Понятие марковского случайного процесса

Процесс работы СМО представляет собой случайный процесс.

Под случайным процессом понимается процесс изменения во времени состояния какой-либо системы в соответствии с вероятностными характеристиками.

Процесс называется процессом с дискретными состояниями, если его возможные состояния s₁, s₂, s₃,… можно заранее перечислить, а переход системы из одного состояния в другое происходит мгновенно (скачком).

Процесс называется процессом с непрерывным временем, если моменты возможных переходов системы из состояния в состояние заранее не фиксированы, случайны.

Процесс работы СМО представляет собой случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем. Это означает, что состояние СМО меняется скачком в случайные моменты появления каких-то событий (например, прихода новой заявки, окончания обслуживания и т.п.).

Математический анализ работы СМО существенно упрощается, если процесс этой работы – марковский.

Случайный процесс называется марковским, если для любого момента времени t₀ вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент t₀ и не зависят о того, когда и как система пришла в это состояние.

Пример марковского процесса: процесс игры в шахматы. Пусть s – группа шахматных фигур. Состояние системы характеризуется числом фигур противника на момент . Вероятность того, что в момент материальный перевес будет на стороне одного из противников, зависит от того, в каком состоянии находится система в данный момент t₀, и не зависти от того, когда и в какой последовательности исчезли фигуры с доски до момента t₀.

При анализе случайных процессов с дискретными состояниями удобно пользоваться так называемым графом состояний. Обычно состояние системы изображается прямоугольниками (кружками), а возможные переходы из состояния в состояние – стрелками (ориентированными дугами), соединяющими состояния.

Для математического описания марковского случайного процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем, протекающего в СМО, рассмотрим более подробно понятие потока событий.

3. Потоки событий (требований)

Под потоком событий понимается последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени (например, потоки вызовов на телефонной станции, поток покупателей и т.п.).

В настоящее время теоретически наиболее разработаны методы решения таких задач СМО, в которых входящий поток требований является простейшим (пуассоновским).

Для простейшего потока частота поступления требований в систему подчиняется закону Пуассона, т.е. вероятность поступления за время ровно m требований задается формулой

(1)

Поток характеризуется интенсивностью - частотой появления событий или средним числом событий поступающих в СМО в единицу времени

,

где Т – средний интервал времени между соседними поступающими требованиями. Например: Т=3 мин, следовательно, на обслуживание в час прибудет 20 требований

Простейший поток обладает тремя основными свойствами:

- ординарности;

- стационарности;

- отсутствием последействия.

Ординарность потока означает практическую невозможность одновременного поступления двух и более требований.

Стационарным называется поток, у которого вероятностные характеристики не зависят от времени, т.е. интенсивность потока есть величина постоянная. Напомним, что в СМО требования могут поступать через различные промежутки времени, т.е. интервал между соседними поступающими требованиями – величина случайная, и - функция времени.

Отсутствие последствия означает, что число требований, поступивших в систему до момента t, не определяет того, сколько требований поступит в систему за промежуток от t до .

Важнейшей характеристикой СМО является также время обслуживания требований, поступающих в систему. Время обслуживания одного требования является, как правило, случайной величиной , следовательно, может быть описано законом распределения. Наибольшее распространение получил экспоненциальный закон распределения времени обслуживания. Функция распределения для этого закона имеет вид

, (2)

где – параметр экспоненциального закона (интенсивность обслуживания), т.е. величина, обратная среднему времени обслуживания