Усредненные уравнения Лоренца-Максвелла

Если к уравнениям (1) – (2) присоединить уравнения движения истинных зарядов – электронов и ионов, то становится понятно, что решение такой системы уравнений невозможно, да и возможность самой записи такой системы уравнений весьма проблематична. В такой ситуации приходится переходить к рассмотрению полей и токов, усредненных по большому числу элементов микроструктуры, т.е. переходить к описанию процессов на уровне сплошной среды. При этом естественно приходится вводить свойства этой среды.

После проведения операции осреднения система уравнений принимает вид

(7)

(8)

(9)

(10)

Входящие в эти уравнения величины E, H, j и ρ имеют здесь уже иной смысл (описать), чем в уравнениях (1) – (4), не смотря на совпадение обозначений. Кроме того в системе (7) – (10) появились и новые дополнительные величины D и B, которые при для однородных и изотропных сред связываются с уже имеющимися величинами следующими соотношениями, которые иногда называют материальными уравнениями поля.

(11)

где ε – диэлектрическая постоянная, μ – магнитная проницаемость, σ – проводимость среды.

Если проводимость среды отсутствует, т.е. , а (случай вакуума), то уравнения (7) с учетом (8) упрощаются. и примет вид

(12)

Законы электромагнитного поля, выраженные в дифференциальной форме уравнениями (7-10), могут быть выражены и в интегральной форме

(13)

(14)

В уравнении (10) i – полный ток, который равен

где – так называемый ток смещения. Тогда полный ток равен

В формулах (13) и (14) интегрирование производится по контуру С и по поверхности S, опирающейся на этот контур. Величина Ф в формуле (14) называется потоком индукции, который пронизывает контур С. Он равен

Обозначая через Т некоторый замкнутый объем, а через S – ограничивающую его поверхность, мы вместо третьего и четвертого уравнений системы (7-10) можем записать

(15)

(16)

где е – полный заряд внутри объема Т.

Уравнения (13) – (16) имеют простой физический смысл и являются математическим выражением основных опытных фактов, послуживших основанием для вывода уравнений Максвелла. Так, уравнение (13) является обобщением известного закона Био-Савара, уравнение (14) выражает собой закон электромагнитной индукции Фарадея, уравнение (16) может быть выведено непосредственно из закона Кулона, а уравнение (15) является следствием замкнутости силовых линий магнитного поля.

Уравнения Максвелла вместе с граничными условиями позволяют однозначно найти электромагнитное поле в некотором пространстве по заданному начальному состоянию поля. При этом в случае неоднородной среды для однозначного определения поля достаточно использовать условия непрерывности тангенциальных составляющих поля на границе двух сред I и II

;

Если электромагнитный процесс является стационарным, то уравнения максвелла принимают вид

Если, кроме того, среда не обладает проводимостью, т.е. σ = 0, то мы получим две независимые системы уравнений для электрического и магнитного полей

это уравнения электростатики

и

это уравнения магнитостатики

В случае однородной среды можно получить уравнения для каждого из векторов E и H в отдельности. Предположим, что ρ = 0. Применяя в этом случае к уравнению (8) операцию rot, мы получим

используя уравнение (7), а также известное соотношение

мы получим

,

но поскольку

,

то окончательно придем к волновому уравнению для вектора H

(17)

где .

Аналогично можно получить и волновое уравнение длявектора E

(18)

Таким образом, мы получили волновые уравнения для векторов H и E в диэлектрике. Их проекции E_x, E_y, E_z, H_x, H_y, H_z будут соответственно удовлетворять волновому уравнению

Г л а в а XI. Уравнения гидродинамики и газовой динамики

 

В §1 главы VI мы познакомились с уравнением неразрывности, которое в условиях сплошной среды неминуемо должно выполняться при описании движения жидкости

(1)

которое, пользуясь определением полной производной, также можно записать в виде

, (1')

где ρ (x, y, z, t) – плотность жидкости, V – вектор скорости, а f (x, y, z, t) – заданная объемная плотность источников жидкости, в отсутствии которых уравнение неразрывности упрощается

(2)

Следует также заметить, что в отличие от физики, где жидкость и газ различаются как разные агрегатные состояния, в механике они различаются по тем уравнениям, которым подчиняется их движение. При этом, в основе различий этих уравнений лежит положение о том, что жидкость в отличие от газа является несжимаемой. Конечно, как и каждое положение в механике, да и в физике в целом, не является абсолютным справедливо лишь в определенных пределах. Так в условиях несжимаемости невозможно описать распространение в жидкости звуковых волн. Однако в механике, если жидкость в какой-то задаче проявляет свойства сжимаемости, то она рассматривается как газ или в постановке задачи специально оговаривается, что жидкость сжимаема и для её описания пользуются уравнениями газовой динамики.

В связи с выше сказанным, мы будем считать плотность жидкости постоянной величиной, и тогда уравнение неразрывности записывается как

(3)

или в отсутствии источников

(4)

В главе VI мы также познакомились с особым, но достаточно часто встречающимся видом течения жидкости. Это так называемое потенциальное течение, при котором вектор скорости имеет потенциал, т.е.

(5)

В этом случае, подставив (5) в (3) мы получим уравнение относительно функции и, которая называется потенциальной функцией тока

(6)

Это знакомое нам уравнение Пуассона, которое с учетом зависимости (5) полностью определяет в стационарном случае течение жидкости. Иначе говоря, при выполнении условия (5) для описания течения жидкости оказывается достаточно уравнения неразрывности.

Отметим, что потенциальное течение называют также безвихревым, поскольку можно показать, что для выполнения условия (5) нужно, чтобы выполнялось требование об отсутствии в течении вихрей скорости, т.е.

