Основные разделы прикладной математики, применяемые в экономических исследованиях

В любой науке по тем или иным признакам (в зависимости от целей исследования или по характеру рассматриваемого круга вопросов) можно выделить отдельные направления, разделы и части. Математика, возможно как никакая другая наука, объединяет в себе большое количество предметов — от классической линейной алгебры и математического анализа до современной актуарной математики. Процесс развития новых направлений продолжается. Некоторые из них изучаются в высших учебных заведениях, а другие в настоящее время даже не имеют общепринятого названия.

Наиболее укрупненной классификацией математической науки является ее деление на теоретическую (или «чистую») и прикладную математику. «Чистая» математика занимается теми вопросами, которые развивают саму математику как науку (т. е. она занимается внутренними вопросами). К прикладной математике относятся те разделы и методы, которые специально созданы или наилучшим образом подходят для решения задач, возникающих на практике (т.е. вне математики). Однако такое деление математической науки на две части является условным. Действительно, какой-то метод, будучи применен для решения практической задачи, не становится раз и навсегда прикладным, точно также, любой теоретический результат когда-то может быть привлечен для решения прикладной проблемы.

Экономическая наука для изучения микроэкономических проблем поднимается на высоту птичьего полета и «обозревает лес в целом», а для исследования макроэкономических понятий опускается на землю и «изучает деревья». Подобно этому прикладная математика более приземлена и менее абстрактна, чем «чистая» математика. Она проникает в различные сферы нашей жизни, приспосабливая к ним свой многофункциональный инструмент. Отсюда и появляются такие прикладные направления как математическая экономика, математическая социология, математическая экология, математическая лингвистика, финансовая математика.

К числу наиболее крупных разделов прикладной математики, применяемых в экономических исследованиях, следует отнести такой предмет как исследование операций.

Исследование операций – это наука, которая занимается построением математических моделей реальных задач и процессов, происходящих в различных сферах жизни (экономических, социальных, технических, военных и др.), их анализом и применениями. Большинство этих моделей связано с выработкой рекомендаций по принятию оптимальных (в том или ином смысле) решений.

Вопросы, посвященные основам моделирования – общие принципы, требования к.математическим моделям, этапы формализации, элементы математической модели, виды математических моделей – составляют общий (вводный) раздел исследования операций. Основными разделами исследования операций являются:

· игровые модели принятия решений (теория игр);

· системы массового обслуживания (теория массового обслуживания);

· задачи многокритериальной оптимизации;

· задачи исследования операции на графах;

· сетевое и календарное планирование (теория расписаний);

· модели управления запасами (теория запасов);

· имитационное моделирование.

Следует подчеркнуть условность такой структуры исследования операций. Во-первых, существует много других направлений математики, относящихся к математическим моделям задач принятия решения, и список разделов можно было бы продолжить. Во-вторых, любой из названных разделов, как по объему, так и по значимости составляет самостоятельную теорию и может существовать «автономно» от исследования операций. Таким образом, исследование операций — это обширный математический порт, в который «швартуются» родственные по направлению модели и методы.

Весьма близким к исследованию операций разделом прикладной математики является предмет методы оптимизации. Эта наука сформировалась раньше исследования операций и занимается так называемыми экстремальными задачами, суть которых состоит в отыскании максимального или минимального значения заданной функции (целевой функции) на заданном множестве значений ее аргументов (множества допустимых решений). Если множество допустимых решений задается (описывается) с помощью некоторых уравнений или неравенств (см. вышеприведенные модели (1.6.), (1.7.)), называемых ограничениями задачи, то экстремальные задачи называются задачами математического программирования. В зависимости от характера этих ограничений и целевой функции возникают задачи линейного программирования, нелинейного программирования, динамического программирования и некоторые их разновидности. Здесь термин «программирование» имеет смысл «планирования», «сравнения вариантов», «оптимизации». Поэтому его не надо путать с термином программирования на языках ЭВМ. Экстремальные задачи еще называют оптимизационными задачами или задачами оптимизации.

Не будет преувеличением сказать, что многие из перечисленных теорий возникли благодаря и для решения экономических задач. Ярким примером в этом смысле является теория игр — раздел исследования операций, изучающий конфликтные задачи принятия решений. Свидетельство тому — название первой фундаментальной монографии по теории игр: «Теория игр и экономической поведение», написанная создателями этой науки Дж. фон Нейманом и О.Моргенштерном в 1953 г.

Названные разделы исследования операций и методов оптимизации наиболее приспособлены для исследования так называемых статистических задач, т. е. для исследования экономики в некотором зафиксированным или "застывшем" состоянии, без учета динамики. Для учета влияния временного фактора привлекаются другие разделы прикладной математики. В первую очередь — это теория оптимального управления, сформировавшаяся более 40 лет назад, благодаря фундаментальным результатам Л. С. Понтрягина и
Р. Беллмана. Эта теория помогает исследовать модели экономической динамики и выработать наилучшие управленческие решения с учетом дискретного и непрерывного учета фактора времени.

