Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Топ:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Интересное:
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Дисциплины:
2017-09-30 | 316 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
В §5 главы V были приведены уравнения диффузии при наличии распада молекул диффундирующего газа и при наличии цепных реакций:
, (11)
где u (x, y, z) – концентрация газа в единице объема
При записи этого уравнения предполагалось, что скорость реакций пропорциональна концентрации. Если эти процессы носят стационарный характер, то производная по времени будет рана нулю и вместо уравнения (11) мы получим уравнение Гельмгольца в виде
, (12)
или
, где .
Диффузия в движущейся среде
Если рассмотреть диффузию газа не в неподвижной среде, как это было в упомянутом уже §5 главы V, а в заданном стационарном потоке, скорость которого в точке M (x, y, z) вектором v, то количество газа, протекающего через элементарную площадку dσ в токе М будет равно
,
где D – коэффициент диффузии, n – нормаль к площадке dσ.
Поскольку внутри некоторого объема Т, ограниченного поверхностью S, в рассматриваемом случае источники газа отсутствуют, то суммарный поток через поверхность S равен нулю
Воспользовавшись формулой Гаусса-Остроградского, получим
Отсюда в силу произвольности объема Т вытекает уравнение диффузии в заданном стационарном потоке газа
(13)
К такому же уравнению мы придем и в задаче о распространении тепла в стационарно движущейся среде.
Если коэффициент диффузии D и скорость потока v являются постоянными величинами, то вместо уравнения (13) мы получим уравнение
, (14)
которое называют также уравнением газовой атаки. В одномерном случае, когда постоянная скорость основного потока направлена по оси x и равна v 0,оно будет иметь вид
Если положить
и затем выбрать , то для функции w мы получим уравнение Гельмгольца в виде
,
где .
|
Внутренняя краевая задача
Можно показать, что всякое уравнение эллиптического типа с постоянными коэффициентами можно привести к уравнению вида
(15)
В предыдущем параграфе мы выяснили, что свойства решения этого уравнения существенно зависят от знака коэффициента с. При диффузионной интерпретации уравнения это понятно с физической точки зрения.
При справедлив принцип максимального значения, который заключается в следующем:
Решение уравнения (15) внутри области задания Т не может достигать во внутренних точках области своего максимального положительного и минимального отрицательного значений.
Действительно, пусть в некоторой внутренней точке М 0области Т, функция u (M 0) достигает своего максимального положительного значения, тогда в этой точке
,
но тогда и , а значит уравнение (15) не может быть выполненным, поскольку левая часть уравнения будет строго меньше нуля. Изложенное рассуждение применимо и к случаю минимального отрицательного значения.
Исходя из принципа максимального значения, можно легко доказать единственность решения первой внутренней краевой задачи, которая формулируется следующим образом:
Существует только одно решение уравнения (15), определенное и непрерывное в области Т вместе с её границей S и принимающее на этой границе заданное значение
(16)
В самом деле, допустив существования двух разных решений u 1 и u 2, удовлетворяющих условию (16), рассмотрим функцию , которая также будет удовлетворять уравнению (15), а на границе будет равна нулю. Тога в силу принципа максимального значения это нулевое значение функции u будет максимальным (положительным) или минимальным (отрицательным) значением, из чего следует, что оно должно быть нулевым во всей области, т.е. функция u 1 должна быть равна функции u 2. Таким образом, решение первой внутренней краевой задачи будет единственным (при ).
При единственность может и не иметь места. Вопрос о множественности или единственности решения первой краевой задачи зависит от того, совпадает ли значение с с одним из собственных значений λ n однородной краевой задачи.
|
,
|
|
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!