(7)

 

Течение идеальной жидкости

Если для жидкости условие (5) не выполняется, т.е. течение не является потенциальным, одного уравнения неразрывности уже не достаточно для определения трех компонент скорости. Необходимо дополнить его векторным уравнением, выражающим закон изменения количества движения для жидкости. Для этого выделим произвольный объем жидкости τ. Записав сначала количество движения для элементарного объема dτ

,

мы можем получить выражение количества движения для всего объема

Тогда изменение количества движения этого объема жидкости в единицу времени будет равно

, (8)

но поскольку элемент массы ρdτ остается постоянным, то операцию дифференцирования можно внести под знак интеграла и вместо (8) можем написать

(9)

Входящая в этот интеграл производная определяет изменение скорости в данной неподвижной точке, а изменение скорости частицы жидкости, передвигающейся в пространстве. Таким образом, есть полная производная по времени, которая, как известно, для некоторой скалярной величины А записывается следующим образом

Именно так и будет выглядеть полная производная для каждой из проекций скорости, т.е.

(10)

Согласно закону об изменении количества оно равно сумме сил, действующих в данном случае на жидкость, заключенную в объеме τ, ограниченном поверхностью S. Эти силы будут состоять из некой внешней силы F (x, y, z), рассчитанной (для удобства) на единицу массы, и сил действующих на объем τ со стороны жидкости, внешней по отношению к объему τ.

Мы рассмотрим тот случай, когда частицы жидкости при взаимодействии друг с другом будут оказывать друг на друга давление, но между ними не будет возникать сил трения. Это означает, что на воображаемую поверхность S с внешней стороны будет оказываться сила, действующая по нормали к этой поверхности, и не будет сил, действующих по касательной к поверхности S. Такую жидкость называют идеальной. Сила, действующая по нормали к поверхности и рассчитанная на единицу поверхности, называется давлением и определяется как скалярная величина p (x, y, z, t).

Суммарное давление со стороны внешней жидкости на поверхность S будет равно

где n – единичный вектор внутренней нормали. Применяя формулу Гаусса-Остроградского, получим

(11)

В свою очередь, суммарная внешняя сила, действующая на объем τ, будет равна

(12)

Собирая теперь формулы (9), (11) и (12) запишем закон изменения количества движения

(13)

Отсюда в силу произвольности объема τ после деления на ρ следует

(14)

Это векторное уравнение есть ни что иное как уравнение движения жидкости. Его называют уравнением Эйлера. Вместе с уравнением неразрывности (3) оно представляет собой систему четырех скалярных уравнений для определения одной векторной величины V (x, y, z, t) и одной скалярной p (x, y, z, t):

(14')

Следует заметить, что понятие идеальная жидкость это всего лишь модель жидкости, пригодная для описания движения жидкостей, в которых силы трения между частицами малы по сравнению с инерционными силами. В связи с этим одна и та же жидкость может проявлять свойство идеальности при одних скоростях движения и не проявлять при других (достаточно медленных).

Течение вязкой жидкости

В отличие от идеальной жидкости, кроме давления, которое всегда направлено по нормали к границе соприкосновения, действуют силы, лежащие в касательной плоскости к этой границе и стремящиеся уменьшить относительную скорость соприкасающихся частей жидкости. Это явление называют вязкостью. Таким образом, для описания всех компонентов сопротивления (давления и вязкости) мы приходим, как и для уравнений теории упругости (§1, гл. IX), к необходимости воспользоваться понятием тензора напряжений

,

Касательные напряжения σ_ij по своей природе зависят от производных от скорости по координате, т.е.

(15)

Здесь для удобства записи принимается .

Надо понимать, что соотношение (15) будет разным не только для разных жидкостей, но и для одной и той же жидкости, но в разных условиях. В связи с этим каждую выбранную конкретную зависимость нужно рассматривать как модель жидкости, пригодную для решения конкретной задачи. В простейшем случае соотношение (15) считают линейным, т.е. выбирают линейную модель, что оказывается приемлемым для целого ряда задач. Такие жидкости принято называть ньютоновскими. Наряду с этим существует целый ряд нелинейных моделей жидкости, которые объединяют в широкий класс неньютоновских жидкостей.

Ньютоновские жидкости.

Можно показать, что в линейном случае, т.е. в случае ньютоновской жидкости уравнение движения вязкой жидкости можно записать в следующем виде

(i = 1, 2, 3) (16)

где μ – так называемый коэффициент вязкости.

Эта система уравнений носит название уравнения Навье-Стокса. Чтобы определить все неизвестные функции v_x, v_y, v_z и p к ней естественно нужно добавить уравнение неразрывности.

Одна из наиболее часто встречающихся задач является задача о движении вязкой жидкости в круглой трубе. В этом случае удобно пользоваться цилиндрической системой координат (r, φ, z). В этой системе урав­не­ния движения вяз­кой не­сжи­мае­мой жид­ко­сти вместе с уравнением неразрывности име­ют вид:

(17)

где ; – ко­эф­фи­ци­ент ди­на­ми­че­ской вяз­ко­сти; – плот­ность; , и – осе­вая, ра­ди­аль­ная и уг­ло­вая ком­по­нен­ты ско­ро­сти, со­от­вет­ст­вен­но.

 

Неньютоновские жидкости.

В качестве примера уравнений движения для неньютоновской жидкости приведем уравнения движения так называемой степенной модели жидкости, которые в цилиндрической системе координат (r, θ, z) имеют вид

(18)

где выражение для A и определяет степенной вид неньютоновской жидкости

В приведенных формулах F_r, F_{q ,} F_z – компоненты вектора напряжения массовых сил, которые считаются заданными; n и k – реологические константы, которые определяются из эксперимента.