12.1, 12.2 данной работы:

- в ячейку А1 ввести заголовок Аргумент х, в ячейку А2 – значение 0, в ячейку А3 - значение 0,2 и провести табуляцию аргумента х в ячейках А2:А17;

- в ячейку В1 ввести заголовок y = sin(x);

- в ячейку В2 ввести формулу =SIN(A2) и скопировать ее в ячейки В3:В17;

- в ячейку С1 ввести заголовок y = cos(x);

- в ячейку С2 ввести формулу =COS(A2) и скопировать ее в ячейки C3:C17.

12.2.3. Построить график функций y = sin x, y = cos x на одной диаграмме:

а) выполнить команды Вставка – Диаграмма (Вставка – График);

б) в первом диалоговом окне Мастера диаграмм выберем Тип диаграммы График, Вид - Левый верхний, Далее;

в) во втором окне Мастера диаграмм на вкладке Диапазон данных ввести:

Диапазон В2:С17

Ряды в: столбцах;

Затем щелкнуть по вкладке Ряд и ввести:

Подписи оси Х А2:А17;

Щелкнуть по кнопке Далее;

г) в третьем окне Мастера диаграмм ввести:

Название диаграммы Система

Ось Х Аргумент

Ось У Значения

щелкнуть по кнопке Далее;

д) на последнем шаге Мастера диаграмм выбрать опцию

 На отдельном листе и щелкнуть Готово.

На полученном графике (рис. 34) видно, что в указанном диапазоне система имеет единственное решение (графики имеют только одну точку пересечения).

 

Рис. 34. Решение системы уравнений

 

Для нахождения решения:

- поставить указатель мыши в точку пересечения графиков;

- щелкнуть левой клавишей мыши. Появится надпись с указанием приблизительного решения системы уравнений:

Ряд “y=cos(x)” Точка “0,8”

Значение: 0,6967067

Следовательно, решением уравнения являются:

х = 0,8

у = 0,697.

12.4. Выполнение задания 4

12.4.1. Выбрать из табл. 11 индивидуальное задание по указанию преподавателя.

12.4.2. Добавить новый рабочий лист.

12.4.3. Графически решить систему уравнений в указанном диапазоне с заданным шагом по индивидуальному заданию.

 

Таблица 11

 

№ варианта	Система уравнений	Диапазон изменения аргумента	Шаг изменения Аргумента Dх
		х Î[0,2;3]	D x =0,2
		х Î[0,2;3]	D x =0,2
		х Î[0;2]	D x =0,1
		х Î[0,2;3]	D x =0,1
		х Î[0;2]	D x =0,2
		х Î[0,2;3]	D x =0,1
		х Î[0;2]	D x =0,2
		х Î[0;2]	D x =0,1
		х Î[0;2]	D x =0,1
		х Î[0,2;3]	D x =0,2

 

Отчет по работе: Распечатка графиков.

13. Приближенное решение уравнений

Цель работы: Изучение работы с процедурой Подбор параметра.

Основные теоретические положения. Нахождение корней уравнения вида f (x) = 0 даже в случае алгебраических уравнений третьей степени достаточно сложно. Поэтому широко используется приближенное решение уравнений.

Обычно применяют итерационные методы, когда сначала выбирают некоторое начальное приближение х ⁽⁰⁾, затем вычисляют последовательные приближения к истинному значению х.

В Excel для приближенного решения уравнений используются процедуры Подбор параметра и Поиск решений. В данной работе мы познакомимся с использованием процедуры Подбор параметра.

Порядок выполнения работы

Задание 1. Решить уравнение ln x =0.

Задание 2. Решить уравнение х ²-3 х +2=0.

Задание 3. Решить уравнение согласно индивидуальному заданию.

13.1. Выполнение задания 1

13.1.1. Создать новую рабочую книгу (команды Файл – Создать при работес Excel 2003 или кнопка Office – Создать при работе с Excel 2007).

 

13.1.2. В ячейку А1 введем заголовок Приближенное значение корня.

 

13.1.3. В ячейку В1 вводим заголовок Левая часть уравнения.

 

13.1.4. В ячейку А2 вводим первое приближенное значение корня, например число 3.

