История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Интересное:
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Дисциплины:
2017-09-30 | 310 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
В отличие от потенциала двойного слоя потенциал простого слоя
(18)
непрерывен в точках поверхности S. Чтобы убедиться в этом для случая гладкой поверхности достаточно установить равномерную сходимость интеграла V (M) в точках поверхности S.
Пусть P 0 – некоторая точка поверхности S. Представим потенциал V (M) в виде суммы
где S 1 – достаточно малая часть поверхности S, содержащаяся в сфере радиуса δ с центром в точке P 0.
Рассмотрим систему координат с началом в точке P 0, у которой ось z направлена по внешней нормали в точке P 0. Пусть M (x, y, z) – произвольная точка, отстоящая от P 0(0,0,0) на расстоянии . Обозначим через S1' проекцию S 1 на плоскость (x, y), а через – круг радиуса 2 δ с центром в точке M' (x, y, 0), целиком содержащий область S1'. Предполагая ограниченность функции
и принимая во внимание, что
,
где γ - угол, а также, что
,
получим
,
при условии, что δ настолько мало, что cos γ >1/2.
Введем теперь в плоскости x, y полярную систему координат (ρ, φ) с началом в точке М'. Тогда последний интеграл легко вычисляется
и мы, выбирая δ=ε/ 8 πA, можем окончательно записать
,
если МР 0 < δ. Следовательно, интеграл V (M) равномерно сходится в любой точке и является непрерывной функцией в этой точке.
Обратимся теперь к изучению поведения нормальных производных потенциала простого слоя при переходе через поверхность. Покажем, что они имеют на S, разрыв такого же типа, как и потенциал двойного слоя.
Внешняя и внутренняя нормальные производные функции V (M), т.е. и , определяются следующим образом. Пусть P 0 – некоторая точка S. Из точки P 0 проведем ось z, которую можно направить либо вдоль внешней, либо вдоль внутренней нормали.
|
Рассмотрим производную в некоторой точке М на оси z. Обозначим и пределы производной при стремлении точки М к точке P 0 с внутренней или с наружной стороны поверхности S. Если ось z направлена по внешней нормали, то это значения называются предельными значениями производной по внешней нормали, если же ось z направлена по внутренней нормали, то это значения называются предельными значениями производной по внутренней нормали в точке P 0.
Исследуем разрывы внутренней нормальной производной потенциала простого слоя на S. Производная в точке М оси z направленной по внутренней нормали, равна
(19)
где ψ – угол между осью z и вектором . Проведем из точки Р (Рис. 35) внутреннюю нормаль PQ и прямую PN, параллельную оси z (т.е. нормали в точке P 0), и обозначим через θ угол NPQ, равный углу между нормалями в точках Р и P 0. Выражение для потенциала двойного слоя W (M)содержит множитель , где . Так как угол MPN равен , то можно показать, что
где Ω двухгранный угол с ребром PQ. Отсюда следует, что
(20)
где W 1(M) – потенциал двойного слоя с плотностью , имеющий разрыв на поверхности S. Очевидно, что интеграл I (M) является функцией, непрерывной в точке Р 0, так как I (M) сходится равномерно в этой точке. Тогда возвращаясь к формуле (20) можем написать
(21)
Обозначим теперь
где ψ 0 – угол между осью z и вектором Р 0 Р. Замечая далее, что , находим
(22)
так как по условию ось z направлена по внутренней нормали. Если ось z направить по внешней нормали, то знак изменится, и мы получим
(23)
Для случая двух переменных имеют место аналогичные формулы с заменой 2 π на π.
|
|
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!