Особливості формування і засвоєння основних понять теорії комплексних чисел.

І.Вступ

Перед викладанням математики в школі крім загальних цілей навчання стоять ще свої специфічні цілі, що визначаються особливостями математичної науки. Одна з них – це формування і розвиток математичного мислення. Це впливає на виявлення і більш ефективний розвиток математичних здібностей школярів, підготовлює їх до творчої діяльності взагалі і в математиці з її багаточисленними застосуваннями вчасності.

 Взагалі інтелектуальний розвиток дітей можна прискорити по трьом напрямкам: понятійна побудова мислення, мовний інтелект і внутрішній план дій.

Ґрунтовне засвоєння знань неможливо без цілеспрямованого розвитку мислення, яке є однією з основних задач загальної шкільної освіти.

Сучасне суспільство висуває випускникові школи досить високі вимоги. Ці вимоги стосуються і загальної культури випускника. У нашому випадку ми будемо говорити про математичну культуру, а ще точніше - про алгебраїчну.

З першого класу і до закінчення школи головним поняттям алгебри є поняття числа. Вивчення чисел йде послідовно - натуральні числа, дроби, цілі числа, ірраціональні, дійсні. На цьому загальноосвітня програма ставить крапку, залишаючи суттєву прогалину в знаннях учня, так як природним і логічно правильним є формування більш загального поняття - поняття комплексного числа. І на це є кілька причин.

 По-перше, тема «Комплексні числа» традиційно входила в програми з математики старшої школи з поглибленим вивченням математики.

По-друге, ця тема включена в державний стандарт середньої (повної) освіти з математики (профільний рівень). Зокрема, наведемо цитату із стандарту (розділ «Числові та буквені вирази»): «Комплексні числа. Геометрична інтерпретація комплексних чисел. Дійсна і уявна частина, модуль і аргумент комплексного числа. Алгебраїчна і тригонометрична форма запису комплексних чисел. Арифметичні дії над комплексними числами в різних формах запису. Комплексно зв'язані числа. Зведення в натуральну ступінь (формула Муавра). Основна теорема алгебри ».

По-третє, комплексні числа важливі як область математики, в якій в повну силу працюють знання та вміння, отримані учнями при навчанні алгебри та тригонометрії.

І по-четверте, перехід від дійсних чисел до комплексних є завершальним кроком у всьому вивченні поняття числа в шкільному курсі математики.

До старших класів учні мають вже досить зрілим математичним розвитком: вони в змозі розуміти і поважати потреби самої математичної науки. Введення комплексних чисел являє собою чи не найяскравішу протягом шкільного курсу ілюстрацію діалектичного розвитку математичних понять, логічної простоти і завершеності. Поняття про число вибудовується в єдине струнке ціле. Коротко кажучи, безліч комплексних чисел виходить з безлічі дійсних чисел «додаванням» тільки одного нового числа , для якого , і всіх лінійних комбінацій виду з дійсними коефіцієнтами  и . При «додаванні» єдиного кореня спеціального квадратного рівняння  ми перейдемо до чисел, в яких і будь-яке квадратне, і будь-яке кубічну, і будь-яке рівняння -ого степеня має коріння.

Цілком природно також, що тільки в старших класах доречний повний, систематизуються погляд на розвиток поняття числа.

Метою даної роботи продемонструвати розвиток мислення старшокласників через формування нового поняття – поняття комплексного числа.

Задачі:

- дослідити особливості математичного мислення старшокласників;

- дослідити процес формування понять на матеріалі теми "Комплексні числа".

 

Історичні відомості

Людство завжди стикалося з проблемами нерозв’язності будь - яких завдань і шукало, іноді успішно, іноді ні, шляхи їх вирішення. Наприклад, у математиці, для того щоб будь-яке рівняння  мало корені, додатних чисел виявилося недостатньо і за два століття до н.е. китайськими математиками були введені від'ємні числа. Від’ємні числа допомогли описувати єдиним чином зміну величин.

