Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Топ:
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Интересное:
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Дисциплины:
2017-06-02 | 2401 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Доказательство.
Напомним, что, согласно определению, включение A ⊂ B означает, что каждый элемент множества A является и элементом множества B. Поэтому утверждение, которое подлежит доказательству, можно переформулировать следующим образом: каждый элемент множества A является элементом множества A. А это тавтология.
Таким образом, знаки включения не вполне соответствуют знакам неравенств и . Они ближе к и . Обратите внимание на то, что нет такого числа a, которое было бы меньше самого себя; неравенство решений не имеет.
II. Вездесущесть пустого множества.
∅ ⊂ A для любого множества A,
Т.е., пустое множество присутствует, в качестве подмножества, в каждом множестве.
Доказательство.
Напомним, что, согласно определению, включение A ⊂ B означает, что каждый элемент множества A является и элементом множества B. Поэтому нам нужно доказать, что каждый элемент множества ∅ принадлежит и множеству A. Это действительно так, потому что в ∅ элементов нет.
Если вас это рассуждение не убедило, поставим вопрос иначе: а может ли это включение быть не справедливо? Как это может случится, что ∅ не является подмножеством множества A? Это могло бы случиться, только если бы в ∅ нашёлся элемент, не являющийся элементом множества A. Но такого элемента в ∅ нет, поскольку в ∅ нет никаких элементов.
Итак, в любом множестве A имеются два очевидных подмножества: пустое множество ∅ и само A. Подмножество множества A, отличное от ∅ и A, называется его собственным подмножеством. Слово это употребляется, когда хотят исключить из рассмотрения очевидные подмножества (называемые несобственными.)
III. Транзитивность включения.
|
Если A, B и C - множества, такие, что A ⊂ B и B ⊂ C, то A ⊂ C.
Доказательство.
Нужно доказать, что каждый элемент множества A является элементом множества C.
Пусть x∈A. Так как A⊂B, то x∈B. А так как B⊂C,то это, в свою очередь, влечёт x ∈ C. Ну а это-то и нужно было доказать.
Доказывая равенство множеств, доказывают два включения
Имея дело с множествами, часто приходится доказывать, что какие-то два множества, которые возникают, казалось бы, совершенно по-разному, на самом деле совпадают. Наиболее обычный способ доказательства равенства множеств даёт следующая теорема.
Теорема. Критерий равенства множеств.
Доказательство.
Мы уже видели, что A ⊂ A. Поэтому если A = B, то A ⊂ B и B ⊂ A.
С другой стороны, включение A ⊂ B означает, что каждый элемент множества A принадлежит и B, а включение B ⊂ A означает, что каждый элемент множества B принадлежит и A. Следовательно, A и B обладают одними и теми же элементами, а значит, они равны.
Включение и принадлежность
I.
Доказательство.
по опр. включения
любой элемент множества является и элементом множества
Замечание.
Несмотря на эту очевидную связь и похожесть символов принадлежности ∈ и включения ⊂, понятия принадлежности и включения весьма различны:
принадлежность A ∈ B означает что A - один из элементов множества B
(т. е. один из неделимых объектов, составляющих B),
включение A⊂B означает, что A состоит из некоторых элементов множества B.
II. Нерефлексивность принадлежности.
Существует такое множество A, что .
Доказательство.
Построить такое множество A, что A A, легко. Возьмите, например, A = ∅, или A = N, или A = {1},…
III.. Нетранзитивность принадлежности.
Существуют такие множества A, B и C, что A ∈ B и B ∈ C, но .
Доказательство.
Пусть , и . Ясно, что A ∈ B и B ∈ C, но .
На самом деле, труднее построить такие множества A, B и C, что A ∈ B, B ∈ C и A ∈ C. Вот один из простейших примеров: , ,
1.10. Задание подмножества заданием условия
|
Как мы знаем (см. п. 1.5), множество можно описать, представив список его элементов. К сожалению, этот простейший способ задания множеств не всегда доступен и уж во всяком случае не всегда лёгок. Например, легко сказать: “множество всех решений следующего уравнения” и выписать уравнение. Это - вполне приемлемое недвусмысленное описание множества. Приняв его, можно говорить об этом множестве, обсуждать его свойства, и, в результате, если повезёт, решить уравнение и выписать список всех его решений.
(Последнее может оказаться не лёгким делом, но тот факт, что мы не имеем списка всех решений уравнения, не должен помешать нам рассуждать о множестве всех его решений.)
Итак, множество можно задать, сформулировав свойства, выделяющие его элементы среди элементов более широкого и уже описанного множества. Соответствующее обозначение: подмножество множества A, состоящее из элементов x, которые удовлетворяют условию P(x), обозначается через
или .
Примеры.
Зададим следующие множества списками их элементов (т. е. в виде {a, b,…}):
1) {x ∈ | x < 5} = {1, 2, 3, 4};
2) {x ∈ | x < 0} = { };
3) {x ∈ | x < 0} = {−1,−2,−3,−4,−5,−6,...}.
Пересечение и объединение
Пересечением множеств A и B называется множество, составленное из их общих элементов, т. е. элементов, принадлежащих и A, и B. Оно обозначается через A ∩ B. Его можно описать и формулой
Множества A и B называются дизъюнктными или непересекающимися, если их пересечение пусто, т. е. A ∩ B = ∅.
Объединением множеств A и B называется множество, составленное из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств A и B.
Объединение множеств A и B обозначается через A ∪ B. Его можно описать формулой
Здесь союз и л и понимается в неисключающем смысле: условие “x∈A или x∈ B” означает, что x принадлежит х о т я б ы о д н о м у из множеств A и B, а, быть может, и обоим.
Примеры.
1) ;
2) ;
3) ;
|
|
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!