13.1.5. В ячейку В2 вводим формулу для вычисления левой части уравнения в зависимости от аргумента х: =LN(A2).

Фрагмент получившейся таблицы в режиме показа вычислений приведен в табл. 12, а в режиме показа формул – в табл. 13.

	Таблица 13   A B   Приближенное значение корня Левая часть уравнения     =LN(A2)

Таблица 12

	A	B
	Приближенное значение корня	Левая часть уравнения
		1,098612289

 

13.1.6. Для получения приближенного решения уравнения обратимся к процедуре Подбор параметра.

а) Для вызова процедуры Подбор параметра выполнить команды Сервис – Подбор параметра (при работе с Excel 2007 выполняем команды: меню Данные – вкладка Работа с данными – Подбор параметра).

б) в появившемся диалоговом окне Подбор параметра ввести:

Установить в ячейке В2

Значение 0

Изменяя значение ячейки А2

и щелкнуть по кнопке Ок;

в) в появившемся диалоговом окне Результат подбора параметра щелкнем по Ок, чтобы сохранить полученные результаты.

В ячейке А2 получаем приближенное значение корня х =0,999872.

При этом погрешность решения показана в ячейке в ячейке В2: вместо 0 (значение правой части уравнения при его решении) там находится значение

– 0,00013.

Если округлить корень, получим х = 1, что и является известным аналитическим решением уравнения ln x = 0.

13.2. Выполнение задания 2

При решении уравнения х ² – 3 х + 2 = 0 очевидно, что должны быть получены два корня. Значит, придется дважды задавать начальное приближение корня и обращаться к процедуре Подбор параметра.

13.2.1. Открыть новый рабочий лист (щелчок правой клавишей мыши по имени любого листа - Добавить - Лист).

13.2.2. В ячейку А1 ввести заголовок Приближенное значение первого корня.

13.2.3. В ячейку В1 ввести заголовок Приближенное значение второго корня.

13.2.4. В ячейку С1 внести заголовок Левая часть уравнения.

13.2.5. В ячейку А2 внести ориентировочное значение первого корня, например, число +3.

13.2.6. В ячейку С2 вводим формулу для вычисления левой части уравнения:

=А2^2-3*A2+2

13.2.7. Вызвать процедуру Подбор параметра:

а) Сервис – Подбор параметра (Данные – вкладка Работа с данными – Подбор параметра);

б) ввести:

Установить в ячейке С2

Значение 0

.

Изменяя значение ячейки А2

щелкнуть по Ок;

в) щелкнуть по Ок в окне Результат подбора параметра.

В ячейке А2 получим приближенное значение первого корня х ₁=2,000048. При этом точность решения (значение правой части уравнения) показана в ячейке С2: вместо 0 получаем число 4,85Е-05 (т. е. 0,0000485).

13.2.8. Для нахождения второго корня в ячейку В2 внести его ориентировочное значение, например число –3, а в ячейку С2 вводим формулу =В2^2-3*В2+2.

13.2.9. Повторить процедуру поиска приближенного решения уравнения:

а) Сервис – Подбор параметра (Данные – вкладка Работа с данными – Подбор параметра);

б) ввести:

Установить в ячейке С2

Значение 0

.

Изменяя значение ячейки В2

щелкнуть по Ок;

в) щелкнуть по Ок в окне Результат подбора параметра.

В ячейке В2 получим приближенное значение второго корня: х ₂=0,9996.

13.3. Выполнение задания 3

13.3.1. Выбрать из табл. 14 индивидуальное задание согласно указанию преподавателя.

13.3.2. Добавить новый лист

13.3.3. Найти корни уравнения по индивидуальному заданию.

Таблица 14

№ варианта	Уравнение	№ варианта	Уравнение
	х 3-3 х 2+ х =0		х 3+ х 2-6 х =0
	х 3-7 х +6=0		х 3+0,5 х 2-3,5 х -3=0
	х 3+2 х 2-5 х -6=0		х 3+0,5 х 2-3 х =0
	х 3+3 х 2-4 х -12=0		х 3-1,5 х 2-2,5 х +3=0
	х 3- х 2-8 х -12=0		х 3-3,5 х 2-1,5 х +9=0

 

Отчет по работе: Распечатки таблиц с найденными значениями корней уравнений.