Для розв'язання рівнянь виду  було потрібно введення дробових чисел. Відомо, що за два тисячоліття до н.е. в Давньому Єгипті і Стародавньому Вавилоні вже застосовувалися дроби.

У VIII столітті нашої ери було встановлено, що квадратний корінь з додатного числа має два значення - додатне та від’ємне, і те, що з від’ємних чисел квадратні корені витягти не можна: ні, наприклад, такого числа  , щоб виконувалася рівність . У XVI столітті в зв'язку з вивченням кубічних рівнянь виявилося необхідним навчитися витягувати квадратний корінь з від'ємних чисел. У 1545 році італійський математик Д. Кардано (1501 - 1576) запропонував ввести числа нової природи. Він показав, що система рівнянь , не має розв’язків в множині дійсних чисел, має розв’язок завжди, при , потрібно тільки умовитися діяти над такими виразами за правилами звичайної алгебри і вважати, що . Кардано називав такі величини «чисто від’ємними» і навіть «софістическі від’ємними», вважаючи їх непотрібними, і прагнув не застосовувати їх, адже за допомогою таких чисел не можна виразити ні результат вимірювання якої-небудь величини, ні зміни цієї величини. Але вже в 1572 вийшла книга італійського алгебраїста Р. Бомбелли (бл. 1526 - 1572), в якій були встановлені перші правила арифметичних операцій над такими числами, аж до вилучення з них кубічних коренів. Далі комплексні числа застосовувалися в різних питаннях алгебри, але практичних застосувань поки не мали. Назва «уявні числа» ввів в 1637г. французький математик і філософ Рене Декарт.

Взагалі математики XVI в. і наступних поколінь аж до початку XIX століття ставилися до комплексних чисел з явною недовірою і упередженням. Вони вважали ці числа «уявними» (Рене Декарт), «неіснуючими», «вигаданими», «виниклими від надмірної мудрування» (Д. Кардано) [10]. Г. Лейбніц називав ці числа «витонченим і чудесним притулком божественного духу», а , вважав символом потойбічного світу (і навіть заповідав накреслити його на своїй могилі).

Багато вчених цього періоду намагалися інтерпретувати комплексні числа на прямій лінії і застосовувати до таких понять, як наприклад, температура, час та ін., що не вимагає площинного зображення.

Пізніше, Л. Ейлер (1707 - 1783) ввів в математику символ , де  .

( - це перша буква латинського слова imaginarius, що означає «уявний», «уявний»).

Також Л. Ейлером була виведена формула , яка згодом була названа його ім'ям, хоча до Ейлера цією формулою володів англійський математик Р. Котес (1682 - 1716) [35]. Ця формула дозволила:

• довести періодичність експоненційної функції;

• вивести логарифми комплексних чисел.

Більш сувору теорію нової множини чисел, яка була названа комплексною, розвинув німецький вчений Карл Гаусс (1777 - 1855), який також дав їй геометричне тлумачення, що дозволило подолати багато труднощів в її розумінні. Хоча до Гаусса геометричне тлумачення зустрічається у датського землеміра К. весело (1745 - 1818) і французького математика Аргана (1768-1822). К. Гаусс в 1831 році дав глибоке обґрунтування комплексних чисел в математиці. Після того як з'явилося наочне геометричне зображення комплексних чисел за допомогою точок площини і векторів на площині (Гаусс в 1831 г, Вессель в 1799 г, Арган в 1806 г), стало можливим зводити до комплексних чисел і рівнянь для багатьох задач природознавства, особливо гідро - і аеродинаміки, електротехніки, теорії пружності і міцності, а також геодезії і картографії. З цього часу існування «уявних» або комплексних чисел стало загальновизнаним фактом і вони отримали таке ж реальний зміст, як і числа дійсні.