При моделировании многих экономических задач возникает необходимость учета случайных факторов и возмущений. В этом случае наиболее подходящим инструментом является аппарат теории вероятностей – математической науки, изучающей закономерности в случайных явлениях.

В экономико-математических исследованиях важную роль играют статистические данные. Они нужны для изучения взаимосвязей и взаимозависимостей между экономическими факторами и показателями, для прогнозирования экономического развития на основе прошлого и настоящего опыта. Эти вопросы являются предметом математической статистики.

На экономических факультетах высших учебных заведений базовые математические знания преподаются обычно под названием «Высшая математика». В этот предмет входят основные разделы математического анализа, линейной алгебры, дифференциального исчисления и некоторые другие. Все эти дисциплины необходимы как для освоения выше приведенных разделов прикладной математики, так и для их применения непосредственно в экономико-математических исследованиях в качестве инструментария

 

 

1. Дайте понятия модели и моделирования. В чем суть адекватности модели? Приведите классификацию видов моделирования систем.

2. В чем состоит суть мысленного, наглядного и гипотетического моделирования? Когда и для чего они используются?

3. В чем суть языкового и символического моделирования? Опишите основные особенности этих методов.

4. В чем суть и основное назначение математического моделирования? Приведите классификацию математических моделей.

5. Что характерно для аналитического моделирования? в чем состоит основное назначение аналитических моделей при исследовании сложных систем и процессов? Что необходимо для реализации модели на ЭВМ?

6. Для чего необходимо и в чем основная суть имитационного моделирования? Что такое комбинированное моделирование и в чем его суть?

7. Что такое реальное моделирование? Приведите основные разновидности реального моделирования.

8. Как классифицируются математические модели с точки зрения математического описания объекта и в зависимости от его характера? В чем суть кибернетического моделирования?

9. Приведите классификацию моделей по признаку «целевое назначение». Представьте основные особенности моделей: жизненного цикла, операционных, информационных, процедурных, временных. Что такое стоимостная модель?

10. Приведите общую классификацию и опишите основные особенности моделей экономических систем. Что такое экономико-математическая модель?

11. Опишите основные понятия, применяемые при рассмотрении ЭММ: критерий оптимальности, целевая функция, система ограничений, уравнение связи.

12. Что означает понятие; решение математической модели? Что такое оптимальное решение?

13. В чем суть и содержание описательных и оптимизационных ЭММ? Приведите примеры описательных ЭММ.

14. Как делятся математические модели в зависимости от степени формализации связей в них? В чем основная суть и содержание алгоритмических моделей?

15. В чем суть стохастических и детерминированных моделей? Их основные отличия?

16. Как различаются математические модели по признаку «фактор времени»? Представьте основные особенности этих моделей.

17. Дайте определение системы. Дайте определения и общие представления системного подхода и системного анализа.

18. Что такое структура системы, объект, внешняя среда? В чем суть структурного и функционального подходов при анализе сложных систем?

19. В чем основное сходство и отличия классического и системного подходов? Поясните на примере синтеза математической модели системы.

20. Перечислите основные стадии построения моделей и их краткое содержание. В чем основные требования к разрабатываемым моделям систем и процессов?

21. В чем основное назначение и содержание экспериментальных исследований систем? Что такое эксперимент? Какие виды экспериментов существуют и в чем их отличия?

22. Опишите следующие характеристические особенности моделей как больших систем: целостность функционирования, сложность, целостность, неопределенность.

23. Опишите следующие характеристические особенности моделей как больших систем: поведенческая страта,.адаптивность, организационная структура, управляемость, возможность развития.

24. Раскройте проблему цели как наиболее важного аспекта моделирования сложных систем.

25. В чем суть принципов достаточности и инвариантности используемой информации, используемых при построении ЭММ?

26. В чем суть принципов преемственности и достаточной реализуемости, используемых при построении ЭММ?

27. Опишите основные моменты концептуальной модели – содержательной основы для построения математической модели объекта – как этапа построения и реализации модели на ЭВМ

28. Опишите основные проблемы построения математической модели на базе концептуальной модели как этапа построения и реализации модели на ЭВМ

29. В чем суть и содержание этапа исследования математической модели при построении и реализации модели на ЭВМ

30. Для чего составляется математическая модель, и какова ее роль в исследовании экономических задач? Перечислите основные принципы и требования, предъявляемые к таким моделям.

31. Дайте краткую характеристику основных элементов экономики в целом, как объекта моделирования. Проиллюстрируйте основные положения на примере.

32. Перечислите и охарактеризуйте основные разделы прикладной математики, применяемые в экономических исследованиях

Глава 2.
ПРОЦЕСС ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