Геометрична інтерпретація комплексних чисел.

2.6.1. Зображення комплексних чисел точками на площині

Розглянемо площину з введеною на ній прямокутною декартовою системою координат. Поставимо у відповідність кожному комплексному числу  (х і у – дійсні числа) у відповідність точку  координатної площини. Зауважимо, що встановлену відповідність між безліччю комплексних чисел і множиною точок координатної площини взаємно однозначно. Зауважимо також, що кожній точці  координатної площини поставлений у відповідність радіус – вектор  (мал.3), координати якого співпадають з координатами точки Z.

мал.3

Площина, на якій зображуються у вигляді точок комплексні числа, називається комплексною площиною.

Будь-якому дійсному числу відповідає точка а будь-якому суто уявному числу відповідає точка . Тому всі дійсні числа зображуються точками осі абсцис, яка називається дійсною віссю, а все чисто уявні числа зображуються точками осі ординат, яка називається уявною віссю.

Наприклад:

1. Зобразіть на комплексній площині число .

Цьому числу відповідає точка комплексної площини з координатами (3;-2), мал.4. 

                                                                               мал.4

2. Зобразіть на комплексній площині всі комплексні числа z, для яких вірно рівність .

Це всі числа, які знаходяться на прямій, заданій наступною умовою х=-1, мал.5.

мал.5

2.6.2. Векторна інтерпретація операцій з комплексними числами

Проілюструємо операції додавання і віднімання комплексних чисел на комплексній площині.

Нехай дані комплексні числа   і . Як відомо, їх сума теж комплексне число:   Розглянемо відповідні числам ,   і  радіус – вектори  і  Тоді . Нехай вектори , не колінеарні. Так як вони мають спільний початок – початок координат т.О, то їх суму – вектор  можна побудувати за допомогою правила паралелограма (мал.6). Кінець цього вектору – точка  - зображення комплексного числа

мал.6

Розглянемо віднімання комплексних чисел   і . Вона дорівнює комплексному числу  Розглянемо відповідні числам ,   і  радіус – вектори  і  Тоді . Вектори і  мають спільний початок – початок координат т.О. Побудуємо їх різницю – вектор  - і відкладемо його від початку координат (мал. 7). Кінець цього вектора – точка Z – зображення числа

мал. 7

Тригонометрична форма комплексного числа.