У XIX столітті О. Коші (1789-1857), Г. Ріман (1826-1866), і К. Вейерштрасс (1815-1897) на базі комплексних чисел створили нову математичну дисципліну - теорію функцій комплексного змінного, яка відіграє важливу роль у сучасній математики.

З розвитком науки і техніки ставало все більш зрозумілим, що без комплексних чисел не можна обійтися в багатьох практичних справах. Широке застосування знайшли комплексні числа в електротехніці, гідродинаміці, картографії, в теорії літака і багатьох інших галузях. Зараз важко вказати область фізики, механіки, технічних дисциплін, де не застосовувалися б комплексні числа.

 

ІІ. Теоретична частина

Особливості формування і засвоєння основних понять теорії комплексних чисел.

На сучасному етапі комплексні числа внесено до програми поглибленого вивчення математики учнями загальноосвітніх та програм курсів за вибором для профільного чи академічного рівнів. Тому постає питання про розгляд способів введення поняття комплексного числа та вибору з них найбільш доцільного.

Формування поняття числа – одне з найважливіших завдань методики і один з методологічних аспектів філософських проблем математики: розвитку математичного пізнання. На прикладі формування поняття числа можна простежити процес виникнення і розвитку наукових понять.

У процесі розвитку математичні знання старшокласників поповнюються такими новими поняттями, абстрактний характер яких значно підсилюється. При засвоєнні цих понять чуттєво-предметна діяльність учнів звужується до мінімуму, але при цьому однозначно зростає роль інтелектуальної діяльності.

Методика вивчення цих понять має базуватися на використанні історичних і конкретно-практичних даних про їх введення, а це дає змогу обґрунтувати питання зв’язку математики з практикою, що й показується наприкінці вивчення конкретної теми. При цьому потрібно звернути особливу увагу на розкриття логіко-математичних зв’язків нових абстракцій з уже відомими учням математичними поняттями.

Під час формування основних понять теорії комплексних чисел, які належать до понять високого рівня абстракції, важливі такі моменти:

- цілеспрямоване формування головного образу певного поняття – образу, який має міцну опору в досвіді учня;

- варіативність образу, яка включає: зміну "первинного образу" в процесі розкриття змісту поняття; використання різних форм представлення нового математичного поняття;

- тісний взаємозв’язок з раніше вивченим за рахунок того, що первинний образ будується на попередньому знанні і його використанні в новій ситуації;

- схематизація: використання різних форм подання математичних фактів створює можливості для виявлення зв’язків усередині цієї теми, зв’язків нових знань з попередніми; результатом виявлення цих зв’язків і структурування вивченого стає побудова схеми, що відображає суть поняття і фіксує її за допомогою знакових засобів. Ці засоби виступають у ролі опорного сигналу, який допомагає учням у подальшому "розгорнути" вивчене поняття, дію в повному обсязі;

- розкриття можливостей застосування поняття під час розв’язування прикладних задач із міжпредметними та внутрішньо предметними зв’язками.

Основні поняття теорії комплексних чисел:

комплексне число, модуль комплексного числа, аргумент комплексного числа, алгебраїчна форма комплексного числа, тригонометрична форма комплексного числа, протилежні комплексні числа тощо.

Як відомо, багатьом основним поняттям теорії комплексних чисел взаємно – однозначно відповідає визначений геометричний образ. Це й історично стало поштовхом до виникнення різних підходів до побудови теорії комплексних чисел. Аналіз наукової і методичної літератури допоміг виявити існування різних підходів до введення поняття комплексного числа та виділити основні з них.

І спосіб . Комплексне число z вводиться як упорядкована пара ( a ; b ) дійсних чисел. Множину таких упорядкованих пар позначають символом С. На цій множині визначається відношення рівності і дві бінарні алгебраїчні операції – додавання і множення – таким чином:  тоді і тільки тоді, коли ; ; .

