Работа с векторами и матрицами

Задание: Решить линейную систему уравнений 3 – го порядка. Коэффициенты задать самим (Решение проверить в ручную, применив один из численных методов). Найти собственные значения и вектор квадратной матрицы А.

Вектор решения х такой, что х = А⁻¹∙В

3.1. Запустите программу MathCad.

3.2. Создайте матрицу А. Начните запись оператора присваивания, а для ввода правой части нажмите комбинацию клавиш CTRL и M, воспользуйтесь командой Insert → Matrix (Вставка → Матрица) из меню Математика или щелкните на кнопке Matrix or Vector (Матрица или вектор) на панели инструментов Matrix (Матрица).

3.3. В открывшемся диалоговом окне Matrix (Вставка) укажите число строк и столбцов (по три) и щелкните на кнопке Ок.

3.4. Введите значения элементов матрицы в отведенные места.

3.5. Аналогичным образом сформируйте матрицу В. Она будет представлять собой матрицу, имеющую только один столбец.

3.6. Решение уравнения можно получить используя функцию lsolve(A,B) или х: = А⁻¹∙В.

3.7. Собственные значения квадратной матрицы можно получить при помощи функ­ции eigenvals. Результатом ее работы является вектор собственных значений, присвойте его переменной L.

3.8. Функция eigenvec позволяет получить собственный вектор, соответствующий данному собственному значению. Ей нужны два параметра: матрица, для которой ищется собственный вектор, и собственное значение, которому он соответствует. Чтобы записать собственные вектора в качестве столбцов матрицы S, надо при­своить вычисленное значение столбцу матрицы. Столбцы матрицы в программе MathCad выбираются специальным верхним индексом, заключенным в угловые скобки. Чтобы ввести номер столбца, нажмите комбинацию клавиш CTRL и 6 или щелкните на кнопке Matrix Column (Столбец) на панели инструментов Matrix (Матрица), после чего введите номер нужного столбца матрицы. Будьте внима­тельны - столбцы и строки матрицы нумеруются, начиная с нуля.

3.9. В правой части оператора присваивания надо указать собственное значение матрицы. Собственные значения являются элементами вектора L. Номер эле­мента указывается как нижний индекс. Для ввода нижнего индекса нажмите клавишу [ или воспользуйтесь кнопкой Subscript (Индекс) на панели инструмен­тов Matrix. Итоговый оператор для первого собственного вектора будет выглядеть следующим образом: S^<0>:= eigenvec(A,L₀). Аналогично задайте операторы для второго и третьего собственных значений.

В работе также произвести следующие действия над матрицей: 1) транспонировать (А^Т); 2) вычислить обратную к А матрицу А^–1; 3) возвести матрицу А в 3-ю степень.

Содержание отчета: 1) задание на работу; 2) исходные данные, математические формулы и результаты расчетов; 3) выводы по работе.

Аналитические вычисления

Задание 1: Определить точку пересечения двух прямых, описываемых уравнениями

х + 2∙π∙у = а

4∙х + у = b

4.1.1. Запустите программу MathCad.

4.1.2. Введите ключевое слово given.

4.1.3. Введите уравнения прямых.

4.1.4. Введите функцию find, перечислив в качестве параметров неизвестные х, у. Затем введите оператор аналитического вычисления комбинацией клавиш CTRL и. или ввести команду Вычислить, Вычислить в символах из меню ″Символика″.

4.1.5. Щелкните за пределами данного блока, и программа MathCad произведет анали­тическое решение системы уравнений.

Задание 2: Найти все корни уравнения:

(1 + y – y²)² +y = 2

Это уравнение четвертого порядка. Легко подобрать один корень (у = 1). Остающееся уравнение третьего порядка не имеет рациональных корней, так что поиск других корней этого уравнения – дело непростое. Неясно даже, сколько еще действительных корней имеет данное уравнение. Результаты численного решения зависят от подбора начального приближения и поэтому не гарантируют отыскание всех корней уравнения. Мы же решим это уравнение аналитически.

4.2.1. Введите заданное уравнение. Чтобы раскрыть скобки, в начале выделите все выражение, а затем дайте команду Symbolics → Simplify (Аналитические вычисления → Упростить).

4.2.2. Выделите в полученном уравнении независимую переменную (в данном слу­чае у) и выберите Решить относительно переменной из меню ″ Символика ″.

Программа MathCad выдаст вектор, элементами которого являются корни дан­ного уравнения.

12.2.3. Для упрощения полученного выражения вначале выделите его, а затем дайте команду Symbolics → Simplify (Аналитические вычисления → Упростить).

4.2.5. Чтобы получить результат в числовом виде (1, 1.802, -1.247, 0.445), достаточно ввести в конце выраже­ния (итогового или на любой из предыдущих стадий) команду вычисления (=).

Задание 3: Вычислить интеграл от х²∙е^х в общем виде.

4.3.1. Запустите программу MathCad.

4.3.2. Введите заданную функцию.

4.3.3. Щелкните на х (после этого она будет выделена в виде черного прямоугольника).

4.3.4. Выберите команду Интегрировать по переменной из меню ″Символика″.

4.3.5 Или

Содержание отчета: 1) задание на работу; 2) исходные данные, математические формулы и результаты расчетов; 3) выводы по работе.