Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Топ:
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Интересное:
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Дисциплины:
2024-02-15 | 16 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
2.7.1. Полярні координати точки і її радіус-вектора
Кожному комплексному числу може бути поставлена у співвідношення точку на комплексній площині, а кожній точці – радіус – вектор .
Точку Z можна задати також іншою парою чисел - полярними координатами: - відстань від початку координат (т.О) та кутом між променем OZ та додатним направленням вісі абсцис (мал. 8).
мал.8
Відповідно радіус – вектор точки Z задається тими ж числами, тобто , де r – довжина (модуль) вектора, - кут між вектором і віссю ОХ.
Для подальшого вивчення комплексних чисел нам необхідно згадати деякі властивості векторів:
1. Модуль (довжина) вектора дорівнює .
2. Кут між радіус-вектором і додатним напрямком осі абсцис - це кут повороту, при якому додатний напрям осі абсцис переходить в промінь, що задає напрямок даного вектора, при цьому початок променя є початок координат. Кут вважається додатним при повороті проти годинникової стрілки і від’ємним при повороті за годинниковою стрілкою.
Наприклад: В координатній площині задані вектори і (мал. 9). Знайдіть їх модулі (довжини). Які кути вони утворюють з додатним направленням вісі абсцис?
Так як , , то , . Промінь є образом променя Ох при повороті на кут, який дорівнює , а також при повороті на кут , або і так далі.
мал. 9
Тому вірне твердження, що вектор утворює з додатним направленням вісі абсцис кут , де - будь – яке ціле число.
Аналогічним чином визначаємо, що вектор утворює з додатним направленням вісі абсцис кут , або , або і так далі, тобто .
Відповідь: , , де - будь – яке ціле число.
3. Нульовий вектор однозначно визначається модулем (довжиною), тобто кут між нульовим вектором і позитивний напрямом осі Ох не розглядається. Модуль нульового вектора дорівнює 0.
|
4. Нехай вектор у прямокутній декартовій системі координат має координати х і у та утворює з додатним направленням вісі абсцис кут . Тоді
.
2.7.2. Модуль комплексного числа.
Модулем комплексного числа , де називається число тобто .
Властивості:
1. Якщо , де то
Доведення цієї властивості випливає з означення модуля комплексного числа.
Таким чином, поняття модуля комплексного числа є розвитком і узагальненням поняття модуля дійсного числа.
2. Модуль комплексного числа дорівнює модулю протилежного і спряженого цього числа чисел.
Доведення. Розглянемо комплексне число , де , а також протилежне і спряжене йому числа. Знайдемо їх модулі:
Властивість доведено.
3. Число дорівнює модулю (довжині) вектора , тобто .
Наприклад:
1. Знайдіть . Так як 5 – дійсне число, то з властивості 1 отримуємо
2. Знайдіть . Запишемо число і в алгебраїчній формі - . Тоді з означення модуля комплексного числа, отримаємо: .
3. Знайдіть . Це число представлене в алгебраїчній формі. З означення модуля комплексного числа отримаємо: .
4. Покажіть на комплексній площині всі комплексні числа з модулем, рівним . Всі комплексні числа з модулем зображуються точками комплексної площини, які є кінцями радіус – векторів довжини . Множиною таких точок є коло з центром у початку координат і радіусу (мал.10)
мал.10
Не порушуючи спільності міркувань, можна зробити наступний висновок.
Зображення множини комплексних чисел з модулем на комплексній площині є коло з центром на початку координат і радіусом .
Доказ цього твердження полягає в послідовному застосуванні визначення модуля комплексного числа і визначення кола з центром на початку координат і радіусом .
Наприклад:
1. Зобразіть на комплексній площині всі комплексні числа з модулем, меншим або рівним 2.
Всі комплексні числа з модулем, меншим або рівним 2, зображуються точками комплексної площині, які є кінцями радіус-векторів довжини, менше рівної 2. Безліч таких точок є коло з центром на початку координат і радіусом 2. (мал.11)
|
мал.11
2. Зобразіть на комплексній площині всі комплексні числа, що задовольняють умові:
У цьому завданні розглядаються всі точки площини, крім точок, розташованих між концентричними колами і на меншому колі. Центри кіл - початок координат, радіуси рівні 2 і 4. (мал.12)
мал.12
2.7.3. Аргумент комплексного числа
Радіус – вектор точки комплексної площини задається двома числами: -довжина (модуль) вектора, - кут між вектором і додатним направленням вісі Ох.
Якщо - аргумент комплексного числа, то будь – яке число виду , де , також є аргументом даного числа . Вірно і зворотне твердження: якщо число є аргументом даного комплексного числа , то воно можна подати у вигляді , де - деяке ціле число. Обидва твердження очевидним чином випливають з властивостей періодичності тригонометричних функцій.
Два ненульових комплексних числа рівні тоді і тільки тоді, коли їх модулі рівні, а аргументи відрізняються на , де .
Наприклад:
1. Зобразіть на комплексній площині всі комплексні числа з аргументом
Усі комплексні числа з аргументом зображуються точками комплексної площини, які є кінцями ненульових радіус – векторів, утворюють з додатним направленням вісі абсцис кут Множиною таких точок являється промінь , який утворює з додатним направленням вісі абсцис кут Зауважимо, що при цьому мається на увазі промінь без початкової точки (мал.13).
мал.13
2. Зобразіть на комплексній площині всі комплексні числа з аргументом
Всі комплексні числа з аргументом зображуються точками комплексної площини, які є кінцями ненульових радіус – векторів, утворюють з додатним направленням вісі абсцис кут . Множиною таких точок являється промінь , який утворює з додатним направленням вісі абсцис кут . (мал.14)
мал.14
3. Зобразіть на комплексній площині всі комплексні числа з аргументами такими, що
Всі комплексні числа з вказаними аргументами зображується точками комплексної площини, розташованими нижче промінів і . Цей кут без однієї з сторін та вершини (мал.15) .
мал.15
2.7.4. Тригонометрична форма комплексного числа.
|
Розглянемо на комплексній площині числа з модулем 1. Зображенням множини таких чисел являється коло з центром у початку координат та радіусом 1 (мал.16).
мал. 16
Нехай т. - точка перетину кола з позитивним напрямом осі абсцис. Розглянемо точку Р кола, що зображує деякий комплексне число . Точка Р є образом точки при повороті з центром О на кут , причому кут визначений з точністю до Тоді абсциса х точки Р дорівнює , а ордината у дорівнює . Тому комплексне число задається формулою
Зараз розглянемо довільне, відмінне від нуля, комплексне число з модулем , . Тоді - комплексне число, модуль якого дорівнює 1. Тому існує число таке, що тобто
Запис при називається тригонометричною формою комплексного числа .
Числа і називаються модулем і аргументом комплексного числа . Для модуля та аргументу використовуються також позначення: Зазвичай вибирають значення , визначене нерівністю .
|
|
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!