Показується, що алгебраїчна система  утворює поле. Одиницею даного поля є пара (1;0), а нулем – пара (0;0). Далі розглядається рівність  і отримують, що в полі С пара (0;1) є розв’язком рівняння

                                                                                         (1)

Позначивши  отримують алгебраїчну форму запису комплексного числа ( a ; b ):  при чому  

Потім доводиться, що поле С є мінімальним полем, яке містить поле дійсних чисел і в якому має розв’язок рівняння (1), а також, що таке поле єдине з точністю до ізоморфізму.

Далі пояснюється, що дії над комплексними числами в алгебраїчній формі виконується, як над многочленами, і чому саме вибрано на початку саме такі означення дій над комплексними числами.

Такий спосіб побудови комплексних чисел є певною мірою формальним та вказує на "тонкі" моменти теоретичного характеру.

ІІ спосіб . Встановлюються взаємно-однозначні відповідності між дійсними числами, точками координатної прямої і векторами, початок яких збігається з початком координат. При цьому додатному числу х ставлять у відповідність вектор, довжина якого х, а напрям збігається з напрямом координатної прямої, від’ємному числу х – вектор, модуль якого дорівнює х, а напрям – протилежний до напряму координатної прямої, тобто кут між напрямом вектора і напрямом координатної прямої дорівнює .(мал.1) Нулю відповідає нульовий вектор, модуль якого дорівнює нулю і якому не приписують ніякого напряму.

При такій (векторній) інтерпретації дійсних чисел дії додавання і віднімання між ними можна інтерпретувати як паралельне перенесення. Так, перетворення  зсуває кожну точку х прямої на а одиниць право, якщо а додатне, і на а одиниць вліво, якщо а від’ємне. Таким чином, додаванню дійсних чисел відповідає додавання векторів і навпаки, тобто  

Множення і ділення дійсних чисел подається як перетворення гомотетії відносно початку координат. При перетворенні , якщо  то маємо або розтяг вектора  при  або стиск його при  і якщо то відповідно розтяг або стиск із зміною напряму (центральну симетрію відносно точки 0). При такій інтерпретації множення на число задає відображення множини дійсних чисел на себе.

Позначають один із коренів рівняння  через і, тоді за означенням кореня рівняння  Відтак множення дійсного числа на і², яке є рівносильним множенню на -1, можна тлумачити як двократне множення на і. Інакше кажучи, двократне множення дійсного числа на і означає поворот навколо початку координат на кут . Тому, правомірно вважати, що множення на і означає поворот навколо початку координат на кут .

 Застосування множення на і одиничного вектора  дає вектор , перпендикулярний до нього:  Проведемо нову вісь координат  Тоді вектору  (мал.1). Аналогічні міркування, коли довжина вектора відмінна від одиничної.

Таким чином, кожному вектору  осі  відповідає дійсне число а, кожному вектору осі Оу – число . Тоді сумі векторів  відповідає число  (мал.2).

Отже, між точками координатної площини, упорядкованими парами ( a ; b ) дійсних чисел, які є координатами точок площини, векторами, початок яких збігається з початком координат, і виразами виду можна встановити взаємно – однозначну відповідність.

Оскільки  і  то .

Означення. Комплексним числом називається сума виду , де a i b – дійсні числа, 1 і і – одиниці, взяті відповідно на осях Ох і Оу.

Далі означається рівність комплексних чисел. Оскільки дві координатної площини збігаються тоді і тільки тоді, коли їх відповідні координати рівні, то правомірним є таке означення рівності комплексних чисел.

Означення. Комплексне число  дорівнює комплексному числу  тоді і тільки тоді, коли рівні відповідні їх дійсні й уявні частини, або, що те саме, коли вектори  де  і . В іншому випадку комплексні числа називаються нерівними.

На користь цього методу можна навести такий аргумент: досить наочно проходять означення дій над комплексними числами, проте важко дається учням розуміння, як вектор на декартовій площині стає числом.

