Навигация:

Главная Случайная страница Обратная связь ТОП Интересно знать Избранные Новые материалы

Топ:

Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...

Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...

Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...

Интересное:

Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...

Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...

Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...

Дисциплины:

Автоматизация Антропология Археология Архитектура Аудит Биология Бухгалтерия Военная наука Генетика География Геология Демография Журналистика Зоология Иностранные языки Информатика Искусство История Кинематография Компьютеризация Кораблестроение Кулинария Культура Лексикология Лингвистика Литература Логика Маркетинг Математика Машиностроение Медицина Менеджмент Металлургия Метрология Механика Музыкология Науковедение Образование Охрана Труда Педагогика Политология Правоотношение Предпринимательство Приборостроение Программирование Производство Промышленность Психология Радиосвязь Религия Риторика Социология Спорт Стандартизация Статистика Строительство Теология Технологии Торговля Транспорт Фармакология Физика Физиология Философия Финансы Химия Хозяйство Черчение Экология Экономика Электроника Энергетика Юриспруденция

Топологический язык на прямой.

2017-06-02

827

0.00 из 5.00 0 оценок

Заказать работу

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 6

Окрестность точки.

Определение.

Пусть . - окрестностью точки называют множество

Проколотой - окрестностью точки называют множество

Если в течении достаточно большого промежутка времени фиксировано множество , в котором рассматриваются точки , дополнением множества (до пространства ) называют множество

Внутренние, внешние и граничные точки

Определение.

Пусть .

Точка – внутренняя точка множества , если у неё существует окрестность, которая целиком содержится в множестве , т.е.

Замечание.

Если – внутренняя точка множества , то .

Определение.

Пусть .

Точка – внешняя точка множества , если у неё существует окрестность, которая целиком содержится в дополнении множества , т.е.

Замечание.

Если – внешняя точка множества , то .

Определение.

Пусть .

Точка – граничная точка множества , если она не является не внутренней, не внешней точкой, т.е. у любой окрестности существуют как точки множества, так и точки его дополнения:

Определение.

Внутренность множества – множество всех его внутренних точек,

Определение.

Внешность множества – множество всех его внешних точек,

Определение.

Граница множества – множество всех его граничных точек,

Изолированные точки и точки сгущения

Определение.

Пусть .

Точка – изолированная точка множества ,

если существует окрестность, содержащая лишь одну эту точку множества

Определение.

Пусть .

Точка – точка сгущения множества ,

n если любая её окрестность содержит бесконечно много точек множества , т.е.

n если в любой её проколотой окрестности существует хотя бы 1 точка множества , т.е.

Доказательство равносильности.

Часть.

Часть.

.

Предположим от противного:

Пусть для выполнено условие: , и при этом существует окрестность точки , пересекающаяся с множеством по конечному множеству точек, т.е.

Занумеруем точки пересечения:

Выберем минимальное из расстояний между точкой и точками , т.е.

Тогда

Получаем противоречие.

Замечания.

I. Изолированная точка множества не просто принадлежит множеству , но и является его граничной точкой.

II. Точки сгущения – предельные точки множества.

III. Точка сгущения может как принадлежать множеству , так и не принадлежать ему.

IV. Внешняя точка множества не может быть точкой сгущения.

V. Изолированная точка множества не может быть точкой сгущения.

Привести примеры к замечаниям.

Обозначение.

Множество всех предельных точек множества (всех его точек сгущения) называют производным множеством множества и обозначают

Задача.

Заполнить таблицу.

Изолированные точки

Открытые множества

Определение.

Множество называется открытым, если каждая его точка – внутренняя точка множества .

Замечание.

Теорема.

Открытое множество на прямой – объединение некоторого семейства лучей и интервалов.

Свойства открытых множеств.

Теорема 1.

Объединение любого семейства открытых множеств открыто.

Доказательство.

Замечание.

Пересечение любого семейства открытых множеств не обязано быть открытым.

Приведите пример.

Теорема 2.

Пересечение конечного числа открытых множеств открыто.

Доказательство.

– открытые множества.

Замкнутые множества

Определение.

Множество называется замкнутым,

n если оно содержит все свои конечные точки сгущения, т.е. .

n если его дополнение открыто.

Доказательство равносильности.

1 часть. .

Предположим от противного:

Пусть , при этом существует хотя бы ода предельная точка, не содержащаяся в :

То есть, в окрестности нет ни одной точки множества .

не является точкой сгущения

(любая точка дополнения входит в некоторую окрестность)

Противоречие с условием .

2 часть. .

Пусть

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 56

Поделиться с друзьями:

Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...

Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...

Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...