Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Интересное:
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Дисциплины:
2017-06-11 | 297 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
При изучении нормального распределения было сформулировано следующее утверждение: если случайные величины x1, x2, …, x n независимы и нормальны с одними и теми же (а, s), то сумма x1 + x2 + … + x n также нормальна. Оказывается справедливо гораздо более глубокое утверждение: если случайные величины независимы и имеют один и тот же закон распределения (неважно какой), то при достаточно большом числе слагаемых сумма x1 + x2 + … + xn приближенно нормальна. Это утверждение называется центральной предельной теоремой теории вероятности.
Приведем строгую формулировку этой теоремы.
Рассмотрим бесконечную последовательность независимых случайных величин x1, x2, …, x n , … с одним и тем же законом распределения, в частности, с одними и теми же параметрами (а, s).
Сумма первых n случайных величин
x1 + x2 + … + x n (38)
имеет числовые характеристики
M = na, D = n s2 СКО=s . (39)
Обозначим Fn (х) функцию распределения случайной величины (38). Поставим вопрос: как меняется Fn (х) при неограниченном возрастании числа слагаемых?
Функция распределения нормальной случайной величины с числовыми характеристиками (39) имеет вид (см.§5 главы 4)
,
где Ф (х) – функция Лапласса. Справедлива
Теорема. В указанной ситуации имеет место соотношение
при n ® ¥.
Практически это означает: при достаточно большом числе слагаемых сумма (38) независимых случайных величин с одним и тем же законом распределения с большой точностью подчинена нормальному закону с параметрами (na, s ) независимо от закона распределения слагаемых.
Пример. Определить вероятность того, что продолжи-тельность 100 производственных операций окажется в пределах от 77 до 82 ч., если среднее время одной операции 47,4с., а среднеквадратическое отклонение – 4,9 с.
|
решение. Обозначим через x i – случайную величину, равную продолжительности i- ой производственной операции, i = 1, 2, …, 100. Очевидно, по условию а = m = 47, 4 с.,
с. Обозначим через – случайную величину равную продолжительности 100 производственных операций, тогда = x1 + x2 + … + x100. По условию x i независимые и однотипные случайные величины, следовательно, из центральной предельной теоремы вытекает, что приближенно нормальна, , и по формуле (19) имеем
Р (77 · 60≤ ≤ 82 · 60) = Р (4620 ≤ ≤ 4920) =
Замечание 1. Эта теорема впервые была доказана в XIXв. немецким математиком Линдебергом. Позднее русским ученым А.М.Ляпуновым утверждение этой теоремы было значительно усилено: оказалось, что в ней требование одинакового закона распределения слагаемых не обязательно.
Приведем нестрогую формулировку теоремы Ляпунова: если случайные величины x1, x2, …, x n независимы и каждая из них не доминирует над остальными, то при достаточно большом числе слагаемых их сумма приближенно нормальна.
Наиболее общая формулировка центральной предельной теоремы была получена русским ученым С.Н.Бернштейном в 20-е годы ХХ века.
Замечание 2. Теорема Ляпунова объясняет причину широкого распространения нормального закона. Действи-тельно, в ряде случаев случайные величины представляют собой результат наложения большого числа независимых небольших случайных факторов. Например, на показание измерительного прибора влияет большое число случайных факторов: колебание температуры, влажность и плотность воздуха, небольшие погрешности при изготовлении и эксплуатации прибора и т. д. Эти факторы независимы и каждый из них не доминирует над остальными, поэтому в силу теоремы Ляпунова показания прибора с большой точностью является нормальной случайной величиной.
Замечание 3. Покажем, что приведенная §6 гл.1 формула Муавра-Лапласа (13) является следствием центральной предельной теоремы.
В §2 главы 5 было показано: число успехов в схеме Бернулли может быть представлено в виде суммы (38) независимых случайных величин (индикаторов) с одним и тем же законом распределения и числовыми характеристиками m=np, D=npq.
|
Из центральной предельной теоремы следует: при достаточно большом числе испытаний число успехов x в схеме Бернулли является с большой точностью нормальной случайной величиной с функцией распределения
.
Откуда получаем
Глава 6. Элементы математической статистики
|
|
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!