ІІІ спосіб. Поле комплексних чисел будують як просте алгебраїчне розширення поля дійсних чисел. Суть цього методу з наукового погляду полягає в такому. В алгебрі многочленів показують, що коли многочлен  степеня  незвідний над числовим полем Р (тобто не має коренів у цьому полі), а – число, корінь цього многочлена, то кожен елемент b поля Р(а), утвореного в результаті приєднання елемента а до поля Р, можна однозначно подати у вигляді:

                                                                        (2)

Нехай  і розглянемо многочлен  який не має дійсних коренів. Позначимо число, щ є розв’язком рівняння  через і і назвемо його числом нової природи. Отримаємо, що просте алгебраїчне розширення  і є полем комплексних чисел С. Справді, зі співвідношення (2) випливає, що кожен елемент з  матиме вигляд , де  

Для учнів усі ці викладки теорії не наводяться. З метою універсальності розв’язності квадратних рівнянь множину дійсних чисел розширюють за допомогою приєднання до неї числа і, для якого  За цих умов многочлени першого степеня відносно уявної одиниці і, тобто вирази виду , де х і у – дійсні числа, називають комплексними числами. Даний підхід носить назву генетичного, оскільки базується на історичному розширенні поняття числа і потребах науки, які приводять до цього розширення.

На користь цього методу говорить те,що він досить доступний учням, за його допомогою скорочується обсяг теоретичних викладок (без втрати відомостей) і уможливлює швидше перейти від теорії до практики обчислень і застосувань. Зв'язок нових чисел із реальною дійсністю є таким моментом, який у рамках шкільного курсу не може бути повністю висвітленим, тому при вивченні основ теорії комплексних чисел доцільно це враховувати і не допускати до того, щоб у свідомості учнів цей розділ запам’ятався як формально-логічна гра, що не має ніякого відношення до реального світу.

IV спосіб. Розглядається множина С формальних виразів виду , де символ і – просто деякий знак, а символи "+" і  позначають відповідно алгебраїчні операції додавання і множення в множині С.

Означаються відношення рівності й алгебраїчні операції в С:

1)  тоді і тільки тоді, коли  і ;

2) ;

3) .

Алгебраїчну систему  називають системою комплексних чисел, а її елементи – комплексними числами. З властивостей 1-3 безпосередньою перевіркою отримують комутативний, асоціативний і дистрибутивний закони додавання і множення, а також те, що символ і є коренем незвідного над полем   рівняння  Справді, з рівності  при  маємо  Тоді при  отримуємо, що  тобто і є коренем рівняння  Потім на основі введених операцій додавання і множення показується, що алгебраїчна система С утворює поле, яке є розширенням поля  дійсних чисел.

Позитивним моментом цього способу введення є строгий науковий підхід до викладу теорії, проте він може виявитися надто формальним і нецікавим для учнів середньої школи, що не сприятиме формуванню стійкого інтересу до математики.

Вищенаведені підходи відрізняються, але не суперечать один одному. В методичній літературі, зокрема підручниках, посібниках для середньої школи, найчастіше зустрічаються такі способи введення: перший та третій, які названі формальним та генетичним відповідно.

Нам ближче подання матеріалу теми генетично-геометричним способом, який ґрунтується на історичному розвитку поняття комплексного числа і на здоровому глузді та сприймається учнями природно і зрозуміло, не викликає у них психологічного протесту. Крім того, математичний розвиток старшокласників дає змогу розглядати внутрішні вимоги самої математики щодо виконуваності обернених операцій і універсальної розв’язності деяких найпростіших рівнянь як побічний вияв вимог практики. Введення операції не знаходить суперечностей і нагадує звичайні дії з дужками, що завжди подобається навіть несильним учням.

Саме цього способу я буду дотримуватися у своїй роботі.

 

 

Поняття розширення числа.

