Ж) Оценка значимости множественной регрессии.

1).Оценка по критерию Фишера-Снедекора: гипотеза Н_о о равенстве нулю всех коэффициентов регрессии (b₁=b₂=... = b_р=0) отвергается, если значение статистики Фишера-Снедекора больше ее табличного значения:

F = > Fa, p, n-p-1.

(7.21)

2).Оценка по коэффициенту детерминации: значимость регрессии тем выше, чем ближе R²к «+1»:

R2 = = =

(7.22)

3).Оценка по скорректированному коэффициенту детерминации  аналогична, формулы для расчёта:

= =

(7.23)

В (7.23) чем больше переменных р, тем меньше  в сравнении с R².

 

Работа с тестами

 

1 Классическая нормальная линейная модель множественной регрессии. Установить соответствие:

Признак регрессии	Свойство регрессии
А классическая	1 выполняются все 5 предпосылок (5-я предпосылка – ранг матрицы плана Х равен р+1)
Б нормальная	2 ошибка ε распределена по закону Гаусса
В линейная	3 все факторы в 1-й степени, отсутствуют их произведения и функции от них
Г множественная	4 число факторов два или больше

 

2 В матричном уравнении b = (Х’X)^-1X’Y символ Х обозначает:

А вектор размерностью рх1

Б вектор размерностью (р+1)х1

В матрицу размерностью nxp

Г матрицу размерностью nx(p+1)

 

3 Вид ковариационной матрицы  размерностью 2х2 вектора ошибок классической нормальной линейной модели множественной регрессии (предпосылка №4):

А	Б  =
В =	Г =

4 В формуле оценки дисперсии ошибок символ е’ есть:

А матрица

Б транспонированная матрица

В вектор-столбец

Г вектор-строка

 

5 Графический образ выражения _х- t_{1-a, k} £ M_x(Y)£ _х + t_{1-a, k} для х=11:

А отрезок, параллельный оси Хпри у=11

Б отрезок, параллельный оси Y при х=11

В отрезок, параллельный линии регрессии при х=11

Г луч из начала координат ХY при х=11

 

6 В выражении для СВ F =  число матриц равно:

А трём; Б двум; В одной; Г нулю

 

7 Вычислить значение выражения е’e, если е=3, 1, 2:

А 11;  Б 12;   В 13;   Г 14

 

8 Какой прогноз вызовет большее доверие директора:

А точечный

Б интервальный для Мх(Y)

В интервальный для индивидуального значения Y

 

7.3 Решение задач и контрольные вопросы

Задача 1. Для матрицы А найти матрицу, составленнуюиз алгебраических дополнений (А_ij).

Решение.

(7.24)

 

Задача 2. Найти определитель матрицы А из задачи 1.

Решение.Это определитель 3-го порядка. Его можно вычислить непосредственно, а можно - путем разложения на определители 2-го порядка. Выберем 2-й подход:

.

Задача 3. Для матрицы А из задачи 1, используя (6.23), найти обратную матрицу А^-1.

Решение.

    Задача 4. Проверить, выполняется ли равенство: А А^-1=Е, где Е - единичная матрица (всюду нули, а на главной диагонали единицы):

Решение. . Вывод: равенство выполняется.

    Задача 5. Вычислить остаточную дисперсию по формуле  и данным: е= 2, 4, 1, 3; р=2. Записать уравнение регрессии в общем виде.

Задача 6. Вычислить интервал для ², используя (6.20) и данные задачи 5.

Задача 7. Для парной регрессии (с переменной х₁)скорректированный коэффициент детерминации равен 0.90, а для регрессии с переменными х₁ и х₂он равен 0.86. Какие можно сделать выводы.

 

Контрольные вопросы:

1) Что такое матрица

2) А и Б – матрицы, всегда ли верна запись: А Б=Б А

3) Дайте толкование каждому признаку (слову) термина: «классическая, нормальная, линейная модель множественной регрессии»

4) Запишите формулу обращения матрицы и охарактеризуйте каждый её символ

5) Что такое ковариационная матрица, привести примеры.

 

 

    7.4 Решение сквозной задачи №2: Построение и исследование модели магазина - линейной множественной регрессии (п.п. 1-8)

 

1) Постановка сквозной задачи №2 (одинаковая для всех вариантов).Менеджеры ООО «Рыба» решили ввести в модель 2-ю переменную. После долгого перебора факторов они остановились на х₂ – количество мест для парковки автомобилей. И после этого повторить исследования, в том числе прогнозы для нового магазина «Рыба №8».

 

2) Выбор исходных данных для задачи №2. Во-первых, использованные в задаче №1 исходные данные используются и в задаче №2 (переменная х меняет обозначение на х₁). Во-вторых, дополнительно выбираются данные по таблице А.6. Соответствующий варианту столбец значений х₂ выбирается по первой подходящей букве полного имени из набора: А, Е, И, О, Я.Пример: вариант для « Людм и лаИ в анова» - столбец И.

3) Нанесём в координатах х₂у точки на плоскость (построим корреляционное поле). На рисунке 7.1 видно, что прямая линия хорошо аппроксимирует связь между у и х₂. Эта связь прямая и тесная. Следовательно, в качестве модели используем двухфакторную регрессию:

ŷ = b0+b1х1+b2х2

Рисунок 7.1 – Корреляционное поле и линия регрессии для у(х₂)

 

4) Для нахождения параметров регрессии используем МНК в матричной форме. Построим матричное выражение (7.25). Запишем матрицу Х значений факторов х₀, х₁, х₂ (Х - матрица плана с размерностью 7х3), см.среднюю – «вертикальную» - матрицу. Переменная х₀ фиктивная и для всех iравна 1 (1-й столбец матрицы Х).

 

5) Запишем транспонированную матрицу плана , см левую матрицу с размерностью 3х3 в (7.25).

 

6) Найдём произведение матриц:

                    (7.25)

 

7) Найдём обратную матрицу ()^-1. Обозначим: А= . Формула для обращения матрицы:

где  - определитель матрицы А,

– транспонированная матрица, составленная из алгебраическихдополнений матрицы А.

 

7.1) Найдём определитель матрицы А:

=7×120×79+24×96×21+21×96×24-21×120×21-96×96×7-79×24×24=192.

 

7.2) Найдём9 алгебраических дополнений:

 

А11 = 120 × 79 – 96 × 96 =264;	А12 = -(24 × 79 – 96 × 21) = 120;
А13 = 24 × 96 – 120 × 21 = -216;	А21 = -(24 × 79 – 21 × 96) = 120;
А22 = 7 × 79 - 21 × 21 = 112;	А23 = -(7 × 96 – 24 × 21)= -168;
А31 = 24 × 96 – 21 × 120 = -216;	А32 = -(7 × 96 – 21 × 24) = -168;
А33 = 7 × 120 – 24 × 24 = 264.

 

7.3) Запишем обратную матрицу:

 

7.4) Проверим: если расчеты верны, то должно выполниться равенство:

 

А А^-1 = Е.

 

 

Равенство имеет место, значит, расчет обратной матрицы выполнен верно.

 

8) Найдём произведение матриц :

(Окончание решения в разделе 8).