О равенстве фазовых объемов и вывод формул (2.9), (2.18), (2.19)

Равенство (2.4) также может быть получено следующим образом.

Пусть для простоты потенциальное поле однородное и ось z направлена вдоль его силовых линий. При этом, очевидно:

dx_o = dx; dy_o = dy; dv_ox = dv_x ; dv_oy = dv_y ; (A)

v_oz² = v_z² + 2U/m. (B)

Продифференцировав (B), получим:

v_oz dv_oz = v_z dv_z . (C)

От z = 0 до z = h молекулы (1) переместятся за некоторое время t, которое, очевидно, равно времени перемещения этих молекул от z = dz_o до z = h + dz . От z = 0 до z = h + dz молекула переместится за некоторое время t₁, которое, с одной стороны,

t₁ = dt_o + t = dz_o / v_oz + t , (D)

а также, с другой стороны,

t₁ = t + dt = t + dz / v_z . (E)

Из (A), (C), (D), (E) следует (2.4), что и требовалось получить.

 

В пространстве скоростей молекул (их общее число равно N) число концов векторов скоростей, компоненты которых находятся в интервалах dv_x , dv_y , dv_z , определяется равенством:

dN(v) = N j (v) dv_x dv_y dv_z ,

где мы предполагаем, что распределение j (v) изотропное, т.е. оно зависит лишь от модуля вектора скорости и не зависит от направления этого вектора.

Плотность этих концов векторов равна их числу, деленному на занимаемый ими объем в пространстве скоростей, т.е.

.

При изотропном распределении молекул по скоростям для нахождения числа молекул со скоростями в пределах от v до v+dv (это число определяется равенством dN = N f(v) dv) нужно эту плотность умножить на объем шарового слоя, который равен 4p v² dv:

.

Отсюда следует формула (2.9), которую и требовалось получить.

 

Очевидно:

.

Отсюда следует: .

Распределение Максвелла имеет вид:

,

где .

Если производную по E этого выражения приравнять нулю, то найдем связь между наиболее вероятной кинетической энергией E_m иE₁: E₁ = 2 E_m .

Очевидно:

,

где , F_m(x) – распределение Максвелла в зависимости от относительной кинетической энергии x.

В зависимости от x распределение (2.17) имеет вид:

F_o(x) = A[F_m(x) + 2 π ^-1/2 Bx^3/2exp(–bx)] = A[F_m(x) + BF₁(x)],

где F₁(x) = 2 π ^-1/2 x^3/2exp(–bx).

Очевидно: . С учетом этого и (2.13) из (2.14) следует:

,

где ,

;

;

;

.

Интегралы I₁ , I₂ , I₃ , I₄ сводятся к табличным путем замены переменной x = y+t.

После деления числителя и знаменателя на имеем:

,

где ,

.

Если y = 0, т.е. U = 0, то при этом средняя кинетическая энергия

.

Если и B = 0 (при этом ), то для распределения Максвелла . Из равенства следует, что b= 5/3.

Величина E₁ является параметром распределения F_o(x), она не зависит от U. С учетом (В.2) имеем: , т.е. , где – температура в местах, где .

Величины , а так же меньше единицы. Функция имеет максимум приy = 3/2, который равен 3/(2e). Этот максимум меньше единицы. Поэтому <1. Это означает, что если B<<1, то Ba <<1, Bb <<1,

(1+ Bb )^{-1 »} 1- Bb ,

а также, пренебрегая членом высшего порядка малости, имеем:

Поскольку , то

.

Из этого равенства, учитывая (В.2), находим разность температур:

что и требовалось получить.

 

Условие нормировки имеет вид:

.

Из этого условия имеем:

,

где мы учли, что первый интеграл равен I₂ при y = 0, а второй интеграл равен I₄ при y = 0.

Отсюда следует, что если B<<1, то .

Учитывая то, что , имеем:

,

где мы пренебрегли членом высшего порядка малости. Это и требовалось получить.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2