Стохастические модели управления запасами

Рассмотрим стохастические модели управления запасами, у которых спрос является случайным. Это обстоятельство существенно усложняет модели и их анализ, по этой причине рассмотрим самые простые.

Предположим, что спрос r за интервал времени Т является случайным и задан его закон (ряд) распределения p(r), или плотность вероятностей (обычно p(r) и оценивают на основании опытных или статистических данных).

Если спрос r ниже уровня s, то приобретение (хранение, продажа) излишка продукта требует дополнительных затрат C₂ на единицу продукта; если спрос r выше уровня запаса s, то это приводит к штрафу за дефицит C₃ на единицу продукта.

В качестве функции суммарных затрат, являющейся в стохастических моделях случайной величины, рассматривают ее среднее значение или математическое ожидание.

В рассматриваемой модели при дискретном случайном спросе r, имеющем закон распределения p(r), математическое ожидание суммарных затрат (учитываем только расходы на неиспользованные единицы продукта) имеет вид:

(3.28)

В этом выражении первое слагаемое учитывает затраты на приобретение (хранение) излишка единиц продукта s-r (при ), а второе слагаемое – штраф за дефицит на r-s единиц продукта (при ).

В случае непрерывного случайного спроса, задеваемого плотностью вероятностей , выражение C(s) будет иметь вид:

(3.29)

Задача управления запасами состоит в отыскании такого запаса s, при котором математическое ожидание суммарных затрат (3.28) и (3.29) принимает минимальное значение.

В теории управления операций доказано, что при дискретном случайном спросе r выражение (3.28) минимально при запасе s₀ удовлетворяющее неравенством

(3.30)

а при непрерывном случайном спросе r выражение (3.29) минимально при значении s₀ определяемом из уравнения

(3.31)

где

(3.32)

Есть функция распределения спроса r, F(s₀) и F(s₀+1) – ее значения; - плотность убытков из-за неудовлетворенного спроса, определяемая

 

Оптимальный запас s₀ при непрерывном спросе по данному значению может быть найден графически.

Пример 6. Предприятие закупает агрегат с запасными блоками к нему. Стоимость одного блока равна 5 ден.ед. В случае выхода агрегата из строя из-за поломки блока, отсутствующего в запасе, простой агрегате и срочный заказ нового блока к нему обойдется в 100 ден.ед. Опытное распределение агрегатов по числу блоков, потребовавших замену, представлено в таблице.

Число замененных блоков r
Статистическая вероятность (доля) агрегатов p(r), которым потребовалась замена r блоков	0,9	0,05	0,02	0,01	0,01	0,01	0,00

 

Необходимо определить оптимальное число запасных блоков, которое следует приобрести вместе с агрегатом.

Решение. По условию задачи с₂=5 и с₃=100. Плотность убытков из-за нехватки запасных блоков вычислим по формуле ;

Учитывая , найдем значения функции распределения спроса.

 

s								>6
r								>6
F(s)	0,00	0,00	0,9	0,95	0,97	0,98	0,99

 

Как следует из таблицы, оптимальный запас составляет s₀=3, ибо он удовлетворяет неравенству

F(3)<0,952<F(4)

Пример 7. Решить задачу 6 при условии непрерывного случайного спроса r, распределенного по показательному закону с функцией распределения при .

Решение. Оптимальное число запасных блоков s₀ найдем из уравнения , т.е. , если r=s₀, то

и при

блока

В условиях рассматриваемой модели, предположим, что расходование запаса происходит непрерывно с одинаковой относительностью. Эту ситуацию можно представить графически.

 

а – соответствует случаю , когда спрос не превосходит запас

б – спрос превышает запас .

Замечание: на самом деле график y(t) представляет ступенчатую ломанную, показанную пунктиром, но для исследования модели проще рассматривать y(t) в виде прямой сглаживающей эту ломанную.

Для случая (а) средний запас определяется

(3.33)

Для случая (б) средний запас с учетом полученной ранее зависимости ; , в которой полагаем n=r, составляет

(3.34)

Средний дефицит продукта за период Т₂ для случая (б) при условии n=r

(3.35)

Математическое ожидание суммарных затрат будет

(3.36)

Существует строгое доказательство, что математическое ожидание минимально при s₀, удовлетворяющему неравенству

(3.37)

где , а (3.38)

L(s₀) и L(s₀+1) – значения функции, полученной по формуле (3.38), а F(s) находится как .

 

Пример 8. Имеющиеся на складе изделия равномерно расходуются в течение месяца. Затраты на хранение одного изделия составляют 5 ден.ед., а штраф за дефицит одного изделия обходится в 100 ден.ед. Изучение спроса дало распределение числа потребляемых за месяц изделий представлено в таблице

Необходимо определить оптимальный месячный запас склада.

 

Спрос r							6
Статистическая вероятность p(r)	0,1	0,2	0,2	0,3	0,1	0,1	0,0

 

 

Решение: с₂=5; с₃=100;

Значение функции L(r) определим с помощью таблицы

s	r	p(r)				F(r)	L(r)
		0,1	-	-	-	0,0	-
		0,2	0,200	0,445	0,2225	0,1	0,325
		0,2	0,100	0,245	0,3675	0,3	0,6675
		0,3	0,100	0,145	0,3625	0,5	0,8625
		0,1	0,025	0,045	0,1575	0,8	0,9575
		0,1	0,020	0,020	0,0900	0,9	0,99
6	6	0,000	0,000	0,000	0,000	1,0	1,000

Очевидно, что оптимальный запас изделий s₀=3, т.к. он удовлетворяет условию .