Розширення множини дійсних чисел. Поняття комплексного числа.

Під час розв’язування деяких задач виникла потреба добувати квадратний корінь з від’ємних чисел. Зокрема, так було під час розв’язування квадратних рівнянь з від’ємним дискримінантом.

Наприклад:  

Добування кореня парного степеня з від’ємного числа неможливо, якщо обмежуватися розгляданням тільки дійсних чисел. Серед дійсних чисел немає . Коренем парного степеня з від’ємного числа являються особливі (не дійсні) числа.

Щоб виконувалась ця операція, необхідно розширити множину дійсних чисел приєднанням до неї нових чисел так, щоб множина утворила числове поле, в якому, крім перелічених вище дій, завжди можна було виконувати і добування коренів. Це питання було успішно розв’язане лише у ХІХ ст. При розширені множини дійсних чисел повинні виконуватися такі умови:

1) визначення нових чисел повинно опиратися на поняття дійсного числа, і нова множина повинна містити всі дійсні числа;

2) для нових чисел повинно виконуватися п’ять законів перших арифметичних дій;

3) в новій числовій множині повинно мати розв’язки рівняння , так як в цій множині повинна виконуватися дія, обернена до піднесення до степеня, вважаючи її розв’язком цього рівняння.

Домовившись  позначити буквою і і називати уявною одиницею, тобто .

Отже, за означенням і – число, квадрат якого дорівнює -1, тобто .

Як бачимо, що нова множина, крім дійсних чисел, містить й число і.

Розв’яжемо квадратне рівняння:

Кожен з найдених коренів представляє собою алгебраїчну суму дійсного і уявного доданків. Такі числа називаються комплексними числами.

Комплексним числом називається будь – яке число, яке має вигляд , де a і b – дійсні числа, а і – уявна одиниця.

 Оскільки в цій множині можливе множення, то вона містить і всі числа виду bi. Завжди можливе в цій множині і додавання, тому їй належать і всі числа виду . Число а прийнято називати дійсною частиною, вираз bi – уявною частиною комплексного числа . Число b називається коефіцієнтом при уявній частині. Комплексне число позначають буквою z.

Наприклад, для комплексного числа  дійсною частиною є 4, а уявною – вираз 6і, коефіцієнт при уявній частині дорівнює 6, для числа  дійсною частиною є число 0, а уявною – вираз 7і, коефіцієнт при уявній частині 7.

Із визначення комплексного числа випливає, що дійсні і уявні числа можна розглядати як окремі випадки комплексних чисел. Дійсно, в комплексному числі  коефіцієнт  то . Комплексне число стає дійсним. Якщо ж , то , тобто комплексне число стає чисто уявним.

Поняття комплексного числа, яке ввійшло в математику ще з XVIII ст., на протязі довгого часу мало лише теоретичне значення і служило тільки потребам математики, утворюючи ряд незручностей при розв’язанні рівнянь. В науці доволі довго не було реальних явищ, які описувались би за допомогою комплексних чисел, і це призвело до того, що комплексні числа довго розглядалися як поняття, які не відповідають чому – не будь, що має місце в реальному світі. Звідси і походить термін "уявне число", тобто "реально не існуюче". Але в останній час цей погляд невірний.

Комплексне число використовується в багатьох науках: електротехніці, радіотехніці, аеродинаміці і т.д.

Із сказаного вище випливає, що комплексне число представляє корисне значення для нашої практичної діяльності розширення і узагальнення поняття числа, яке дозволяє описати важкі реальні явища, і тому являється поняттям таким же реальним, як і дійсне число.

Відносно комплексних чисел прийняті наступні властивості:

1. Два комплексних числа  і  називаються рівними тоді. І тільки тоді, коли їх дійсні і уявні частини рівні і рівні коефіцієнти при уявній одиниці, тобто  якщо  і .

З умови рівності комплексних чисел визначимо х і у у рівнянні  

З умови рівності комплексних чисел випливає:

 

Розв’яжемо отриману систему з двох лінійних рівнянь з двома невідомими:

 

 

 

Перевірка:  

2. З умови рівності комплексних чисел виходить, що комплексне число  дорівнює нулю тоді, і тільки тоді, коли його дійсна частина дорівнює нулю і коефіцієнт біля уявної частини дорівнює нулю, тобто , якщо  і .

3. Модулем комплексного числа називається корінь квадратний із суми квадратів його дійсної частини і коефіцієнта біля уявної частини, тобто . Модуль є величина додатна, тобто яка виражає арифметичне значення кореня.

Наприклад: , .

4.  Два комплексних числа  і , які відрізняються лише знаком коефіцієнта біля уявної частини, називаються спряженими.

Наприклад:  і  - спряжені комплексні числа.

Комплексні корені квадратного рівняння завжди будуть спряженими числами.

Покажемо, що модулі двох спряжених чисел рівні між собою:

тобто  .

Кожне комплексне число z може бути записане у вигляді: , де a і b – дійсні числа, а і – уявна одиниця. Ця форма запису комплексного числа називається алгебраїчною формою комплексного числа.

Дії над комплексними числами виконують за правилами дій над многочленами.