Теоремы сложения и умножения вероятностей

Теорема 1. Пусть с испытанием связаны события А, В. Справедлива формула:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В) – Р (А · В). (5)

Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения.

Доказательство. Проведем доказательство в рамках схемы геометрической вероятности.

Испытание: берут наугад точку в области D равновозможным образом (рис. 4).

Событие А: попадание в область d ₁;

Событие В: попадание в область d ₂.

 

р (А + В) = Р (попадание в заштрихованную область) =

=	благоприятная площадь	=	пл. d 1 + пл. d 2 –пл. d 3	=
вся возможная площадь	площадь D
=	пл. d 1	+	пл. d 2	–	пл. d 3	= Р (А) + Р (В) – Р (АВ),
пл. D	пл. D	пл. D

что и требовалось доказать.

 

Замечание 1. События А, В называются несовместными, если они не могут произойти одновременно при данном испытании. Для несовместных событий справедлива формула

Р (А + В) = Р (А) + Р (В). (6)

 

Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

 

В самом деле, по теореме сложения имеем:

 

.

Замечание 2. Справедлива формула:

Р (А) = 1 – Р ().

 

Вероятность наступления события равна единице минус веро­ятность ненаступления события. В самом деле:

 

;

.

 

Откуда имеем:

 

,

,

следовательно,

Р (А) + Р () = 1, то есть Р (А) = 1 – Р ().

 

Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей

Пусть с испытанием связаны события А,В. Запись Р (В / А) означает: вероятность события В при условии, что событие А наступило.

Поясним на примере.

Испытание: берут наугад точку в области D равновозможным образом.

Событие А: попадание в область d ₁;

Событие В: попадание в область d ₂.

 

Тогда, имеем (рис.5):

 

Р (В)= ,	Р (В / А) =	благоприятная площадь	=	пл. d 3
вся возможная площадь	пл. d 1	.

Вероятность Р (В / А) называется условной вероятностью.

 

Теорема 2. Справедлива формула

 

. (7)

 

Вероятность произведения двух событий равна вероятности одного из них, умноженного на вероятность другого при условии, что первое наступило.

Доказательство. Доказательство проведем в рамках схемы геометрической вероятности (рис. 5).

 

.

 

Замечание. 1. Будем говорить, что событие В не зависит от события А, если выполняется равенство Р (В / А) = Р (В), в этом случае

 

. (8)

 

Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Доказать самостоятельно:

если событие В не зависит от события А, то событие А не зависит от В.

 

2. .

 

Пример. В урне содержится 7 белых и 3 черных шара (рис. 6).

Испытание: из урны берут наугад два шара равновозможным образом.

Найти вероятность того, что они:

 

а) оба белые (Р (бб) –?);

б) оба черные (Р (чч) –?);

в) одного цвета;

г) разного цвета.

Решение.

I способ. По определению вероятности (1) (гл.1§1) и по формуле (2) имеем:

а) Р (бб) ;

б) Р (чч) .

II способ. По формулам (6) и (7) имеем:

а) Р (бб) = Р (1^й белый и 2^й белый) = Р (1^й белый) · Р (2^й б/ 1^й б) =

.

б) Р (чч) = Р (1^й черный и 2^й черный) = Р (1^й ч) · Р (2^й ч/ 1^й ч) =

.

в) Р (одного цвета) = Р (1^й б и 2^й б или 1^й ч и 2^й ч) = Р (бб + чч) =

= Р (бб) + Р (чч) = = .

г) I способ.

Р (разного цвета) = Р (б·ч + ч·б) = Р (б·ч) + Р (ч·б) =

.

II способ.

Р (разного цвета) = 1 – Р (одного цвета) = 1 – = .