Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Топ:
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Оснащения врачебно-сестринской бригады.
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Интересное:
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Дисциплины:
2017-06-02 | 1174 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Определение.
Пусть – некоторые множества, .
Будем говорить, что отображает множество на множество , если
Определение.
Пусть – некоторые множества, .
Будем говорить, что – отображение на множество (= сюръективное = эпиморфное ), если
(для любого его прообраз не пуст.)
Пример.
Указать все подмножества , которые отображаются на множество
Определение.
Пусть , будем говорить, что – отображение на множество ( сюръективное отображение = эпиморфное ), если
(т.е. образ множества содержит всё )
и обозначать
Замечание №1.
(т.е. у любого его прообраз не пуст.)
Свойство эпиморфности: прообраз любого не пуст.
Замечание №2.
Так как для любого отображения , то для отображения на (т.е. ), имеем
Замечание №3.
Между инъективностью и сюръективностью никакой связи нет.
Изоморфизмы (биективные отображения)
Определение изоморфизма (биективного отображения)
Определение.
Пусть – некоторые множества, .
Если является отображением на (сюръективным отображением) и является взаимно-однозначным (инъективным), то говорят, что отображение является биективным (= биекцией множества на множество = изоморфизмом множеств )
Замечание.
Биективность означает, что для любого является одноэлементным множеством, т.е.
Примеры.
I. Построить биекцию отрезков и .
II. Пусть – произвольное множество.
Тождественным отображением множества на себя называют отображение
и обозначают
III. Перестановка множества.
Перечислите все перестановки трёхэлементного множества .
Замечание.
Для конечных множеств биекция множества на множество существует в том и только в том случае, когда оба множества имеют одинаковое число элементов.
|
Для бесконечных множеств можно установить биекцию множества на его собственное подмножество.
Пример №1.
IV. Построить биекцию между множеством натуральных чисел и множеством чётных натуральных чисел .
V. Построить биекцию между множеством целых чисел и множеством чётных целых чисел .
VI. Построить биекцию между интервалом и действительной прямой .
Пример №2.
Какие из следующих отображений являются, инъективными, какие сюръективными, какие биективными?
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) ;
11) ;
12) ;
13) ;
14) ;
15) ;
16) ;
17) ;
18) ;
19) ;
20) ;
21) ;
22) ;
23) ;
24) ;
25) ;
26) ;
27) ;
28) ;
29) ;
30) ;
31) ;
32) ;
33) ;
34) ;
35) ;
36) ;
37) ;
38) ;
39) ;
40) ;
41) ;
42) ;
43) ;
44) ;
45) ;
46) ;
47) ;
48) ;
49) ;
50) ;
51) ;
52) ;
53) ;
54) ;
55) ;
56) ;
57) ;
58) ;
59) ;
60) ;
Конечные и бесконечные множества.
Определение.
Говорят, что множество является конечным, если существует натуральное число , такое что можно осуществить биекцию множества на множество , т.е. “пронумеровать” все элементы множества (каждый по одному разу) натуральными числами (от 1 до n):
Такое число существует единственное и называется количеством элементов множества
Все остальные множества – бесконечные.
Мощность множества
Определение.
Пусть – произвольные множества, говорят, что множества имеют одинаковую мощность (являются равномощными ), если существует биекция множества на множество .
Замечание.
Конечные множества равномощны тогда и только тогда, когда имеют одинаковое число элементов.
Замечание.
Бывают неравномощные бесконечные множества. К примеру, множество неравномощно множеству .
Определение.
Множество, равномощное множеству , называют счётным.
Определение.
Множество – не более чем счётное, если – конечно или счётно.
Теорема.
Множество счётно.
Доказательство.
Теорема.
Бесконечное подмножество счётного множества счётно.
Доказательство.
Замечание.
|
Любые 2 счётных множества равномощны.
Доказательство.
Теорема.
Прямое (декартово) произведение счётных множеств счётно.
Теорема.
Множество всех рациональных чисел счётно.
Композиция отображений
Определение.
Пусть – некоторые множества.
Композицией отображений и называется отображение
такое что
Обозначение композиции
Композиция отображений и
Замечание №1.
Выражение имеет смысл, т.к. .
Замечание №2.
Переставлять и местами вообще говоря нельзя.
Пример.
Пусть
Замечание №3.
Аналогично можно определить композицию не 2-х, а 3-х и более отображений.
Придумайте примеры.
Обратное отображение
Пусть – биекция множества на множество .
Рассмотрим отображение , которое каждому сопоставляет , такое что , т.е.
(существование и единственность такого элемента следует из определения биекции)
Такое отображение называется обратным и обозначается символом
(т.е. )
Примеры.
I. Пусть .
II. Пусть .
Замечание.
Пусть – отображения
Тогда
Функции и действия над ними
Сумма функций.
Определение.
Пусть – функции
Суммой функций называется функция
такая что
Пример.
Тогда
Разность функций.
Определение.
Пусть – функции
Разностью функций называется функция
такая что
Произведение функций.
Определение.
Пусть – функции
Произведением функций называется функция
такая что
Частное функций.
Определение.
Пусть – функции
Пусть
Частным функций называется функция
такая что
Степень функции.
Замечание.
Используя определения произведения и частного можем определить натуральную и целую степени функции.
Определение.
Пусть
Пусть
(функция определена, т.к. .)
Замечание.
Нельзя путать
с обратным отображением и обозначением прообраза.
|
|
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!