Одним з основних понять математики є поняття числа. Спочатку, в процесі рахування предметів, склалося поняття цілого додатного (натурального) числа – це поняття являється відображенням в свідомості людини кількісної сторони кінцевих зібрань (множин) предметів. Але вже найпростіші записи практики вчених, пов’язаних з вимірюваннями, привели до розширення поняття числа. Саме під впливом цих записів поступово склалося поняття додатного раціонального (дробового) числа і ірраціонального числа.

Але по іншому формувалося поняття від’ємного числа. Воно з’явилося під впливом внутрішніх потреб самої математики, в зв’язку з необхідністю зробити рівняння виду:  розв’язуючим, навіть тоді, коли  

Перші згадування про від’ємні числа і дії над ними зустрічаються у індійських математиків в  VII ст. нашої ери. Їм також належить загальне теперішнє пояснення від’ємних і додатних чисел як арифметичних образів протилежно направлених величин. Саме це пояснення особливо сприяло тому, щоб поняття від’ємного числа стало рівноправним з поняттям додатного числа.

Кожне нове розширення поняття числа дозволяло розв’язувати такі задачі, які до цього були нерозв’язними. Так введення дробів дозволило виконати ділення двох чисел у всіх випадках, коли дільник не дорівнює нулю; введення від’ємних чисел дозволило проводити у всіх випадках віднімання; введення ірраціональних чисел дозволило виразити числом довжину відрізка, яка є несумірною з даною одиницею довжини.

Із курсу алгебри відомо, що числа цілі і дробові, як додатні так і від’ємні, і нуль називаються раціональними числами.

Нескінченні і періодичні десяткові дроби називаються ірраціональними числами.

Множина раціональних і ірраціональних чисел утворює множину дійсних чисел.

Поняття числа пройшло довгий шлях історичного розвитку. Однією з найпростіших числових множин є множина натуральних чисел: 1, 2, 3…. В ній завжди виконуються дві алгебраїчні дії: додавання і множення. Це означає, що, які б не були числа  і  їх сума  і добуток  неодмінно є натуральними числами. При чому справджуються такі п’ять законів:

1) комутативний закон додавання – ;

2) асоціативний закон додавання – ;

3) комутативний закон множення – ;

4) асоціативний закон множення – ;

5) дистрибутивний закон множення відносно додавання – .

Що ж до віднімання і ділення, то ці дві дії в множині натуральних чисел здійснюється не завжди. Так жодну з різниць  або  , або жодну з часток  і  ніяк не можна назвати натуральним числом.

Щоб віднімання завжди виконувалося, множину натуральних чисел потрібно було доповнити множину всіх від’ємних цілих чисел з нулем. В результаті такого доповнення або розширення ми переходимо до множини цілих чисел:  .

Числова множина, в якій завжди здійснені операції додавання і множення, що підлягають вказаним вище п’ятьом законам, а також віднімання, називаються кільцем. Таким чином, множина всіх цілих чисел утворює кільце.

Розширивши множину всіх натуральних чисел, ми показали, з підручників, що дія віднімання може здійснюватися завжди. Але ділення так і залишилося невизначеним. Щоб усунути цю прогалину, треба розширити і множину цілих чисел. Зробити це можливо лише за допомогою приєднання множини звичайних дробів, тобто  , де  і  - довільні цілі числа, і . В результаті такого розширення ми отримуємо множину раціональних чисел. В цій множині завжди виконуються усі чотири дії: додавання, віднімання, множення і ділення.

Множина чисел, в якій завжди здійснені дії додавання і множення, що підлягають п’ятьом основним законам, а також дії віднімання і ділення (крім ділення на нуль) називається полем. Множина раціональних чисел є найпростішим числовим полем.

 Зауважимо, що множина ірраціональних чисел не є полем. Будь – яка з чотирьох дій над ірраціональними числами може привести до раціонального числа. Наприклад:  

У множині дійсних чисел завжди можливі всі шість алгебраїчних операцій: додавання, віднімання, множення, ділення, піднесення до степеня і добування кореня парного степеня з додатного числа.